ВЫСКАЗЫВАНИЯ I. Понятие высказывания. II. Простые и

ВЫСКАЗЫВАНИЯ I. Понятие высказывания. II. Простые и составные высказывания. Равносильные высказывания. III. Определение значения истинности составных высказываний: • 1. конъюнкция; • 2. дизъюнкция; • 3. импликация; • 4. отрицание; • 5. эквиваленция. IV. Высказывательная форма (предикат). V. Высказывания с кванторами. VI. Отношение логического следования. VII. Отношение равносильности. VIIIСтроение и виды теорем.

I. Понятие высказывания Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или ином предложении? Для этого надо знать логическую структуру предложения. Логика - это наука о следовании одних предложений из других. Одним из основных понятий логики является высказывание. Определение. Высказывание - это утверждение, о котором имеет смысл задавать вопрос: истинно оно или ложно. Обозначение. Прописные буквы латинского алфавита: А, В, С, D. Замечания: 1. С каждым высказыванием связано его значение истинности: если высказывание истинно, то его значением истинности является " истина" (и); если высказывание ложно, то его значением истинности является "ложь" (л). 2. Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему то или иное простое высказывание истинно или ложно. Этот вопрос решается вне её. Например, высказывание "сумма углов Δ равна 180 o" истинно в геометрии Евклида, но ложно в геометрии Лобачевского. 3. Алгебра логики отвлекается и от смысла высказываний, она интересуется только одним свойством высказывания: быть истинным или ложным. 4. Никакое высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. 5. Не о всяком высказывании можно сразу сказать, истинно оно или ложно.

Примеры: 1. Москва - столица России. Истинное высказывание. 2. 7<8. Истинное высказывание. 3. 1+3=5. Ложное высказывание. 4. Число 3 - делитель 16. Ложное высказывание. 5. Число х делится на 5. Не высказывание. 6. х+2=5. Не высказывание. 7. Сегодня вторник. Высказывание, которое истинно только во вторник, а во все остальные дни недели - ложно. 8. Существуют внеземные цивилизации. Высказывание, но пока неизвестно, истинно оно или ложно. 9. В Москве 500 улиц. Высказывание, можно выяснить истинно оно или ложно. 10. Вчера был дождь. Высказывание, его значение истинности зависит от того, был дождь или нет. 11. Для любых чисел а и b верно равенство а+b=b+а. Истинное высказывание. Замечание. Уже с первых уроков учащиеся начальных классов знакомятся с понятием высказывания в неявном виде: 2>1, 3<4, 2+1=3. Верны ли записи: 3+5=10 -2, 4 -1=6 -3? Отличительной особенностью высказывания в начальной школе является то, что все они истинные.

II. Простые и составные высказывания В логике считают, что из двух данных высказываний можно образовать новые высказывания, используя союзы "и", "или", "если. . . , то. . . ", "тогда и только тогда, когда" и др. С помощью частицы ''не" или словосочетания "неверно, что" можно из одного высказывания получить новое. Эти союзы и словосочетания называют логическими связками. Определение. Высказывание, образованное из других высказываний с помощью логических связок, называют составным. Определение. Высказывание, не являющееся составным, называют простым (элементарным). Примеры: 1. 12 делится на 4 - простое высказывание. 2. 12 делится на 6 - простое высказывание. 3. 12 делится на 4 и 12 делится на 6 - составное высказывание. 4. 12/4 или 12/6 - составное высказывание. 5. Если 12/4, то 1 2 - 6 - составное высказывание. 6. Неверно, что I 2 делится на 4 - составное высказывание. Замечание. Существуют высказывания, которым трудно придам. Какой-либо содержательный смысл, например: если 2>1, то март - весенний месяц. Определение. Высказывания называют равносильными, если они принимают одинаковые значения истинности, т. е. либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

Примеры: А: 7>2 (и) А и В равносильны. . В: 12. . 3 (и) A B. . С: 15. . 4 (л) / / В и С, А и С неравносильны, т. е. В С, А С. III. Определение значения истинности составных высказываний Чтобы определить значение истинности составного высказывания, надо знать смысл логических связок, с помощью которых оно образовано из других, и уметь выявлять логическую структуру высказывания. III. 1. Конъюнкция высказываний (от латинского - соединяю) Определение. Высказывание "А и В" называется конъюнкцией высказывании А и В. Конъюнкция истинна только в одном случае, когда истинны оба высказывания. Обозначение: А / В (А&В). Чтение. 1 способ - А и В; 2 способ - конъюнкция А и В. А В А / В Примеры: 1. 8. . 2 и З<4(и); 2. 1<3 и 4. . 3(л); и и л л и и л л л и л 3. 3+2=5 и 3<2 (л). л л л и л

Замечание. Двойное неравенство можно рассматривать как конъюнкцию двух высказываний (неравенств): и л 3<7< 10 (и); -2<0< -1 (л). и Замечание. Иногда союз "и" заменяют союзами "но", "а", "хотя". Примеры: 1. 12<15, но 4>1 (и) и и 2. Москва - столица России, а Париж - столица Франции (и) и . . 3. 16. . 4, хотя 16. . 5(и) и и Конъюнкция высказываний подчиняется законам: коммутативному, ассоциативному.

( А, В)А / В В / А Законы в логике о равносильности высказывании доказывают, заполняя таблицу истинности. ( А, В, С)А / (В / А) А / (В / С) А: 7>5(и) А В: 7>5 и 3 - простое число (и) В: 3 - простое число (и) В А: 3 - простое число и 7>5(и) А В А / В В / А Эти столбцы показывают, что высказывания и и и А / В и В / А принимают одинаковые значения истинности, т. е. равносильны. и л л л и л л л

III 2. Дизъюнкция высказываний (от латинского - разделяю) Определение. Высказывание "А или В" называется дизъюнкцией высказываний А и В. Дизъюнкция ложна только в одном случае, когда оба высказывания ложны. Обозначение: A В. Чтение: 1 способ - А или В; 2 способ - дизъюнкция А и В. Таблица истинности дизъюнкции Примеры: А В А В 1. 8. . 2 или 3<4 (и); 2. 1>3 или 1>5 (л); и и и и л и и л 3. 3+2 = 5 или 3+2=8 (и) л и и л л л и л Замечание. Нестрогие неравенства можно рассматривать как дизъюнкцию двух высказываний. 3≤ 5 (и). так как 3<5 (и) или 3=5 (л); 4≤ 4 (и), так как 4<4 (л) или 4 =4 (и); 3≤ 1 (л), так как 3<1 (л) или 3=1 (л).

Дизъюнкция подчиняется законам: коммутативному, ассоциативному. ( А, В) А В В А; ( А, В, С) (А В) С А (В С). Распределительный закон: а) относительно / : ( А, В) (А / В) C (А C) / (В С). б) / относительно : ( А, В, С) (А В) / С (А / С) (В / С)

III 3. Импликация высказываний Определение. Высказывание "если А, то В" называется импликацией высказываний А и В. Импликация ложна только в одном случае, когда из истины следует ложь. Обозначение: А=>В. Чтение: 1 способ - если А, то В; 2 способ - импликация А и В. А - посылка импликации А=>В; В - заключение импликации А=>В. Таблица истинности импликации: Примеры: . . 1. Если 8. . 4, то 8. . 2 (и) А В А=>В и и . . 2. Если 8. . 4, то 8. . 5 (л) и л л л и и л л и 3. Если 7<1, то 5>3 (л) л и 4. Если 2+1=5, то 2+1<0 (и) л л

III 4. Отрицание высказываний Определение. Высказывание "не А" называется отрицанием высказывания А. Отрицая истину, получаем ложь, отрицая ложь получаем истину. Обозначение: А. Чтение: I способ - не А; 2 способ - неверно, что А. Таблица истинности Примеры построения отрицания: 1) добавить к сказуемому частицу «не» А: 3 является корнем уравнения х+2=5(и) А А А: 3 не является корнем уравнения х+2 -5 (л) 2) если сказуемое содержит частицу "не", то её надо убрать и л А: 8 не делится на 5 (и) А: 8 делится на 5 (л) л и 3) отрицанием отношения > является отношение ≤ А: 8>4(и) А: 8≤ 4(л) 4) отрицанием отношения < является отношение ≥ А: 4<8(и) А: 4≥ 8(и) 5) отрицанием отношения > является отношение < А: 4≥ 8(л) А: 4<8(и) 6) отрицанием отношения ≤ является отношение > А: 7≤ 3(л) А: 7>3 (и) 7) с помощью слов "неверно, что" перед высказыванием А: Май весенний месяц (и) А: Неверно, что май - весенний месяц (л)

Отрицание отрицания Если А - произвольное высказывание то А - тоже высказывание, значит, можно рассмотреть отрицание А. Определение. Отрицание отрицания высказывания А называется двойным отрицанием, высказывания А. Обозначение: А Чтение: двойное отрицание А. Таблица истинности: Пример: А: 7>3 (и) А: 7≤ 3 (л) А А А и л и А: 7>3 (и) л и л Вывод. Отрицая дважды какое-нибудь высказывание, получают исходное высказывание.

Законы отрицания 1) А А 2) А В А / В законы 3) А / В А В де Моргана Докажем 2), заполнив таблицу истинности: А В А В А В А / В и и л л и л л и л л и и л и л л л и и л и Сравнивая значение высказываний в этих столбцах, делаем вывод, что эти высказывания равносильны.

III 5. Эквиваленция выеказываний Определение. Высказывание "А тогда и только тогда, когда В" называется эквиваленцией высказываний А и В. Эквиваленция истинна только тогда, когда А и В принимают одинаковые значения истинности. Обозначение: А<=>В Чтение: 1 способ - Эквиваленция А и В 2 способ - А тогда и только тогда, когда В Таблица истинности: Примеры: А: 8. . 4 (и) А В А<=>В А: 7<4 (л) В: 8. . 3 (л) и и B: 7<6 (л) 7<4 т. и т. т. , к. 7<6 (и) . 8. . 4 т. и т. т. , к. 8. . 3 (л) и л л и л л и

IV. Высказывательная форма (предикат). Высказывания с кванторами. Необходимые и достаточные условия. Определение. Предикат (высказывательная форма) - это предложение с одной или несколькими переменными, которое при подстановке конкретных значений вместо переменной (переменных) обращается в высказывание (истинное или ложное). По числу входящих в предикат переменных различают одноместные, двухместные и т. д. предикаты. Обозначение. А(х), А(х, у), В(х, у, z). Примеры: 1. х<5 является предикатом, так как если вместо х подставить число, например 2, то получим высказывание 2<5; 2. х+5 не является предикатом, так как если вместо х подставить число, например 2, то получим числовое выражение 2+5, которое не является высказыванием; 3. х+2=5 является предикатом, так как если вместо х подставить число например 8, то получим числовое равенство 8+2=5, которое является ложным высказыванием. 4. Город х-столица России - является высказывательной формой, так как если вместо х подставить город, например Москва, то получим высказывание: Город Москва-столица России. 5. 2 х-у не является предикатом, так как если вместо х и у подставить числа, например 3 и 2, то получим числовое выражение 2 • 3 -2, которое не является высказыванием.

Замечания: 1) Если задан предикат, то чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из входящих в него переменных, подставить её значение. 2) Предикат - это некое свойство одного или нескольких объектов (переменных). Если объект (объекты) обладает этим свойством, то он (они) обращает предикат в истину. высказывание; сели неопределения и ложное высказывание. предиката Область обладает - то в множество истинности Определение. Пусть А(х) - одноместный предикат. Область определения А(х) - это множество всех тех значений переменной, при подстановке каждого из которых А(х) обращается в высказывание (истинное или ложное). Обозначение: X Определение. Пусть на X задан А(х). Множество истинности А(х) - это множество всех тех значений переменной из X, каждое из которых обращает А(х) в истинное высказывание. Обозначение: ТА(х) Примеры: Очевидно, ТА(х) X 1. А(х): х<5 Ha N: T= {1, 2, 3, 4} На. Z: T= {…-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} X Ha R: T= (- ∞; 5) 2. А(х): x. . 5 Та(х) Ha N: ТА(х)= {5, 10, 15, 20…} 3. А(х): х(х-2)=0 Ha N: ТА(х)= { 2} На Z: ТА(х)= {0; 2}

V. Высказывания с кванторами 1. Кванторы общности и существования В формулировках математических предложений и не только в них часто встречаются слова "каждый", "все", "всякий", "любой", "некоторые", "хотя бы один", "существуют". Например: 1) В любом прямоугольнике диагонали равны, 2) Каждый квадрат - ромб. 3) Некоторые натуральные числа кратны 5. 4) Всякое натуральное число кратно 2, 5) Хотя бы один треугольник является равнобедренным. Все эти предложения - высказывания. Как определить значение истинности каждого? Для этого надо знать его логическую структуру. Пусть на множестве X задан предикат А(х). Чтобы превратить А(х) в высказывание, достаточно вместо переменной х подставить её значение из X. . Например, если на N задан предикат А(х): х. . 5, то подставив в А(х) вместо х . число 10, получим истинное высказывание А(10): 10. . 5 (и). Если вместо х подставить . число 3, то получаем ложное высказывание А(3): 3. . 5(л). Однако есть и другие способы получения высказывания из предиката. . Поставим перед А(х): х. . 5 слово "каждое", то получим предложение "каждое . число х. . 5" (речь идёт о натуральном числе, т. к. А(х) задан на N). Это предложение - высказывание, т. к. относительно него имеет смысл задавать вопрос, истинно оно или ложно.

Определение. Выражение "для всякого х" называется квантором общности по переменной х и обозначается символом x. Запись ( x X)A(x) является высказыванием и означает, что всякий элемент множества X обращает А(х) в истинное высказывание (т. е. обладает свойством А(х)). Чтение: 1 способ - для всякого х из множества X истинно А(х); 2 способ - всякий элемент х из множества X обладает свойством А(х). . Поставим перед предикатом А(х): х. . 5 выражение "существует х такое, . что. . . ", получится предложение "существует х такое, что х. . 5" (речь идёт о натуральном числе, так как А(х) задан на N). Это предложение является высказыванием, так как относительно него имеет смысл задавать вопрос, истинно оно или ложно. Определение. Выражение "существует х такое, что…" называется квантором существования по переменной х и обозначается символом х Запись ( х Х)А(х) является высказыванием и означает, что существует такое значение х из X, которое обращает А(х) в истинное высказывание. Чтение: 1 способ - существует х из множества X, для которого А(х) истинно; 2 способ - существует элемент х из множества X, который обладает свойством А(х) (хотя бы один). Замечание. В обычной речи, говоря "некоторые", имеют в виду "по меньшей мере один, но не все". В математике же слово "некоторые" означает "по меньшей мере один, но, может быть, и все". Вывод. Пусть на X задан предикат А(х). Чтобы превратить его в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную.

Замечание. Кванторы содержатся в формулировках определений, теорем. Хотя часто только подразумеваются. Например: 1. В формулировке теоремы ''Вертикальные углы равны'', квантора общности в явном виде нет, но предполагается, что этим свойством обладают любые два вертикальных угла. 2. Записывая коммутативное свойство сложения в виде а+b=b+а, подразумевают, что оно верно для любых чисел а и b. 2. Установление значения истинности высказываний с квантором общности ( x X)A(x) Чтобы показать, что ( x X)A(x) истинно, можно: 1. Путём перебора всех элементов из множества X, показать, что каждый из них обладает свойством А(х), т. е. обращает А(х) в истинное высказывание. или: 2. Если мы не можем или не хотим осуществлять этот перебор, то надо привести доказательство, показывающее, что каждый элемент из множества X обладает свойством А(х)(это может быть ссылка на определение, теорему, свойство какое- нибудь; общеизвестный факт). Чтобы показать, что ( x X)A(x) ложно, надо указать такой элемент из множества X, который не обладает свойством А(х), т. е. обращает А(х) в ложное высказывание. Этот элемент называют контрпримером.

И перебор ( x X)A(x) общие рассуждения (доказательства) Л контрпример Примеры: 1. Все деревья - хвойные (л), так как берёза - не хвойное дерево. 2. Любой треугольник - прямоугольный (л), так как Δ ABC – не прямоугольный. 3. Сумма углов любого треугольника равна 1800 (и), по теореме. В А С 4. Х={2, 4, 6, 8} ( x X)Х. . 2 (и), так как проверим перебором: А(х): х/2 х=2=>2. . 2(и) . х=4=>4. . 2(и) . Х=6 => 6. . 2 (и) . х=8 => 8. . 2 (и)

3. Установление значения истинности высказывания с квантором существования ( х Х) A(x) В этом высказывании утверждается, что хотя бы один элемент из множества X обладает свойством А(х). Чтобы показать, что это высказывание истинно, достаточно привести пример элемента из множества X, который обращает А(х) в истинное высказывание. Чтобы показать, что ( х Х)A(x) ложно, можно рассуждать так: 1. Путём перебора всех элементов из X, показать, что ни один из них не обладает свойством A(x), т. е. не обращает A(x) в истинное высказывание или: 2. Если мы не можем или не хотим осуществить этот перебор, надо привести доказательство, показывающее, что такого элемента в X не существует. И пример ( х Х) A(x) перебор Л общие рассуждения (доказательства)

Примеры: 1. Некоторые натуральные числа делятся на 3(и) . ( х Х)х. . 3 . Например: 6 N и 6. . 3 (и) В 2. Некоторые треугольники равнобедренные (и). Δ ABC - равнобедренный 3. Хотя бы в одном треугольнике 2 угла – прямые(л) Это противоречит теореме о сумме углов Δ А С . 4. Х={2, 4, 6, 8} ( х N). . 5(л) . А(х): x. . 5 проверим перебором: x=2=>2. . 5(л) x=4=>4. . 5(л) x=6=>6. . 5(л) x=8=>8. . 5(л)

4. Построение отрицаний высказываний с кванторами Существует 2 способа: 1 способ – отрицание относится ко всему высказыванию (с помощью слов "неверно, что"); 2 способ квантор меняют на (соответственно меняют нa ), а отрицание относят к предикату. ( x X) А(х) или ( х Х) А(х) или ( x X) А(х) Примеры: . 1) A: ( x X)x. . 5(л) . А: Неверно, что ( x X)х. . 5(и) . A: ( x N)x. . 5(и) 2) А: Некоторые ромбы - квадраты (и) А: Неверно, что некоторые ромбы - квадраты (л) А: Каждый ромб - не квадрат (л) (Ни один ромб не квадрат) 3) A: ( х Х)х+2=5 (и), так как x=3 N и 3+2=5 А: Неверно, что ( х Х) х+2=5(л) A: ( x N)x+2=5. (л) 4)А: В любом квадрате диагонали перпендикулярны (и) А: Неверно, что в любом квадрате диагонали перпендикулярны (л) А: Хотя бы в одном квадрате диагонали не перпендикулярны (л)

Замечание. Если высказывание вида ( x X)А(х) истинно, то высказывание вида ( х Х)А(х) тоже истинно. Так как если каждый элемент множества X обладает свойством А(х), это значит, что хотя бы один элемент множества X тоже обладает этим свойством. Пример. А: У каждого квадрата 4 оси симметрии (и); В: Есть такой квадрат (хотя бы у одного квадрата), у которого 4 оси симметрии (и). Замечание. Если высказывание вида ( х Х)А(х) истинно, то вообще говоря, нельзя утверждать, что высказывание вида ( x X)А(х) тоже истинно, так как если один элемент множества X обладает свойством А(х), это не значит, что все элементы множества X обладают этим свойством. Пример. А: Некоторые треугольники имеют прямой угол (и); В: В каждом треугольнике есть прямой угол (л).

VI. Отношение логического следования Рассмотрим высказывания: 1. Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно делилось на 2. 2. Чтобы прямые были параллельными, достаточно, чтобы они лежали в одной плоскости. 3. Чтобы поступить в ВУЗ, необходимо иметь среднее образование. Чтобы установить значения истинности этих высказываний, надо знать их логическую структуру. Рассмотрим пример 1: В нем речь идёт о множестве N, на котором заданы два предиката А(х) и В(х). . А(х): число х. . 4 Очевидно, что если число х. . 4, . В(х): число х. . 2 то число х. . 2. Поэтому говорят, что делимость на 2 следует из делимости на 4. Определение. Пусть на множестве X заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что В(х) логически следует из А(х), если всякий раз, когда А(х) обращается в истинное высказывание, В(х) тоже обращается в истинное высказывание. В этом случае истинно высказывание вида ( х Х) А(х) =>В(х)(*) Способы чтения высказывания (*) Из А(х)следует В(х) (и) 2. Всякое А(х) есть В(х) (и) 3. Если А(х), то В(х) (и) 4. В(х)есть следствие А(х) (и) 5. Чтобы А(х), необходимо, чтобы В(х) (и) 6. Чтобы В(х), достаточно, чтобы А(х) (и)

Продолжение примера 1: Как показать, что В(х) логически следует из А(х)? Рассмотрим ТА(х) и ТВ(х) ТА(х)={4, 8, 12, 16, 20…} ТВ(х)={2, 4, 6, 8, 10, 12…} ТА(х) На кругах Эйлера видно, что всякий раз, когда А(х) обращается в истину, В(х) . . тоже обращается в истину, т. е. высказывание ( x N)x. . 4=>х. . 2(и). Запишем способы чтения высказывания (*) 1. Из делимости на 4 следует делимость на 2 2. Всякое число, кратное 4, кратно 2 3. Если число кратно 4, то число кратно 2 4. Делимость на 2 есть следствие делимости на 4. 5. Чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 4. 6. Чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно длилось на 2. Замечание. Как выяснить, связаны ли предикаты А(х) и В(х) отношением логического следования? Надо сравнить их множество истинности. Если ТА(х) ТВ(х), то В(х) логически следует из А(х).

Способ чтения: A(x) B(x) чтобы A(x) чтобы В(х) д. у. н. у. Пример 2. Чтобы прямые были параллельны, достаточно, чтобы они лежали в одной плоскости. Рассмотрим структуру этого высказывания Х - множество прямых плоскостей. А (х, у)- прямые х и у параллельны. В (х, у)- прямые х и у лежат в одной плоскости. ТА(х, у)-множество параллельных прямых. ТВ(х, у)--множество пар прямых одной плоскости. х и у –параллельны =>х и у лежат в одной плоскости. д. у. н. у. Чтобы прямые были параллельны, необходимо, чтобы они лежали в одной плоскости(и) Значит, исходное высказывание ложно. Из параллельности прямых следует, что они лежат в одной плоскости(и) Всякие 2 параллельные прямые лежат в одной плоскости(и). Принадлежность прямых одной плоскости есть следствие их параллельности(и). Чтобы прямые лежали в одной плоскости, достаточно, чтобы они были параллельны (и)

Пример 3. Чтобы поступить в ВУЗ необходимо иметь среднее образование. Рассмотрим структуру этого высказывания. X X -множество людей А(х)-человек х поступил в ВУЗ. ТВ(х)-у человека х есть среднее образование ТА(х)-множество людей поступивших в ВУЗ. ТВ(х)-множество людей со средним образованием ТА(х) ТВ(х) значит, А(х) => В(х) д. у. н. у Чтобы поступить в ВУЗ, необходимо(но явно не достаточно) иметь среднее образование(и). Значит, исходное высказывание истинно. ( x X) Человек х =>поступил в ВУЗ у человека X есть среднее образование (и)

Пример 4. На множестве N заданы предикаты А(х) и В(х) . А(х)- х. . 2 ТА(х)={2, 4, 6, 8…} ТА(х) ТВ(х), ТВ(х) ТА(х) . В(х)- х. . 3 ТВ(х)={6, 9, 12, 15…} N ТА(х) ТB(х) Значит, А(х) и В(х) не связаны отношением логического следования. Число может делиться па 2 и не делиться на 4, и наоборот. Пример 5. Х Чтобы было тепло, необходимо, чтобы ярко светило солнце. Истинно ли это высказывание? Рассмотрим его логическую структуру. ТА(х) ТB(х) X - множество дней. А(х) - день х теплый. ТА(х) - множество теплых дней. В(х) - день х солнечный ТВ(х)- множество солнечных дней. А(х) и В(х) не связаны отношением логического следования, т. к. на улице может быть тепло и в пасмурный день. В ясный день может быть холодно.

Отношение равносильности между предложениями Определение. Пусть на множестве X заданы предикаты А(х) и В(х). Говорят, что А(х) и В(х) равносильны на множестве X, если каждый из них логически следует из другого, т. е. А(х) логически следует из В(х), В(х) логически следует из А(х). В этом случае истинно высказывание (**)( x N) А(х) <=> В(х). (и) Способы чтения высказывания (**): • Чтобы А(х), необходимо и достаточно, чтобы В(х) (и). • Чтобы В(х), необходимо и достаточно, чтобы А(х) (и). • А(х) равносильно В(х) (и) • В(х) равносильно А(х) (и) • А(х) тогда и только тогда, когда В(х) (и). Как выяснить, связаны ли предикаты А(х) и В(х) отношением равносильности на множестве X? X Надо сравнить ТА(х) = ТВ(х) По определению: А(х) логически следует из В(х), значит ТВ(х) ТА(х); ТА(х) В(х) логически следует из А(х), значит ТА(х) ТВ(х) ТВ(х) Значит, ТА(х) = ТВ(х) Вывод: А(х) и В(х) равносильны на множестве Х<=>ТА(х) = ТВ(х)

Пример 1. На множестве N заданы А(х) и В(х) . А(х) х. . 5, TA(х)= {5, 10, 15, 20, 25…} В(х)-запись числа х оканчивается на 0 или на 5 TВ(х)= {5, 10, 15, 20, 25…} ТА(х) = ТВ(х), значит А(х) и В(х) равносильны на N, т. е. истинно высказывание(**) . ( x N)х. . 5 ⇔ запись числа х оканчивается на 0 или на 5 (и). Способы чтения высказывания (**): 1) Чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы запись этого числа оканчивалась на 0 или на 5(и). 2) Чтобы запись числа оканчивалась на 0 или на 5, необходимо и достаточно, чтобы это число делилось на 5(и). 3) Делимость числа на 5 равносильна окончанию записи этого числа на 0 или на 5(и) 4) Окончание записи числа на 0 или на 5 равносильно делимости этого числа на 5 (и) Пример 2. Х- множество треугольников. ТА(х)=ТВ(х)-множество А(х)-Δх - прямоугольный. прямоугольных треугольников В(х)- в Δх есть прямой угол. (**) ( x X) треугольник х – прямоугольный <=>в треугольнике х есть прямой угол (и). Чтение высказывания(**): Чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо и достаточно, чтобы в нем был прямой угол. Замечание. Мы рассмотрели отношение равносильности для одноместных предикатов. Для двухместных, трехместных и т. д. предикатов отношение равносильности определяется аналогично.

Пример 1. Х- множество прямых на плоскости, А(х, у)- прямые х и у параллельны. В(х, у)- прямые х и у не пересекаются и лежат в одной плоскости. А(х, у) и В(х, у) равносильны на X (**)( х, у X) прямые х и у параллельны <=> прямые х и у не пересекаются и лежат в одной плоскости. (и). Один из вариантов чтения(**): Чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы они не пересекались и лежали в одной плоскости. Пример 2. X- множество прямоугольных треугольников. А(х, у) - прямоугольные треугольники х и у равны В(х, у) - в прямоугольных треугольниках х и у катеты соответственно равны. А(х, у) и В(х, у) равносильны на множестве X. (**) ( x, y X) прямоугольные треугольники х и у равны <=> в прямоугольных треугольниках х и у катеты соответственно равны. (и). Один из вариантов чтения(**): Чтобы прямоугольные треугольники были равны, необходимо и достаточно, чтобы их катеты были соответственно равны. (и).