Высказывания Логические операции над высказываниями Аристотель определял

Высказывания. Логические операции над высказываниями.

Аристотель определял два вида логики: 1. Формальная логика- любое высказывание либо истинное, либо ложное. 2. Диалектическая логика- любое высказывание и истинное и ложное. 3. Существует еще и нечеткая логика. Первое –это математика в конкретной теории, второефизика, третье – статистика. (Википедия – свободная энциклопедия)

• Определение: Высказывание – это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, что оно истинно, или ложно.

• Следовательно, в математической логике атрибутивные суждения называют высказываниями. • Значит, простые высказывания имеют ту же структуру, что и суждения. • (субъект, предикат, связка и квантор).

• То же множество истинности • «Истина» ; «Ложь» . • • Например: 1. число 100 кратно 5. 2. Москва-столица Российской Федерации. 3. Житель города Красноярска. 4. 5 -9+8 5. 5 -9+8=4 6. В пятую неделю зимы выпал снег. 7. На юге Африки живут пингвины.

• • 1) Число 100 кратно 5. 2) Москва-столица Российской Федерации. 3) Житель города Красноярска. 4) 5 -9+8 5) 5 -9+8=4 6) В пятую неделю зимы выпал снег. 7) На юге Африки живут пингвины.

• Напомню, что вопросительные и восклицательные предложения высказываниями не являются. • Все высказывания мы будем разделять на простые и сложные. • Простые высказывания формулируются простыми предложениями (одно подлежащее, одно сказуемое).

• Составные высказывания будем конструировать с помощью логических операций. • Определять истинность составных высказываний будем с помощью таблиц истинности.

Конъюнкция (conjunctio) • Конъюнкция - соединение • Обозначение операции &, /, ∙ • Например: A / B – читается: A и B

• Определение: • Пусть A и B являются высказываниями, тогда сложное высказывание А / В – (читается: А и В) называется конъюнкцией двух высказываний, если оно истинно тогда, и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Таблица истинности коньюнкции высказываний. А В А/В И(1) И( И(1) 1) И(1) Л( Л(0) 0) Л(0) И( Л(0) 1) Л(0) Л( Л(0) 0)

• • Например: А: число 5 простое; В: число 5 однозначное. А / В – Число 5 простое и число 5 однозначное. • высказывание А – И • высказывание В – И, следовательно и конъюнкция А/В - И

• Конъюнкция ( ) в русском языке выражается союзами «и» ; «а» ; «но» ; «да» ; «хотя» ; «однако» ; • «зато» ; «не только, но и. . » . • В корзинке лежали маслята и подосиновики.

Внимание! • Интересная и красиво оформленная книга лежит на столе. • Данное высказывание нельзя разбить на два простых соединенных конъюнкцией. • «Интересная книга лежит на столе» и «Красиво оформленная книга лежит на столе» создает впечатление, что на столе лежат две книги.

• В естественном языке конъюнкция может быть выражена не только перечисленными союзами, но и знаками препинания. • Например: Сверкнула молния, загремел гром, пошел дождь.

• В логике высказываний действует закон коммутативности конъюнкции. А / В =В / А Треугольник АВС и треугольник MNP равнобедренные. Треугольник MNP и треугольник АВС равнобедренные.

• В естественном языке такого закона нет, так как действует фактор времени. • Там, где учитывается последовательность во времени употребление союза «и» некоммутативно.

• Например: • 1. Прицепили паровоз и поезд тронулся. • 2. Поезд тронулся и прицепили паровоз • 1 и 2 второе высказывания не эквивалентны.

Задание: придумать примеры этих структур • • Конъюнкция А/В может выражаться так: 1. Не только А, но и В 2. В хотя и А 3. В, несмотря на А 4. Как А, так и В 5. А вместе с В 6. А в то время как В.

Дизъюнкция (disjunctio) • Дизъюнкция – разъединение. • Обозначается символом «/» • Определение: Пусть а; в простые высказывания. • Сложное высказывание А или В (А/В) называется дизъюнкцией, если оно ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания.

Таблица истинности дизъюнкции высказываний. А В А/В 1 1 0 0 0

• В русском языке дизъюнкция выражается союзами: «или» ; «либо» ; «то ли …то ли» . • Вечером я пойду в кино или в библиотеку. • Это животное принадлежит либо к позвоночным, либо к беспозвоночным.

• Аксиомы переместительности операций дизъюнкции: • А/В=В/А • Аксиомы сочетательности операций конъюнкции и дизъюнкции: • (А/В)/С=А/(В/С) • (А/В)/С=А/(В/С)

Импликация (связь с условием) • Импликация обозначается « » . • Импликация двух логических высказываний А и В есть логическая операция, результатом которой является сложное логическое высказывание, в котором простые связаны союзом «если…, то» , истинное только тогда, когда В ложно, а А истинно.

Таблица истинности импликации высказываний. А В 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1

• В высказывании А В, высказывание А называется посылкой (условием), высказывание В – заключением. • Следовательно, импликация ложна, тогда и только тогда, когда из истинной посылки следует ложное заключение.

• Отрицание высказываний. • Определение: Отрицанием высказываний есть логическая операция, результатом которой является сложной высказывание, истинность которого определяется таблицей истинности. Таблица истинности отрицания А ¬А И Л Л И

Порядок выполнения операций • 1. Порядок выполнения операций определяется с помощью скобок. • 2. Если скобки отсутствуют, то первой выполняется операция отрицания, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция и, наконец, импликация.

Тавтология • Определение. Тавтология – Это составное высказывание, которое всегда истинно, независимо от того какие истинностные значения принимают составляющие его простые высказывания.

• Например: Р/¬Р – тавтология. Р ¬Р Р/¬Р И Л И И

• В математической логике тавтология, это тождественно-истинная формула, которая при любых возможных истинностных значениях, входящих в нее простых высказываний истинна, то есть общезначима. • Например: Трус не играет в хоккей.

• Противоречие. • Определение: противоречие – составное высказывание, которое всегда ложно независимо от того, какие истинностные значения принимают составляющие его простые высказывания.

• Например: • Р/¬Р – противоречие. Р ¬Р Р/¬Р И Л Л Л И Л

• Логический закон противоречия запрещает что-либо утверждать и то же самое отрицать одновременно • Однако, этот закон не запрещает одновременную ложность двух таких суждений.

• Одновременную ложность двух суждений мы часто используем в повседневной жизни, когда, характеризуя кого-то или что-то, строим стереотипные обороты типа: • «Они не молодые, но и не старые» , • «Это не полезно, но и не вредно» , • «Он не богат, однако и не беден» , • «Данная вещь стоит не дорого, но и не дешево» , • «Этот поступок не является плохим, но в то же время его нельзя назвать хорошим.

Спасибо за внимание!