ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Лекцию читает доцент кафедры высшей

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Лекцию читает доцент кафедры высшей математики Романова Юлия Станиславовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Теорема (критерий постоянства функции) Для того чтобы функция была постоянна на промежутке Х, Н и Д, чтобы во всех точках промежутка Доказательство. Необходимость. Достаточность. По формуле Лагранжа:

Теорема (Необходимый признак возрастания функции) Для того чтобы дифференцируемая функция возрастала на промежутке Х, необходимо, чтобы Доказательство. Т. к. возрастающая на Х, то Т. к. дифференцируемая на Х, то она имеет на нем конечную производную:

Теорема (Достаточный признак возрастания функции). Если функция дифференцируема на Х, и , то функция возрастает на X. Доказательство. По формуле Лагранжа: Теорема (Необходимый признак убывания функции) Для того чтобы дифференцируемая функция на промежутке Х, необходимо, чтобы Теорема (Достаточный признак убывания функции). Если функция дифференцируема на Х, и , то функция убывает на X.

у Геометрический смысл теорем х

Пример. Определить промежутки монотонности функции ООФ:

Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность X этой точки, что для верно: Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность X этой точки, что для верно: Значения функции в точках ее максимума и минимума называются максимумом и минимумом этой функции и обозначаются : Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами

Теорема (необходимое условие гладкого экстремума). Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то. Доказательство. Т. к. дифференцируема в , то существует конечная производная в ней, тогда

Точки, в которых называют гладкими экстремумами функции или стационарными В точках острого экстремума функция не является дифференцируемой: или - не существует Критическими точками функции называются точки, где - не существует, при условии, что в двух последних случаях функция непрерывна в соответствующей точке. Теорема (необходимое условие экстремума функции ). Если функция имеет в точке экстремум, то эта точка является критической точкой функции

Достаточное условие экстремума: Если функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку , дифференцируема во всех точках интервала и при переходе через эту точку меняет знак, то экстремум функции: Доказательство (для max). По формуле Лагранжа:

Пример. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции экстремум максимум минимум

Пример. Найти экстремумы функции Знак меняется, значит, экстремум есть. Максимум Теорема (достаточное условие экстремума по второй производной). Если в некоторой окрестности критической точки функция дважды непрерывно дифференцируема, то:

Пример. Найти экстремумы функции.

Наименьшее и наибольшее значения функции на промежутке у 1. Найти все экстремумы на 2. 3. Сделать выбор х

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее значение: Наименьшее значение: на отрезке