Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их

Вывод дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости и их интегрирование

В потоке идеальной жидкости возьмем произвольную точку М с координатами х, у, z (рис. ) и выделим у этой точки элемент жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда так, чтобы точка М была бы одной из его вершин. Пусть ребра этого параллелепипеда будут параллельны координатным осям и соответственно равны х, у и z.

z Рис. Схема для вывода дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости

Составим уравнение движения выделенного элемента Ж массой ρ х у z. Так же, как и при рассмотрении равновесия подобного объема Ж (рассмотрено ранее), считаем, что внутри этого объема на Ж действует результирующая массовая сила, составляющие которой, отнесенные к единице массы, равны X, Y и Z.

Тогда массовые силы, действующие на выделенный объем в направлении координатных осей, будут равны этим составляющим, умноженным на массу выделенного объема. Если давление в точке М обозначить через р, то получим, как и ранее при выводе уравнений равновесия Ж, что разность сил давления, действующих на параллелепипед, например, в направлении оси х, составляет

Скорость движения Ж в точке М обозначим через υ, а ее компоненты - через υx , υy и υz. Тогда проекции ускорения, с которым движется выделенный объем, будут равны: dυx/dt, dυy/dt и dυz/dt, а силы, которые необходимо ввести в уравнения движения по принципу Д'Аламбера, определяются как произведения этих ускорений на массу параллелепипеда.

Уравнения движения выделенного объема Ж в проекциях на координатные оси будут иметь вид

Разделим эти уравнения почленно на массу элемента и перейдем к пределу, устремляя одновременно к нулю, т. е. стягивая параллелепипед к исходной точке М. Тогда в пределе получим уравнения движения жидкости, отнесенные к точке M:

(1. 52)

Полученная система дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости носит название уравнений Эйлера. Члены этих уравнений представляют собой соответствующие ускорения, а смысл каждого из уравнений заключается в следующем: полное ускорение частицы вдоль координатной оси складывается из ускорения от массовых сил и ускорения от сил давления.

Уравнения Эйлера справедливы как для несжимаемой, так и для сжимаемой Ж, а также для случая, когда из числа массовых сил действует лишь сила тяжести, и для общего случая относительного движения Ж. При этом в X, Y и Z должны войти компоненты ускорения переносного (или поворотного) движения. Так как при выводе уравнений (1. 52) не накладывались условия стационарности движения , то они справедливы и для неустановившегося движения.

Рассматривая установившееся движение жидкости, умножим каждое из уравнений (1. 52) на соответствующие проекции элементарного перемещения, равные dx=υxdt; dy=υydt; dz =υzdt, и сложим уравнения.

Получим (1. 53)

Учитывая, что выражение скобках в уравнении (1. 53) является дифференциалом также, что уравнение (1. 53) следующем виде: в полным давления, а можно переписать в

(1. 54) или где U - силовая функция.

Интегрирование этого уравнения выполним для основного частного случая установившегося движения идеальной жидкости, когда на жидкость действует лишь одна массовая сила - сила тяжести. При направлении вертикально вверх Х = 0; У = 0; оси Z = -g. z

Подставляя эти значения в уравнение (1. 54) получим

Так как для несжимаемой жидкости ρ = const, предыдущее уравнение можно переписать в виде Это уравнение означает, что приращение суммы трех членов, заключенных в скобки, при перемещении частицы жидкости вдоль линии тока (траектории) равно нулю. Следовательно, указанный трехчлен есть величина постоянная вдоль линии тока, а следовательно, и вдоль элементарной

Таким образом, получили уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, найденное ранее другим способом. Если записать это уравнение для двух сечений струйки 1— 1 и 2— 2, оно примет вид выражении (1. 49).