ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

lekciya_8.ppt

  • Размер: 1.8 Мб
  • Автор: Progressive Sound
  • Количество слайдов: 19

Описание презентации ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) по слайдам

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)  ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 8 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)  2. 6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств(продолжение).  2. 7. Внутренность2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. 6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств(продолжение). 2. 7. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств.

 и Теорема 15.  Пусть n. U R выпуклое множество  иint. U Тогда и Теорема 15. Пусть n. U R выпуклое множество иint. U Тогда 0 int , , 0, 1 u U v U 1) Для всех справедливо включение 01 v u v 2. 6. Замыкание и внутренность выпуклых множеств(продолжение). утверждение усиливает теорему 14. Следующее имеет место 0 0. 4 w u y u U U 0 u vv Доказательство. 1) Из включения Uu int 0 следует существование окрестности 0, O u 0. n u R u u U U v 0 u 0, O u 2) Для всех 0 int , 1 u U y U U 0 u yw 0 int. 3 v u v U

. 5 1 v w Полагаем  0 1 w u w и оценим по норме. 5 1 v w Полагаем 0 1 w u w и оценим по норме разность между точками v и : w. Из включения Uv 1 1. } } 0 0 1 1 u v u w v w 0 01 1 wu uv 1 1 v w 6 7 8 Пусть 0, 1. 01. v u v Полагаем точки , w Uследует существование будет для которой выполняться неравенство Таким образом , , , v O w при чем 0, v w т. е. точка v лежит строго внутри окрестности, . O w U v w , O w w v 0 u 0, O u ( v предельная точка )U множества U v 0 u 0, O u 0 0 1 1 v w 6 7 8 ww v

Покажем, что справедливо вложение , . 6 O w U С этой целью для всех ,Покажем, что справедливо вложение , . 6 O w U С этой целью для всех , w. Ou положим wu ua 0 и установим, что 0, . a O u U 0 a u С другой стороны из } } 1. U U a w U } 0 0 w u a u w 0 ua a w w , u O w u w Для завершения доказательства первого пункта теоремы требуется установить, входит в множество Uw. O, вместе соv что точка Действительно, 0 u w a u 0 uw w Вложение (6) доказано. 0, a O u U v U w , O w w 0 u 0, O u vu a

своей окрестностью , , O v В самом деле, если , , u O v тосвоей окрестностью , , O v В самом деле, если , , u O v то v w , u O v u v v w и пункт 1) теоремы доказан. 2) Пусть теперь 0 1, int. u U y U 0 0, w u y u От противного примем, что Uw при каком-либо 1. находим 0 0. w u y u Полагаем 1 1 0, 1. u w vu wv v w Из представления для 0 0 w u y u Таким образом, 6 , , u O w U , . u O w где 0. v w U 0 u yw U v w , O w w v 0 u 0, O u u v входит в U вместе с окрестностью , O v

Тогда} 0 0 1 y u w u  где 00, 1 , , int. wТогда} 0 0 1 y u w u где 00, 1 , , int. w U u U По доказанному первому пункту теоремы тогда должно выполняться int , y U что противоречит условию Следовательно, Uw при всех 1. Очевидно, что из доказанной теоремы сразу следует справедливость теоремы 14. }}} 0, 1 i t 0 0 n , U U u w u Теорема доказана полностью. int. y U Упражнение 1. Из утверждения теоремы 15 Тогда для всех 0, 1 справедливо 01 int. 3 v u v U Пусть n. U R выпуклое множество , 0 int , . U u U v U вывести утверждение теоремы 14: внутренность выпуклых множеств выпукла. Решение. Пусть 1 2, int , 0, 1. u u U }}}} 0, 1 int i 1 n 2 t 1 int. U U U u u u U В силу int. U U из (3) следует

2. 7. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств.  Выясним условия не пустоты внутренности выпуклого множества.2. 7. Внутренность и относительная внутренность выпуклых множеств. Выясним условия не пустоты внутренности выпуклого множества. Выпуклое множество может иметь и не иметь внутренних точек. Например, круг в 2 R внутренние точки имеет, а отрезок прямой – нет. Лемма 1. Пусть 0 1, , , n n. S u u u RL — симплекс, натянутый на точки 0 1, , , nu u u. L 1 0 0, . , /mu u u uл нз L 0 1 0 0 , , , 0, 1 , m m m i i i S u u u L Тогда 0 1 int , , , . n. S u u u L Доказательство. Для доказательства достаточно построить хотя бы одну точку u из множества 0 1 int , , , . n. S u u u. L Полагаем 0 1, 0, 0, 1, , . 1 n i i n L 0 , n i i i u u Покажем, что 0 1 int , , , . nu S u u u L Действительно, в силу линейной независимости векторов 001 , , uuuu n для всех n Ru система линейных алгебраических уравнений

0 0 1 2 n i i i u u   1 1 1 10 0 1 2 n i i i u u 1 1 1 1 1 0 2 2 0 0 0 2 2 2 2 1 1 0 2 2 0 0 0 , , n n n n u u u u u u L L L L L L Lотносительно неизвестных ni i , , 1, имеет единственное решение , ui 1, , , i n. L непрерывно зависящее от. n u R Полагаем 0 1 ( ) 1 , . 3 n n i i u u u R Очевидно, что функция 1 0: n R R непрерывна. При 0 , n i i i u u u } 0 0 1 2 un i i i u u система (2) принимает вид 0 0 1. n i i i u u

} 0 0 1. in i i i u u Для niii, , 1, Действительно, } 0 0 1. in i i i u u Для niii, , 1, Действительно, 0 1 1 n n i i i u u }0 0 0 1 n i i in i i u iu u 0 0 1 0 0 n i i i u iu n i i u u 6 7 8 соотношение превращается в тождество. 0 0. 0 11 n i i ii i n u u 1 0 0 0 n i i i u uu 0 0 1 n i i u u u 0 0 0 1 1 n i i u u 64 7 48 Таким образом, набор чисел niii, , 1, является решением системы (2)

Тогда 1 0, 1, , . i iu i n  L } 0 1 (Тогда 1 0, 1, , . i iu i n L } 0 1 ( ) 1 in i i u u 0 0 11 1 0. 4 n i i 64 7 48 0 1 ( ) 1 , 3 n n i i u u u R Из (3) находим 0 0 1 2. n i i i u u В силу непрерывности функций ni. RR n i, , 1, 0, : 1 где величина 0 достаточно мала. для всех точек , , u O u 0 0 1 n i i iu u u 0 0 1 1 n n i i iu u u 0( ) 0, 0, 1, , , iu u i n L из неравенств 0( ) 0, 0, 1, , , 4 iu u i n L вытекают неравенства 0 0 1 (2) i i n i i iu u u Для этих точек из ( 2 ) находим при, 1, , , i iu i n L

0 0 0, 0 1 1 0, , , . m m i i iu u0 0 0, 0 1 1 0, , , . m m i i iu u n i i n iu u S u u u 6 4 4 7 4 48 L Последнее включение означает, что 0 1 int , , , . nu S u u u L Лемма доказана. 10 0 1 n n i i iu u u uu 0 0 1 13 1 u n n i i i u u 6 44 7 4 48 0 0 1( )n i i iu u

Упражнение 1. Даны: 3 4 0 1 21 2 1 0 1 , , , 0Упражнение 1. Даны: 3 4 0 1 21 2 1 0 1 , , , 0 1 1 u u u v 1. Доказать, что множество 0 2 0 1 2 1 2 , , 1, 0, 1, 2, 3 i. S u u u i является двух мерным симплексом, натянутым на векторы 0 1 2 , , . u u u 2. Доказать, что 3 4 0 1 21 2 , , . v Int S u u u 1. Очевидно, что 0 1 2, , S u u u 0 1 2, , co u u u 1 0 2 0 0 1 1 0 , 1 0 1 u u Вектора линейно независимы. 0 1 2 1 0 1 1, 0, 1, 2, 3 0 1 1 ii

0 1 2, , S u u u. Тогда симплекс. 2. Найдем решение системы линейных уравнений0 1 2, , S u u u. Тогда симплекс. 2. Найдем решение системы линейных уравнений 3 4 0 1 21 2 0 1 2 1 0 1 , 0 1 1 1 0 1 2, , . v Int S u u u 3 0 24 1 1 22 0 1 2 , , 1 1 02 1 14 1 24 , , 0 0. 0 Теорема 16. Пусть n. RU — непустое выпуклое множество. необходимо и достаточно, Uint Для того, чтобы dim , Lin. U U n чтобы т. е. чтобы несущее подпространство совпадало с . n. R } несущее подпространство Lin. U подпространство aff. U P Доказательство. Необходимость. Пусть int. v U Тогда существует окрестность , , O v U dim. U n Отсюда выводим, O v U aff. U n aff. U R n Lin. U R т. е. шар с центром в точке , v принадлежащий множеству. U Необходимость доказана.

Достаточность.  Пусть dim. U n Тогда . n Lin. U aff. U R  ОбозначимДостаточность. Пусть dim. U n Тогда . n Lin. U aff. U R Обозначим через 1 1 0 0 , , , r rv u u L максимальный набор линейно независимых векторов, На точки r uuu , , , 10 натянем n мерный симплекс 0 1 0 0, , , 0, 1. r r n r r i i i. S u u u co u u u L Lперебирая всевозможные точки , 0, 1, , . iu U i r L который можно получить, 0 1, , , r. S u u u U L 0 r i i iu U следует из выпуклости множества U 0 1 , , , ru u u U L и включения 00, 1 r i i i Для всех При nr по лемме 1 должно выполняться 0 1 int , , n r. S u u u L достаточно установить, что . r n поэтому Допустим противное: . r n Обозначим через } 0 1 , , 1, , . 5 ir i i i u u i L u v i r L 0 1 int , , , int. n r. S u u u UL

подпространство,  натянутое на вектора / 1, , . н r л v v 64 7подпространство, натянутое на вектора / 1, , . н r л v v 64 7 48 L. r n Размерность этого подпространства равна Из максимальности набора линейно независимых векторов 0011 , , uuvuuvrr для всех Uu имеет место равенство 1 0 1 , r L i iu u v R 6 7 80. 6 u u L выполняется. В силу (6) и произвольности u U 0 aff. U L u 0 U u L 0 афинное множество U L u 64 7 48 Lin. U L dim. 7 Lin. U L r 0 0 Lin. U u U aff. U u L 6 4 4 7 4 4 8 Теорема доказана. . r n Остается признать, что dim. n U Lin. U По условию теоремы. n r Тогда из (7) выводим Получили противоречие с. r n

Пример 9.  Выпуклое множество 3 2 2, , 1, 0 , U u x yПример 9. Выпуклое множество 3 2 2, , 1, 0 , U u x y z R x y z представляющее собой единичный круг в плоскости 3 2, , 0 , u x y z R z не имеет внутренних точек. В тоже время, если рассматривать это множество как подмножество 2 2, R то его внутренность не пуста. Рассмотренный пример приводит к следующему определению. Определение 12. Точка n RUv называется относительно внутренней точкой множества , U что , . O v aff. U UI , v. O точки если существует , v открытая окрестность . ri. U и обозначается символом называется относительной Множество всех относительно внутренних точек. U внутренностью множества O U x y z Lin. U v aff. U

Например, множество, состоящее из двух различных точек. Теорема 17.  Для любого выпуклого множества n. RUНапример, множество, состоящее из двух различных точек. Теорема 17. Для любого выпуклого множества n. RU его относительная внутренность не пуста. Доказательство. Не теряя общности, будем считать, что 0. U Тогда 0. aff. U Lin. U U и доказательство теоремы сводится к доказательству предыдущей теоремы. Множество Lin. U подпространство, которого совпадает с размерностью множества U размерность. Существуют множества, для которых относительная внутренность пуста. (В противном случае надо перейти к множеству , , U v v U при этом множество {}aff. U v- будет являться аффинной оболочкой для множества {}. U v- )Для единичного круга из примера 9 справедливо 3 2, , 0 aff. U Lin. U u x y z R z 3 2 2, , 1, 0. ri. U u x y z R x y z O U x y z aff. U Lin. U v