ВЫСШАЯ ШКОЛА ПРИВАТИЗАЦИИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА Математическая статистика Эмпирическая

ВЫСШАЯ ШКОЛА ПРИВАТИЗАЦИИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА Математическая статистика. Эмпирическая функция распределения Автор: доцент кафедры информатики и математики Грязнов Сергей Александрович

Основные понятия Известно статистическое распределение частот количественного признака X. Введем обозначения: nx - число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее х; n - общее число наблюдений (объем выборки).

Основные понятия Относительная частота события X < х равна nx/n. Если х изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, т. е. относительная частота nx/n есть функция от х.

Основные понятия Так как данная функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.

Эмпирическая функция Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющую для каждого значения х относительную частоту события X < х.

Эмпирическая функция По определению, , где nx - число вариант, меньших х; n — объем выборки.

Эмпирическая функция Для того чтобы найти, например, F*(x 2), надо число вариант, меньших х2, разделить на объем выборки: .

Эмпирическая функция В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F (х) генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения.

Эмпирическая функция Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция F (х) определяет вероятность события X < х, а эмпирическая функция F * (х) определяет относительную частоту этого же события.

Эмпирическая функция. Свойства. 1. Значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0, 1]; 2. F* (х) - неубывающая функция; 3. Если x 1 - наименьшая варианта, то F*(x)=0 при ; если xk - наибольшая варианта, то F*(x)=1 при.

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Эмпирическая функция. Пример Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:

Эмпирическая функция. Решение Найдем объем выборки: 12 + 18 + 30 = 60.

Эмпирическая функция. Решение Наименьшая варианта равна 2, следовательно, F*(x) = 0 при. Значение X < 6, а именно х1 = 2, наблюдалось 12 раз, следовательно, F* (х) = 12/60 = 0, 2 при.

Эмпирическая функция. Решение Значения X < 10, а именно х1 = 2 и х2 = 6, наблюдались 12 + 18 = 30 раз, следовательно, F* (х) = 30/60 = 0, 5 при. Так как х= 10 - наибольшая варианта, то F* (х) = 1 при х > 10.

Эмпирическая функция. Решение Искомая эмпирическая функция

Эмпирическая функция. Решение График функции

Полигон и гистограмма Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигон и гистограмма Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х1; n 1), (х2; n 2), …, (хk; nk). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi а на оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки (хi; ni)соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигон и гистограмма Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x 1; W 1), (x 2; W 2), …, (xk; Wk). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты Wi. Точки (xk; Wk) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

Полигон и гистограмма Задано статистическое распределение выборки

Полигон и гистограмма Полигон относительных частот

Полигон и гистограмма В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni - сумму частот вариант, попавших в i-й интервал.

Полигон и гистограмма Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/h (плотность частоты).

Полигон и гистограмма Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ni/h.

Полигон и гистограмма Площадь i-го частичного прямоугольника равна hni/h = ni -сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

Полигон и гистограмма Гистограмма частот распределения объема n=100

ВЫСШАЯ ШКОЛА ПРИВАТИЗАЦИИ И ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВА Математическая статистика. Эмпирическая функция распределения Автор: доцент кафедры информатики и математики Грязнов Сергей Александрович