Взаимное положение прямой и плоскости двух плоскостей Позиционные

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей. Позиционные задачи

Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Прямая и плоскость: • Прямая принадлежит плоскости (см. тема 3): все точки прямой являются точками плоскости • Прямая параллельна плоскости: общих точек нет • Прямая пересекает плоскость: одна общая точка Две плоскости: • Плоскости параллельны: общих прямых нет • Плоскости пересекаются: одна общая прямая

Принадлежность прямой плоскости 1 2 12 m а 2 2 2 n 2 m 2 n 1 m 1 22 21 2 b 2 12 1 а 1 11 m 1 (n m) (1 m) ; (2 n) а (1 И 2) а 11 1 (n m) b 1 (1 m) ; 1 b b n b Прямая принадлежит плоскости, если она проходит: 1) через две точки этой плоскости; 2) через одну точку плоскости и параллельно какой-нибудь прямой этой плоскости

Параллельность прямой и плоскости b А n Признак параллельности: Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-ли прямой, лежащей в этой плоскости b n b Через точку А в пространстве можно провести бесчисленное множество прямых линий, параллельных данной плоскости . Для однозначного решения проведем в плоскости прямую n

Параллельность прямой и плоскости Задача: b А Через точку D провести фронталь, параллельную плоскости ( АВС) С 2 12 f 2 n f 2 А 2 11 b n b А 1 С 1 f 1 В 2 f 1 D 2 D 1 В 1 Построим в плоскости ( АВС ) вспомогательную фронталь f . Через точку D проводим фронталь f , проекции которой параллельны одноименным проекциям фронтали f . Получаем искомую прямую f , параллельную заданной плоскости ( АВС )

Параллельность прямой и плоскости 2 2 n х 2 x а 2 n 1 1 а 1 ( 1 , 2 ) n а n m 2 х x m 1 а П 2 m 2 2 1 m Если прямая а параллельна плоскости общего положения, то в плоскости строят вспомогательную прямую n и выполняют условие параллельности одноименных проекций прямых а и n. Если плоскость проецирующая, то одна из проекций искомой прямой m параллельна следу плоскости

Параллельность двух плоскостей n a b m 2 x а m b n П 2 х 2 х 1 1 1 2 2 1 П 1 Признак параллельности: плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. В качестве прямых могут быть использованы следы плоскостей

Параллельность двух плоскостей Задача 1: Через точку D провести плоскость , параллельную плоскости (a b) a 2 b 2 a 1 b 1 D 2 m 2 n 2 2 2 m 1 D n 1 1 m a 1 n b Построить плоскость П 1 Задача 2: x 2 х х 1 1 1 1 1. Искомая плоскость задается двумя пересекающимися прямыми m и n, проекции которых соответственно параллельны проекциям прямых а и b заданной плоскости. 2. У параллельных плоскостей и следы параллельны

Пересечение прямой с проецирующей плоскостью П 2 2 x х 2 12 n 1 n 11 1 1 П 12 n 2 x 1 х n 11 1 1 Одна из проекций точки 1 (пересечения прямой n с проецирующей плоскостью ) находится на пересечении следа плоскости 1 с проекцией прямой n 1. Видимость прямой определяется по направлению взгляда наблюдателя, плоскость считается непрозрачной

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью 2 П 2 22 2 12 1 2 1 x х 21 11 S – горизонтально проецирующая плоскость; ( ) – плоскость общего положения 1 П 1 Две плоскости пересекаются по прямой линии. Необходимо найти две точки искомой линии пересечения, которые принадлежат одновременно двум плоскостям

Пересечение плоскости общего положения с проецирующей плоскостью 2 x х П 2 22 12 1 11 2 В 2 2 12 1 П 1 С 11 1 С 2 x В 21 А 22 1 21 1 А 1 Горизонтально проецирующая плоскость проецируется на П 1 в виде следа, которому принадлежит проекция 1121 искомой линии пересечения. Часть треугольника, находящаяся перед плоскостью , будет видима на П 2. Линия 1222 служит границей видимости

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения m Алгоритм: 2 K 1 1. 2. 3. 4. m = 1 -2 m = K Видимость m 1. Через данную прямую m проводят вспомогательную плоскость . 2. Находят линию пересечения 1 -2 плоскостей: заданной и вспомогательной . 3. На полученной линии пресечения 1 -2 находят общую точку К с заданной прямой m. 4. Определяют видимость прямой m

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 m 2 2 22 21 11 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 m 1 1 1 В качестве вспомогательной выбираем горизонтально проецирующую плоскость ( 1), проходящую через заданную прямую m. Строим горизонтальную 1121 , а затем фронтальную 1222 проекции линии пересечения вспомогательной плоскости с данным треугольником

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 m 2 K 2 22 21 11 m 1 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 3. 1 -2 m = K; K 2 K 1 1 Находим фронтальную проекцию K 2 точки пересечения К линии 1 -2 и данной прямой m. Горизонтальная проекция К 1 искомой точки пересечения будет принадлежать горизонтальной проекции m 1 прямой m

1 ПО. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения 12 (5) 42 2 22 31 (211 2) 51 41 K 2 32 m 2 11 K 1 m 1 1. m ; П 1 1 m 1 2. ( )=1 -2; 1 12 1 1 22 2 3. 1 -2 m = K; K 2 K 1 4. Видимость m (по конкурирующим точкам) 1 Видимость горизонтальной проекции прямой определяют по горизонтально конкурирующим точками 3 и 2 (3 m; 2 ). Видимость фронтальной проекции прямой определяют по фронтально конкурирующим точками 4 и 5 (4 m; 5 ). Видимость прямой m меняется в точке пересечения