Скачать презентацию Выражения, уравнения, неравенства • Изучение понятий Скачать презентацию Выражения, уравнения, неравенства • Изучение понятий

лекция 12 (2 проф).ppt

  • Количество слайдов: 47

Выражения, уравнения, неравенства Выражения, уравнения, неравенства

• Изучение понятий выражение, уравнение и неравенство связано с использованием математического языка. • • Изучение понятий выражение, уравнение и неравенство связано с использованием математического языка. • Математика – это язык, с помощью которого можно описать любой процесс реальной действительности. • Математический язык- искусственный язык.

• Математический язык имеет свой алфавит. • В этот алфавит входят6 • 1. • Математический язык имеет свой алфавит. • В этот алфавит входят6 • 1. цифры – 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 • 2. знаки операций +, -, ∙, : . • 3. знаки отношений <, >, =. • 4. строчные буквы латинского алфавита. Их применяют для обозначения переменных. • 5. технические знаки (скобки).

• Числовое выражение – это «слово» , сказанное на математическом языке. • • • Числовое выражение – это «слово» , сказанное на математическом языке. • • • Например: 3+7; 24: 8; 3∙ 12+5; (25+3): 7 -4

• Числовое выражение может иметь значение. • 1. 3+7=10 • 2. 24: 8= • Числовое выражение может иметь значение. • 1. 3+7=10 • 2. 24: 8= 3 • Некоторые числовые выражения не имеют смысла. • Например: 8: (4 -2∙ 2).

• Кроме числовых выражений в алгебре рассматриваются и буквенные выражения. • Буквенные выражения • Кроме числовых выражений в алгебре рассматриваются и буквенные выражения. • Буквенные выражения – это также «слово» , для записи которого используются латинские буквы наряду с цифрами и знаками действий и скобками.

• Особенностью буквенных выражений является то, что они не имеют однозначного значения, как • Особенностью буквенных выражений является то, что они не имеют однозначного значения, как числовые выражения. • Значение буквенных выражений зависит от значения переменной.

• Например: • 2 a+5 – буквенное выражение. • Если х=2, то 2∙ • Например: • 2 a+5 – буквенное выражение. • Если х=2, то 2∙ 2+5=9 • х=3, то 2∙ 3+5=11 • ………… • Множество значений переменной, при которых буквенное выражение обращается в числовое, имеющее смысл, называется областью определения выражения.

• Определение. Если f и g –числовые выражения, то f+g; f-g; f∙g; f: • Определение. Если f и g –числовые выражения, то f+g; f-g; f∙g; f: g –также числовые выражения. Считают, что каждое число является числовым выражением.

Порядок действий в числовых выражениях • Для определения порядка действий разобьем арифметические действия на Порядок действий в числовых выражениях • Для определения порядка действий разобьем арифметические действия на две ступени. • I ступень: сложение и вычитание. • II ступень: умножение и деление

• 1. Если в числовом выражении участвуют действия одной ступени, то их выполняют • 1. Если в числовом выражении участвуют действия одной ступени, то их выполняют слева на право по порядку. • Например: 23+19 -13+5=42 -13+5= =29+5=34. • Или 24∙ 6: 12=144: 12=12 • Но к сожалению, это не всегда удобно.

• Есть коммутативный и ассоциативный законы сложения, которые позволяют считать в любом порядке, • Есть коммутативный и ассоциативный законы сложения, которые позволяют считать в любом порядке, если в числовом выражении встречаются действия одной ступени. • 23+19 -13+5= 23 -13+19+5= • =10+19+5=29+5=34. • 24∙ 6: 12=24: 12∙ 6=12.

• 2. Если в числовом выражении встречаются действия разных ступеней, то первыми выполняются • 2. Если в числовом выражении встречаются действия разных ступеней, то первыми выполняются действия второй ступени по порядку слева на право, а затем действия первой ступени. • Но и здесь можно выделить исключения.

• Например: • 36: 2+42∙ 3 -27: 9=18+126 -3=144 -3=141 • 36: 2 • Например: • 36: 2+42∙ 3 -27: 9=18+126 -3=144 -3=141 • 36: 2 + 42 ∙ 3 – 27: 9=18+126 -27: 9= • =144 -27: 9=144 -3=141

• 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, • 3. Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, затем по порядку слева на право действия второй ступени, а затем в том же порядке действия первой ступени.

• Определение. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают равные значения. • • Определение. Два выражения называются тождественно равными, если они принимают равные значения. • Так выполняя арифметические действия мы одно выражение заменяем другим, тождественно равным ему. • 36: 2 + 42 ∙ 3 – 27: 9=18+126 -27: 9= • =144 -27: 9=144 -3=141

• Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значениях переменной • Два выражения с переменной называются тождественно равными, если при любых значениях переменной из области определения выражений их соответственные значения равны. • 5∙(х+2) и 5 х+10 – тождественно равные выражения.

• Замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественными • Замена одного выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественными преобразованиями. • Задание: Вычислить:

• Равенство справедливое прилюбых значениях переменных, называется тождеством. • • • Например: а+ • Равенство справедливое прилюбых значениях переменных, называется тождеством. • • • Например: а+ в=в+а а∙в=в∙а (а+в)+с=а+(в+с) Формулы сокращенного умножения…

• Если f и g – числовые выражения, то предложение f=g называется числовым • Если f и g – числовые выражения, то предложение f=g называется числовым равенством. • Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений в левой и правой частях равенства совпадают. • Например: • =(53 -43)∙(53+43)

• С точки зрения логики числовое равенство – это высказывание. • 13 -8=5 • С точки зрения логики числовое равенство – это высказывание. • 13 -8=5 И • 13 -8=6 Л

Свойства истинных числовых равенств • 1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить Свойства истинных числовых равенств • 1. Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить (отнять) одно и тоже числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное равенство.

• Пусть f=g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f+m=g+m, где • Пусть f=g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f+m=g+m, где m – числовое выражение имеющее смысл. • Например: 12∙ 6 =8∙ 9 • 12∙ 6 +(13 -5)=8∙ 9+(13 -5) • 80=80

• 2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то • 2. Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое выражение.

• Пусть f=g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f∙m=g∙m, где • Пусть f=g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f∙m=g∙m, где m – числовое выражение имеющее смысл. • Например: (12+8) =(11+9) • (12+8)∙ 6=(11+9)∙ 6 • 120=120

Неравенство • Если f и g – числовые выражения, то предложение f > g Неравенство • Если f и g – числовые выражения, то предложение f > g или f < g называется числовым неравенством. • С точки зрения логики неравенство – это высказывание.

• Свойства числовых неравенств аналогичны свойствам числовых равенств. • 1. Пусть f > • Свойства числовых неравенств аналогичны свойствам числовых равенств. • 1. Пусть f > g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f+m > g+m, где m – числовое выражение имеющее смысл. • 2. Пусть f > g истинное равенство, тогда будет истинным и равенство • f∙m > g∙m, где m – числовое выражение имеющее смысл.

• Задача. В одной корзине 68 яблок, а в другой корзине на 9 • Задача. В одной корзине 68 яблок, а в другой корзине на 9 яблок больше. В каждую положили по 10 яблок. На сколько яблок во второй корзине больше, чем в первой.

• • • Решение: Во второй корзине яблок больше на 9 68+9>68 Затем, • • • Решение: Во второй корзине яблок больше на 9 68+9>68 Затем, 68+9+10>68+10 (68+10) +9 >(68+10). • Значат, во второй корзине на 9 яблок больше, чем в первой.

Уравнения и неравенства • Определение. • Пусть f(x) и g(x) два выражения с переменной Уравнения и неравенства • Определение. • Пусть f(x) и g(x) два выражения с переменной x и областью определения X. Тогда предикат вида f(x) = g(x) уравнением с одной переменной.

• Значения переменной из области определения, при котором уравнение обращается в истинное высказывание • Значения переменной из области определения, при котором уравнение обращается в истинное высказывание называется корнем уравнения. • Решить уравнение значит найти его множество корней.

• Уравнения с одной переменной классифицируются по старшей степени переменной. • Например линейные • Уравнения с одной переменной классифицируются по старшей степени переменной. • Например линейные уравнения – это уравнения, в которых старшая степень переменной равна 1. • 6 x-18=0 6 x=18 • x=3 x +24=36 x=36 -24 x=12

• Квадратные – старшая степень переменной - вторая. • Кубические уравнения- старшая степень • Квадратные – старшая степень переменной - вторая. • Кубические уравнения- старшая степень переменной - третья.

• Определение. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. • Определение. • Определение. Два уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают. • Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением называется равносильным преобразованием.

• Следовательно, процесс решения уравнения есть последовательность замен данного уравнения ему равносильным. • • Следовательно, процесс решения уравнения есть последовательность замен данного уравнения ему равносильным. • 6 x-18=0 6 x=18 x=3

• Теорема 1. Если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить • Теорема 1. Если к обеим частям уравнения с областью определения Х прибавить одно и тоже выражение с переменной, определенное на том же множестве Х, то получим новое уравнение равносильное данному. •

• Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве X и h(x) – • Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве X и h(x) – выражение, определенное на том же множестве. • Тогда уравнение f(x) = g(x) (1) и • уравнение f(x) +h(x)= g(x) +h(x) (2) • равносильны.

Доказательство: • Обозначим через. Т 1 – множество решений уравнения (1), а через. Т Доказательство: • Обозначим через. Т 1 – множество решений уравнения (1), а через. Т 2 – множество решений уравнения (2). • Уравнения (1) и (2) будут равносильны, если • Т 1 =Т 2. • 1. Для доказательства обозначим корень уравнения (1) символом a. • Тогда и f(a)=g(a)

• при этом выражение h (x) обращается в числовое выражение h(a). • Следовательно, • при этом выражение h (x) обращается в числовое выражение h(a). • Следовательно, при x=a уравнение (1) обращается а верное равенство. • f(a)=g(a) и • f(a)+h(a)=g(a)+h(a) ( свойство числовых равенств). • Следовательно число a есть решение уравнения (2), а

• 2. Пусть число b корень уравнения (2). • Тогда и f(b)+h(b)=g(b)+h(b) • • 2. Пусть число b корень уравнения (2). • Тогда и f(b)+h(b)=g(b)+h(b) • Значит, Прибавим к обеим • частям равенства f(b)+h(b)=g(b)+h(b) • выражение – h(b),

получим f(b)+h(b)-h(b)=g(b)+h(b)-h(b) f(b)=g(b) Следовательно, • Ч. т. д. и получим f(b)+h(b)-h(b)=g(b)+h(b)-h(b) f(b)=g(b) Следовательно, • Ч. т. д. и

Следствия • 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число, получим Следствия • 1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и тоже число, получим уравнение, равносильное данному.

• 2. Если какое –либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести • 2. Если какое –либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение равносильное данному.

• Теорема 2. Если обе части уравнения с областью определения Х умножить на • Теорема 2. Если обе части уравнения с областью определения Х умножить на одно и то же выражение, которое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Следствие • Если обе части уравнения умножить(или разделить) на одно и то же число, Следствие • Если обе части уравнения умножить(или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

Неравенства с одной переменной • Математика Л. П. Стойлова • П. 57 стр 225 Неравенства с одной переменной • Математика Л. П. Стойлова • П. 57 стр 225 -227. • Рассмотреть самостоятельно.

• Спасибо за внимание! • Спасибо за внимание!