Высшая математика Тема Кривые второго порядка

Высшая математика Тема: «Кривые второго порядка»

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида, в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

Гипербола и ее свойства В системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Отметим следующие свойства гиперболы:

1 свойство Гипербола не имеет общих точек с осью Oy , а ось Ox пересекает в двух точках A ( a ; 0) и B (– a ; 0), которые называются вершинами гиперболы. Доказательство Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Oy нужно совместно решить их уравнения Подставляя x = 0 в уравнение гиперболы, получим а это означает, что система не имеет решений. Следовательно, гипербола не пересекает ось ординат. Для определения координат точек пересечения гиперболы с осью Ox нужно решить совместно их уравнения Отсюда, подставляя y = 0 в уравнение гиперболы, получаем x = ± a. Таким образом, точками пересечения гиперболы с осью Ox будут точки A ( a ; 0) и B (– a ; 0). Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2 a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число b – мнимой полуосью.

2 свойство Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии. Доказательство Обоснование этого свойства аналогично тому, как обосновано свойство 10. 3 для эллипса. 3 свойство Гипербола имеет центр симметрии. Доказательство Если координаты точки M ( x ; y ) удовлетворяют уравнению гиперболы, тому же уравнению удовлетворяют и координаты точки N (– x ; – y ). Точка N , очевидно, симметрична точке M относительно начала координат. Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

4 Свойство Гипербола пересекается с прямой y = kx при в двух точках. Если то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Доказательство 4 -го свойства Для определения координат точек пересечения гиперболы и прямой y = kx нужно решить систему уравнений Исключая y , получаем или При то есть при полученное уравнение, а потому и система решений не имеют. Прямые с уравнениями и называются асимптотами гиперболы. При то есть при система имеет два решения: и Следовательно, каждая прямая, проходящая через начало координат, с угловым коэффициентом, модуль которого меньше пересекает гиперболу в двух точках. При k = 0 получаем точки пересечения A ( a ; 0) и B (– a ; 0) – вершины гиперболы.

Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить ее форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул видно, что при возрастании k от нуля до (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. а), и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

Рисунок а) Рисунок б)

Определение: Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами и есть величина постоянная (ее обозначают через 2*а ). Причем эта постоянная больше расстояния между фокусами. Если оси координат расположены по отношению к эллипсу так, как показано на рисунке 1, а фокусы эллипса находятся на ось на равных расстояниях от начала координат в точках то получится Здесь и - малая простейшее(каноническое) уравнение эллипса: полуоси эллипса, причем и и с - половина расстояния между фокусами) связаны соотношения Форма эллипса (мера его "сжатия") характеризуется его эксцентриситетом. (так как то Прямые: и перпендикулярные главной оси и проходящие на расстоянии от центра, называются директрисами эллипса.

Расположение эллипса и его параметры ; - центр.

Определение 1. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от данной точки (центра окружности) на заданное расстояние (радиус окружности). Определение 2. Кругом называется геометрическое место точек удаленных от данной точки (центра круга) неболее чем на заданное расстояние (радиус круга). Здесь: точка О - центр А - точка на окружности ОА = r - радиус Определение 3. Радиус - отрезок, соединяющий центр окружности с любой её точкой.

Определение 4. Секущая - это прямая, имеющая с окружностью две общие точки (на рисунке 1 показана секущая l ). Отрезок секущей , лежащий внутри окружности, называется хордой (на рисунке 1 показана хорда АВ). Определение 5. Хордой называется отрезок соединяющий две произвольные (несовпадающие) точки окружности. Определение 6. Части, на которые хорда разбивает круг (I и II на рис1), называются сегментами. В случае, когда хорда совпадает с диаметром, эти сегменты превращаются в полукруги.

Определение 7. Диаметром называют хорду, проходящую через центр окружности. Определение 8. Сектором круга называют часть круга, ограниченная двумя его радиусами и дугой окружности, соединяющей концы этих радиусов (на рис2 показаны секторы I и II) Ь на рисунке мы видим АВ - хорда, CD - диаметр. Теорема 1. Перпендикуляр, опущенный на хорду из центра окружности, делит эту хорду пополам. Действительно, из равенства прямоугольных треугольников ОАН и ОВН по катету и гипотенузе (ОН - общая, ОА=ОВ - радиусы), мы получаем равенство соответственных сторон АН и ВН.

Формулы (ao - центральный угол в радианах) Площадь круга можно вычислить по формуле: Длину окружности можно вычислить по формуле: Площадь сектора можно вычислить по формуле: Длину сектора можно вычислить по формуле: Площадь сегмента можно вычислить по формуле: