ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 9 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 9 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. 8. Выпуклые конусы. 2. 9. Выпуклые конусы и частичная упорядоченность. 2. 10. Многокритериальная оптимизация.

2. 8. Выпуклые конусы. Выпуклый конус Определение 13. Множество n RK называется конусом, следует, что . u K Если множество K выпукло, Ku и 0 если из замкнутым, если замкнуто –то конус называется выпуклым, если открыто – открытым. теории экстремальных задач. – один из основных объектов изучения 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Пример 10. Множества 40 n K u R u 1, 0 , n K u R a u 2, 0 , n K u R a u 3, 0 , n K u R a u при этом множества 421, , KKK замкнутые, Здесь и далее запись 0, , u означает, а множество 3 K — открытое. являются выпуклыми конусами, каждая координата вектора uчто, , 0.

Пример 11. Угол на плоскости раствора, меньшего чем является выпуклым конусом. Приведем некоторые свойства выпуклых конусов. Упражнение 1. Доказать, что пересечение выпуклых конусов является выпуклым конусом. Решение. Ранее было установлено, что пересечение выпуклых множеств выпукло. Докажем, что пересечение конусов—конус. Пусть n. K R иn. L R конусы. Полагаем. M K LI Требуется доказать, что M конус. Пустьu M и 0. , , u K u L u K L M I Имеем Утверждение доказано. В частности, пересечение множеств типа многогранным углом. 2, 0 , n K u R a u называют

Теорема 19. Доказательство. Положим m i i 1 и будем считать, что 0. Очевидно, 0, 1, , i ii m L что Пусть n. K R выпуклый конус. 10, , 0, m L Если 1 , , , mu u K L то 1. m i i i u K } 1 i m i i и 1. 1 m i i } 1 m i i Тогда в силу выпуклости множества K справедливо включение } 1 i m i i i u } } 1 0 1 i m m i i i u u Теорема доказана. С другой стороны по определению конуса имеем 1. m i i i u K } 1 0. m K i i i u K

Приведем важный пример конуса. Упражнение 1. Пусть. n. U RÌ Доказать, что множество {}, 0 con. U u v v Ua a= = Î > (конусная оболочка) является конусом. Решение. Пусть . u con. UÎ0, . v Ua> Î, u va= Для всех 0 l> имеем () 0. U u v con. Ul al >Î = Î Тогда где Таким образом, con. U — конус. Теорема 20. Если множество n. U RÌ выпукло, то причем если int , 0, v UaÎ > то ()int. u v con. Ua= Î con. U- выпуклый конус, Доказательство. Возьмем произвольные точки 1 2, . u u con. UÎ Тогда 1 1 1 2 2 2, , u va a= =1 2 1 2, , , 0. v v Ua aÎ > Покажем, что для любых 1 20, 0, 1 l l l l³ ³ + = выполнено включение }} 1 1 2 2 v v u u 1 1 1 2 2 2. v v con. U Из условия 1 1 2 20. 1 20, 0, 1 l l l l³ ³ + = следует

1 1 2 2 2 1 2 v v U 1 1 2 2 u u 1 1 1 2 2 2 v v Тогда ()1 1 2 2 0 u u Ul l a l > + Î + × Ì 6444447 444448 1 1 2 2 1 и равенства UИз выпуклости 1 1 2 2 1 2 2 0 0 0 2. U U v v 6 4 7 4 8 6 44 7 4 48 выводим Выпуклость множества con. U доказана. } ()0, v u O a ae ì üï ï + =í ý ï ïî þ Далее пусть , 0, int. u v v Ua a= > Î {}()0, v Oea a+ = имеем Для малых 0 e> {}() int 0, U U v Oea Ì Îæ ö ÷ç+ Ì÷×ç÷çè ø 644444447 44444448. con. U 0 Ua > = {} 0 u w w Ua > = = Î Ì{}0, n u w R w U con. Ub b= Î > Î = Þ ()int. u con. UÎ Теорема доказана.

2. 9. Выпуклые конусы и частичная упорядоченность. Используя понятие выпуклого конуса в пространствеn R можно ввести частичный порядок его элементов, Определение 14. Будем говорить, что n Ru не меньше (строго больше) , n v R если u v K писать будем просто » «, » «. Принимаем также, что отношение u v эквивалентно отношению . v u Заметим, что если int , u K то 0 0. K Ku u Перечислим и докажем ряд свойств введенного отношения, отношение «больше» . т. е. ввести Пусть n K R выпуклый конус. Когда ясно, о каком конусе идет речь, int. u v K неравенствам. присущие обычным n. K R выпуклый конус. Если 10, , 0, m L 1 , , , mu u K L то 1. m i i i u K Теоремы 18. Пусть В этом. K K u v случае будем писать

Из vu следует, что vu при 0. Неравенство u v означает, что . u v K Ku v K Если 11 vu и 2 2, u v то 1 2. u u v v Справедливы включения 1 1 2 2, . u v K В силу теоремы 18 имеем 1 1 2 2 K K u v K Из включений Kwvvu)(), ( в силу теоремы 18 выводим ( ) K K u v v w K В случае, когда конус K замкнутый, Если 0 0, , k ku u v v , 1, 2, , k ku v k L то 0 0. u v Для всех номеров , 2, 1 k справедливо включение 0 0. k ku v K Переходя в нем 1. 2. то . u w. Если , , u v v w 3. 4. справедливо еще одно свойство . u w 1 1 2 2 1 2 u v u u v v K 1 2. u u v v ( )u w uv. Kvw

к пределу при k в силу замкнутости конуса K получим 0 0 u v K Упражнение. Какую упорядоченность вводит конус 0 1 u. Ru. K а конус 1, , 0, 1, , n n i n. K u u u R u i n L L u больше либо равен вектора , vвектор 0 0. u vмножестве действительных чисел, в пространстве 1 R в пространстве n. Rn мерных векторов. множестве Решение. Конус 0 1 u. Ru. K вводит естественную упорядоченность на множестве действительных чисел. частично упорядочивает n мерные вектора по признаку: Конус 1, , 0, 1, , n n i n. K u u u R u i n L L если каждая координата вектора u больше либо равна соответствующей координаты. v вектора

2. 10. Многокритериальная оптимизация. набор из n функций, ni. RFi, , 1, : 1 Пусть определенных на произвольной природы. множестве В общем случае эта задача, очевидно, решения не имеет. состоит в том, Задача минимизировать каждую из чтобы выбором элемента этих функций. задачей оптимизации с векторным. Такую задачу обычно называют критерием. в смысле частичной упорядоченности значений Однако можно векторного критерия, задаваемой некоторым выпуклым конусом. искать оптимум Рассмотрим задачу векторной оптимизации ()min, , 1, , , n i. F u u U R i r® Î Ì =L где U -компактное множество, а (). i. F C UÎ В пространствеr. R- значений критериев введем частичную упорядоченность. Будем говорить, что точка () () 1 1 1 i r F FF F æ ö ÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷= ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷çè ø L L меньше точки () () 2 1 2 2 2 , i r. F Fæ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ = ç ÷ ç ÷ ÷ ç è ø L L если ()() 1 2 j j F F£

и существует номер{} 1, , , i r Î L что ()() 1 2. i i. F Fí ýç÷çï ï÷ç÷ï ï÷çï ïè øï ïî þ L L L Докажем, что конус FK выпуклый. Пусть () () () 2 1 2 2 0 0 , 0 0 i j r F F F æ ö³÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç³÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç > ÷÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç³è ø L L L Тогда ()()1 2 , , FF F KÎ[]0, 1 lÎ () () () 1 1 1 0 0 , 0 0 i j r F F F æ ö³÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç³÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç > ³è ø L L L

() () } () () 1 2 1 1 1 2 0 0 0 1 1 1 0 i i F j j r r F F F K F F l l l > ¹ æ ö+ — ³÷ç÷ç÷ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷+ — >ç÷ç÷+ — = Î÷ç÷ç÷ç÷+ — >ç÷ç÷÷ç÷ç÷ç÷ç+ — ³è ø L L 644447 44448 LОпределение 15. оптимальной по Парето, называетсяоптимальная , u * в смысле конуса FK Точка Полагаем ()() 1 1, , , r r i i i. F ul l l ==åLМножество оптимальных по Парето точек обычно содержит более одной точки. т. е. не существует такой точки , u UÎ для которой выполнялось бы ()()1, i i. F u i k*£ » =L и{}()()1, : . j jj k F u*$ Î =L

Теорема 21. ()()()1 min , , , 0, 1, , . 1 r iu U F u i rl l l*Î = > =L L Тогда точка u*- оптимальна по Парето. Доказательство. u U**Î От противного приходим к существованию точки для которой {} ( ), 1, , : ( ). i i j j F u i r j r F u ** * £ » = $ Î < L L Тогда ()1, , r. F ul l**=L () () ()1 1 1 0 0 0 r j F u F j j r u r F u F ul l l * * *£ ** ** ** > > = + + < 6447 448 L L ()()()1 1 1 j j r r. F u F ul l l* * *< + + =L L ()()1 1, , . r r. F ul l l l** *<L L Последнее неравенство противоречит (1). Теорема доказана. ()1, , r. F ul l*ÞLПусть точка u U*Î такова, что

Упражнение 2. ()() 2 11 min, F u u= — ® ()() 2 23 min, F u u= — ® []0, 3 u UÎ = Найти все точки Парето в задачи векторной оптимизации Решение. ()()() 2 21 1 2 1 2, , 1 3 min, , , 0 F u u Rl l l l= — + — ® Î > ()()1 2 1 2′ 2 1 2 3 0 F u ul l l l= — + — = Þ + — — = Þ Полагаем 1 2 3. u l l * + = + Покажем, что ()0, 3. u*Î Неравенство 0 u*> очевидно. Проверим неравенство 3. u* >+ < Þ + < + Þ Тогдаu*- точка минимума функции. F и она оптимальна по Парето. Построим область вех таких точек.

2 4 6 8 10 1. 25 1. 51. 752. 25 2. 52. 75 31 2 33 2 1 , 1 11 t u t t l l * ++ = = = + + ++ ()1, 3 u*Î Þ 013 []1, 3. U*= ()()1 2, 0, 0, tl lÎ +¥ Þ