ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Аналитическая геометрия линейная алгебра функции и

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Аналитическая геометрия, линейная алгебра, функции и пределы Лектор: доцент кафедры физики и высшей математики – Журавков Владислав Владимирович

International Sakharov Environmental University

Матрицей размера m x n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. International Sakharov Environmental University

Обозначение: - матрица размерности m x n - элемент матрицы i –ой строки и j -го столбца Где i=1, 2…m j=1, 2…n International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University

Две матрицы называются равными, если у них одинаковая размерность и совпадают строки и столбцы. Если число строк матрицы равно числу ее столбцов, то такая матрица называется квадратной. International Sakharov Environmental University

- квадратная матрица размерности 3 х3 International Sakharov Environmental University

Элементы матрицы aij , у которых номер столбца совпадает с номером строки, называются диагональными. Если в квадратной матрице все диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0, то она называется единичной. International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University

Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны 0. International Sakharov Environmental University

Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой или вектором-строкой. International Sakharov Environmental University

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом или вектором-столбцом. International Sakharov Environmental University

С помощью матриц удобно различного рода зависимости. Например: Распределение экономики: ресурсов по описывать отраслям Ресурсы Промышленность с/хозяйство Эл. энергия 8 7. 2 Труд. ресурсы Водные ресурсы 5 3 4. 5 5. 5 International Sakharov Environmental University

Эту зависимость можно представить в виде матрицы: Где элемент aij показывает сколько i – го ресурса потребляет j – отрасль. Например, a 32 показывает, сколько воды потребляет сельское хозяйство. International Sakharov Environmental University

Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на это число. Полученные произведения итоговую матрицу. International Sakharov Environmental University образуют

Пусть дана матрица Умножаем ее на число λ: Где каждый элемент матрицы В: Где: International Sakharov Environmental University

Например: Умножая матрицу на число 2, получим: International Sakharov Environmental University

Складываются матрицы одинаковой размерности. Получается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц. International Sakharov Environmental University

Пусть даны матрицы Складываем их: Где каждый элемент матрицы С: Аналогично проводится вычитание матриц. International Sakharov Environmental University

Найти сумму и разность матриц: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University

Умножение матриц возможно, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда каждый элемент полученной матрицы равен сумме произведений элементов i – ой строки первой матрицы на соответствующие элементы j-го столбца второй. International Sakharov Environmental University

Пусть даны матрицы Умножаем их: Где каждый элемент матрицы С: International Sakharov Environmental University

Найти произведение матриц: International Sakharov Environmental University

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй, следовательно их произведение существует: International Sakharov Environmental University

Теперь перемножим матрицы в обратном порядке: Умножение матриц некоммутативно: в International Sakharov Environmental University общем случае

Перечисленные операции над матрицами обладают следующими свойствами: 1 А+В=В+А 2 (А+В)+С=А+(В+С) International Sakharov Environmental University

3 λ(А+В)= λА+λВ 4 А(В+С)=АВ+АС 5 А(ВС)=(АВ)С International Sakharov Environmental University

Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если в ней поменяли местами строки и столбцы. International Sakharov Environmental University

1 (АТ)Т=А 2 (А+В)Т=АТ+ВТ International Sakharov Environmental University

3 (λА)Т= λАТ 4 (АВ)Т=ВТАТ International Sakharov Environmental University

Транспонировать матрицу: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University

Определитель – это число, характеризующее квадратную матрицу. Обозначается: International Sakharov Environmental University

Определителем первого порядка матрицы называется число То есть: International Sakharov Environmental University

Определителем второго порядка называется число, которое определяется по правилу: International Sakharov Environmental University

Определителем третьего порядка называется число, которое определяется по правилу: International Sakharov Environmental University

Для вычисления определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников: International Sakharov Environmental University

Вычислить определители матриц: International Sakharov Environmental University

International Sakharov Environmental University

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Минор элемента определителя обозначается как International Sakharov Environmental University

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на (-1)S , где S – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. International Sakharov Environmental University

В частности, минор элемента определителя третьего порядка найдется по правилу: Его алгебраическое дополнение: International Sakharov Environmental University

1 Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы. International Sakharov Environmental University

Например: International Sakharov Environmental University

2 Перестановка двух строк или столбцов определителя эквивалентна умножению его на (-1). International Sakharov Environmental University

Например: Меняем местами первую и вторую строки: International Sakharov Environmental University

3 Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. International Sakharov Environmental University

Например: International Sakharov Environmental University

4 Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. International Sakharov Environmental University

Например: Выносим из второй строки множитель 2: International Sakharov Environmental University

5 Определитель не изменится, если к элементам одной строки или столбца прибавить соответственные элементы другой строки или столбца, умноженные на одно и то же число. International Sakharov Environmental University

Например: Первую строку умножаем на 2 и складываем со второй: International Sakharov Environmental University

6 Определитель равен сумме произведений элементов какойлибо строки или столбца на их алгебраические дополнения: International Sakharov Environmental University

Вычислить определитель: International Sakharov Environmental University

Раскладываем определитель по третьей строке: = Находим алгебраические дополнения: International Sakharov Environmental University

Подставляем полученный результат: = International Sakharov Environmental University

Матрица A-1 называется обратной к матрице А, если АA-1=A-1 А=Е где Е – единичная матрица International Sakharov Environmental University

1 Определяем, квадратная ли матрица. Если нет, то обратной матрицы для нее не существует. International Sakharov Environmental University

2 Находим определитель матрицы. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует. International Sakharov Environmental University

3 Заменяем каждый элемент матрицы его алгебраическим дополнением. International Sakharov Environmental University

4 Полученную матрицу транспонируем. International Sakharov Environmental University

5 Каждый элемент полученной матрицы делим на определитель исходной матрицы. Получаем матрицу, обратную к данной. International Sakharov Environmental University

6 Делаем проверку. Для этого перемножаем полученную и исходную матрицы. Должна получиться единичная матрица. International Sakharov Environmental University

Найти матрицу, обратную к матрице International Sakharov Environmental University

Применяем алгоритм нахождения обратной матрицы. 1 2 Матрица квадратная, следовательно обратная матрица для нее существует. Находим определитель: International Sakharov Environmental University

3 Находим дополнения матрицы: алгебраические каждого элемента Составляем из полученных значений матрицу: International Sakharov Environmental University

4 Транспонируем ее: 5 Каждый элемент матрицы делим на определитель Δ=1 и получаем обратную матрицу: International Sakharov Environmental University

6 Проверяем: International Sakharov Environmental University