Скачать презентацию Взаимное расположение двух прямых в пространстве Две прямые Скачать презентацию Взаимное расположение двух прямых в пространстве Две прямые

параллельность прямых.ppt

  • Количество слайдов: 31

Взаимное расположение двух прямых в пространстве Две прямые Лежат в одной плоскости Имеют общую Взаимное расположение двух прямых в пространстве Две прямые Лежат в одной плоскости Имеют общую точку (пересекаются) Не лежат в одной плоскости (скрещиваются) Не имеют общих точек (параллельны)

Параллельность прямых Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной Параллельность прямых Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. Для отношения параллельности прямых в пространстве имеет место следующее свойство транзитивности: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Упражнение 1 Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны? Ответ: Нет. Упражнение 1 Всегда ли две не пересекающиеся прямые в пространстве параллельны? Ответ: Нет.

Упражнение 2 Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? Ответ: Одну. Упражнение 2 Сколько плоскостей можно провести через две параллельные прямые? Ответ: Одну.

Упражнение 3 Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и Упражнение 3 Известно, что в плоскости прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и вторую прямую. Будет ли это утверждение верно для пространства? Ответ: Нет.

Упражнение 4 Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две данные параллельные прямые. Ответ: Плоскость. Упражнение 4 Найдите геометрическое место (ГМ) прямых, пересекающих две данные параллельные прямые. Ответ: Плоскость.

Упражнение 5 Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 Упражнение 5 Назовите прямые, проходящие через вершины куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 и параллельные прямой AB. Ответ: A 1 B 1; CD; C 1 D 1.

Упражнение 6 Докажите, что прямые AB и C 1 D 1, проходящие через вершины Упражнение 6 Докажите, что прямые AB и C 1 D 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны прямой CD, так как грани ABCD и CDD 1 C 1 – параллелограммы. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 D 1 параллельны.

Упражнение 7 Докажите, что прямые AA 1 и C 1 C 1, проходящие через Упражнение 7 Докажите, что прямые AA 1 и C 1 C 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, параллельны. Доказательство: Прямые AA 1 и C 1 C 1 параллельны прямой BB 1. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и C 1 C 1 параллельны.

Упражнение 8 Докажите, что прямые AC и A 1 C 1, проходящие через вершины Упражнение 8 Докажите, что прямые AC и A 1 C 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны. Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны (упражнение 7). Следовательно, четырехугольник ACC 1 A 1 – параллелограмм (противоположные стороны AA 1 и CC 1 равны и параллельны). Значит, прямые AC и A 1 C 1 параллельны.

Упражнение 9 Докажите, что прямые AD 1 и BC 1, проходящие через вершины параллелепипеда Упражнение 9 Докажите, что прямые AD 1 и BC 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 1 D 1 параллельны (упражнение 6). Следовательно, четырехугольник ABC 1 D 1 – параллелограмм (противоположные стороны AB и C 1 D 1 равны и параллельны). Значит, прямые AD 1 и BC 1 параллельны.

Упражнение 10 Являются ли параллельными прямые AB и CC 1, проходящие через вершины параллелепипеда Упражнение 10 Являются ли параллельными прямые AB и CC 1, проходящие через вершины параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1? Ответ: Нет.

Упражнение 11 Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C Упражнение 11 Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1? Решение: Каждое ребро участвует в трех параллельных прямых. У куба имеется 12 ребер. Следовательно, искомое число параллельных прямых равно

Упражнение 12 Являются ли параллельными прямые AB и CD, проходящие через вершины тетраэдра ABCD? Упражнение 12 Являются ли параллельными прямые AB и CD, проходящие через вершины тетраэдра ABCD? Ответ: Нет.

Упражнение 13 Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы ABCA 1 B 1 C Упражнение 13 Назовите прямые, проходящие через вершины треугольной призмы ABCA 1 B 1 C 1 и параллельные прямой AA 1. Ответ: BB 1, CC 1.

Упражнение 14 Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы? Решение: Каждое ребро Упражнение 14 Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра правильной треугольной призмы? Решение: Каждое ребро оснований участвует в одной паре параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в двух параллельных прямых. Следовательно, искомое число параллельных прямых равно Ответ:

Упражнение 15 Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AA 1. Упражнение 15 Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AA 1. Ответ: BB 1; CC 1; DD 1; EE 1; FF 1.

Упражнение 16 Докажите, что прямые AA 1 и CC 1, проходящие через вершины шестиугольной Упражнение 16 Докажите, что прямые AA 1 и CC 1, проходящие через вершины шестиугольной призмы, параллельны. Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны прямой BB 1, так как грани ABB 1 A 1 и BCC 1 B 1 – параллелограммы. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и CC 1 параллельны.

Упражнение 17 Докажите, что прямые AA 1 и DD 1, проходящие через вершины шестиугольной Упражнение 17 Докажите, что прямые AA 1 и DD 1, проходящие через вершины шестиугольной призмы, параллельны. Доказательство: Прямые AA 1 и CC 1 параллельны (задача 14). Прямые CC 1 и DD 1 параллельны, так как грань СDD 1 C 1 – параллелограмм. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 1 и DD 1 параллельны.

Упражнение 18 Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AB. Ответ: Упражнение 18 Назовите прямые, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельные прямой AB. Ответ: A 1 B 1; DE; D 1 E 1; CF; C 1 F 1.

Упражнение 19 Докажите, что прямые AB и D 1 E 1, проходящие через вершины Упражнение 19 Докажите, что прямые AB и D 1 E 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Доказательство: Прямые AB и DE параллельны, так как грань ABCDEF – правильный шестиугольник. Прямые D 1 E 1 и DE параллельны, так как грань DEE 1 D 1 – прямоугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и D 1 E 1 параллельны.

Упражнение 20 Докажите, что прямые AB и C 1 F 1, проходящие через вершины Упражнение 20 Докажите, что прямые AB и C 1 F 1, проходящие через вершины правильной шестиугольной призмы, параллельны. Доказательство: Прямые AB и A 1 B 1 параллельны, так как грань ABB 1 A 1 – прямоугольник. Прямые C 1 F 1 и A 1 B 1 параллельны, так как грань A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 – правильный шестиугольник. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 F 1 параллельны.

Упражнение 21* Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Решение: Каждое ребро Упражнение 21* Сколько имеется параллельных прямых, содержащих ребра правильной шестиугольной призмы? Решение: Каждое ребро оснований участвует в трех параллельных прямых. Каждое боковое ребро участвует в пяти парах параллельных прямых. Следовательно, искомое число параллельных прямых равно Ответ:

Упражнение 22 Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы Упражнение 22 Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AA 2. Ответ. BB 1, CC 1, DD 2, A 1 B 2, D 1 C 2.

Упражнение 23 Докажите, что прямые AA 2 и CC 1, проходящие через вершины многогранника, Упражнение 23 Докажите, что прямые AA 2 и CC 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и CC 1 параллельны прямой BB 1. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и CC 1 параллельны.

Упражнение 24 Докажите, что прямые AA 2 и D 1 C 2, проходящие через Упражнение 24 Докажите, что прямые AA 2 и D 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны прямой DD 2. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AA 2 и D 1 C 2 параллельны.

Упражнение 25 Докажите, что прямые AD и B 1 C 1, проходящие через вершины Упражнение 25 Докажите, что прямые AD и B 1 C 1, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AD и B 1 C 1 параллельны прямой BC. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AD и B 1 C 1 параллельны.

Упражнение 26 Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы Упражнение 26 Назовите прямые, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельные прямой AB. Ответ. DC, A 1 A 2, B 1 B 2, D 1 D 2, C 1 C 2, A 3 B 3, C 3 D 3.

Упражнение 27 Докажите, что прямые AB и C 1 C 2, проходящие через вершины Упражнение 27 Докажите, что прямые AB и C 1 C 2, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 1 C 2 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 1 C 2 параллельны.

Упражнение 28 Докажите, что прямые AB и C 3 D 3, проходящие через вершины Упражнение 28 Докажите, что прямые AB и C 3 D 3, проходящие через вершины многогранника, изображенного на рисунке, все плоские углы которого прямые, параллельны. Доказательство: Прямые AB и C 3 D 3 параллельны прямой CD. Из транзитивности отношения параллельности следует, что прямые AB и C 3 D 3 параллельны.

Упражнение 32* В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести Упражнение 32* В пространстве даны n параллельных между собой прямых. Сколько плоскостей можно провести через различные пары этих прямых, если известно, что никакие три из них не лежат в одной плоскости? Ответ: