ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного программирования. 11. 2. Двойственная задача к стандартной задаче линейного программирования. 11. 3. Двойственная задача к общей задаче линейного программирования. 11. 4. Правило построения двойственной задачи.

11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного программирования. Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования. Задача 1. , inf, I u c u , , , s n A s n b R c R 00 , u U Au b Здесь00 , n U u R u 0. s R Построим функцию Лагранжа для задачи 1. Имеем , , , L u c u Au b , , , c u Au b , , . T c A u b Функция 0 1 : , R определяемая формулой 0 0 inf , , u U L u здесь выписывается в явном виде. Действительно, , , 0; , 1, , : 0. T i. T b c A i s c A L , , , T c u A u b

Таким образом, точка 0 , , , 0; , 1, , : 0 T i. T b c A i s c A L следует искать среди тех векторов 0 для которых выполнено 0. T c A Задача 1 д(а). , sup, b 0 s T R c A 0. s T R A c Двойственная задача 0 sup, формулируется так. Данная задача эквивалентна следующей. , inf, b 0. s T R A c Задача 1 д. на которой может достигаться максимум функции Эквивалентность з адачи 1 д и задача 1 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат одни и те же точки. Задачу 1 д(а) обычно называют двойственной к задаче 1.

Задача 1 д(а). является задачей линейного программирования с ограничениями типа неравенств. Заметим, что эту задачу Нельзя считать стандартной, т. к. компоненты вектора не обязаны быть положительными. , , , T ДL u b u A c Задача 1 д(а) , inf, 0 s T b R Aс , , , T b u c u A , , , u cb Au , , b Au c u Здесь 0 00 , двойственны n Д е u R u U 6 4 4 7 4 48 0 0, основн s е Д ы U R 6 4 4 44 7 4 48 Покажем, что задача двойственная к задаче 1 д(а), будет эквивалентна задаче 1. множители Лагранжа в задаче 1 д(а) символами Обозначим 1, , . nu u. L Составим задачи 1 д(а) функцию Лагранжа для 1. n u u u LПолагаем Тогда. Матрица ограничений T A. n s имеет размер

Тогда 0 inf , Д Д ДU u L u , , 0; , 0. c u b Au inf , , s s R R b Au c u Задача двойственная к задаче 1 д(а) , sup, c u 0; 0. n u u R b Au u U 0 0 sup, 0 n Д Дu u U u R u имеет вид (Задача 1 д(а))д. , , , ДL u b Au c u (Задача 1 д(а))д(а). , inf, c u 0; 0. n u u R b Au u U Задачи 1 и (1 д(а))д(а) тождественны. Задача 1. 0 0 , inf, 0 , 0. n c u u u U Au b U u R u

11. 2. Двойственная задача к стандартной задаче линейного программирования. Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования. Задача 2. , inf, c u 00 , n U u R u , , , m n A m n b R c R Здесь 0 0 m R 00 , u U Au b Построим функцию Лагранжа для задачи 2. Имеем , , , L u c u Au b , , , c u Au b , , . T c A u b Функция 0 1 : , R здесь выписывается в явном виде. определяемая формулой 0 inf , , u U L u , , 0; , 1, , : 0. T i. T b c A i m c A L Действительно,

точка Таким образом, 0 , на которой может достигаться максимум функции следует искать среди тех векторов 0 0 , m R , , 0; , 1, , : 0. T i. T b c A i m c A L для которых выполнено 0. T c A Двойственная задача 0 sup, 0 m R формулируется так. , sup, b 0 0, m T R c A 0, 0. m T R A c Данная задача эквивалентна следующей. Задача 2 д(а). , , b inf 0, 0. m T R A c

Задача 2 д(а). является стандартной задачей линейного программирования. Покажем, что задача двойственная к задаче 2 д(а) будет эквивалентна задаче 2. 1, , . nu u. L множители Лагранжа в задаче 2 д(а) символами Обозначим Задача 2 д(а) , , 0, 0 m T b inf R A c , , , T ДL u b u A c , , . b Au c u Здесь 0 00. двойственны n Д е u R u U 6 4 4 7 4 48 0 00 , основные m ДU R 6 4 4 4 7 4 4 4 8 Тогда 0 inf , Д Д ДU u L u 0 inf , , m. R b Au c u , , , ДL u b Au c u 1. n u u u LПолагаем. Составим функцию Лагранжа для задаче 2 д(а). Тогда. Эквивалентность Задачи 2 д и Задача 2 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат. одни и те же точки Задачу 2 д(а) обычно двойственной к Задаче 2. называют ограничений имеет размер . n m Матрица

0 inf , , m. R b Au c u , , 0; , 1, , : 0 i. ДT c u b Au u i m c A LЗадача двойственная к задаче 2 д(а) 0 0 sup, 0 n Д Дu u U u R u имеет вид. (Задача 2 д(а))д. , sup, c u ; 0. n u u R Au b u U (Задача 2 д(а))д(а). , inf, c u ; 0. n u u R Au b u U Задачи 2 и (2 д(а))д(а) тождественны. 0 0 , inf, 0 , 0. n c u U u R u u u U Au b Задача

11. 3. Двойственная задача к общей задаче линейного программирования. Рассмотрим общую задачу линейного программирования. , inf, c u 0 ˆˆ0, 0 , w u U Au b w 1 , , k nu w R k n u L ˆ , , . m s m n b R c R Здесь Задача 3. 0 0, . nw U u R w w ˆ, , A m n A s m n 1 , k ku w R u L

0 0 , s R Полагаем 1 m s R L 1 , m m R L Построим функцию Лагранжа для задачи 3. Имеем ˆˆ, , L u c u Au b ˆ, , , ˆ T T bw c A A wb 0 0. двойственны sе R 6 4 4 4 7 4 4 4 8 00 , основн е n ы w u U u R w w 6 4 4 4 7 4 4 4 8 ˆˆ, , , c u Au b ˆˆ, , , T T c A bubu u.

Функция 0 1 : , R определяемая формулой 0 inf , , u U L u здесь выписывается в явном виде. Действительно, 0 inf , u U L u ˆ, , ˆ T Tbw L u c A A wb 0 0 0 , 0 n s w u U u R w w R 0 ˆinf , , ˆ s m T T w w R bw c A A wb 0 ˆ0, 1, , , ˆˆ0, 1, , ; , j. T T c A A j kb bc A A j k n при остальных L L

Двойственная задача: 0 sup, 0 m s m. R R записывается в виде 0 ˆ0, 1, , , ˆˆ0, 1, , ; , j. T T c A A j kb bc A A j k n при остальных L L , sup ˆ b b Задача 3 д. ˆ0, 1, , ; j T T c A A j k L ˆ0, 1, , ; j T T c A A j k n L 0 0. m s m R R

Данная задача эквивалентна следующей. Задача 3 д(а). , inf, ˆ b b ˆ0, 1, , ; j T T c A A j k L ˆ0, 1, , ; j T T c A A j k n L 0 0. m s m R R Эквивалентность задачи 3 д и задача 3 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат одни и те же точки. Задачу 3 д(а) обычно называют двойственной к задаче 3. Матрица ограничений в ней имеет размер . n s Задача 3 д(а). является общей задачей линейного программирования. По аналогии с предыдущими пунктами доказывается, эквивалентны. что Задачи 3 и (Задача 3 д(а))д

11. 4. Правило построения двойственной задачи. Запишем задачу 3 и задачу 3 д(а) в координатной форме. 1 1 inf, k k n. I u c u c u L L 1 1 1 1 , , k k n m mk mk mn m a u a u b L L L L L L 1 1 1 1 , , k k n m m k m n m k k n s sk sk sn s a u a u b L L L L L L L 1 0, , 0. k u u L Задача 3.

Задача 3 д(а). 1 1 inf, Д m m s s. I b b L L 11 1 1 , , m m s s k mk m m k m sk s ka a a a c L L L L L L 1 1 1 1 n , , k mk m m k m sk s k n mn m m n m s s n a a a a c L L L L L L L 1 0, , 0. m L Сформулируем правило, задачи 3. в соответствие с которым строится задача 3 д(а), на основе

В двойственной задаче 3 д(а) сколько ограничений в прямой задаче 3. Матрица ограничений в двойственной задаче Вектором правых частей ограничений двойственной задачи В качестве вектора целевой функции двойственной задачи Ограничения двойственной задачи, записываются в форме неравенств, Наконец, переменные двойственной задачи, объявляются положительными, а на остальные переменные ограничения не налагаются. , 1, , jj s. L столько же, переменных с транспонированной матрицей ˆ A A ограничений прямой задачи, совпадает 1. умноженной на целевой функции прямой задачи. служит вектор коэффициентов ˆ b b правых частей ограничений прямой задачи. выступает вектор переменных прямой задачи, номера которых совпадают с номерами положительных в форме равенств. а остальные ограничения – с номерами ограничений типа неравенств в прямой задаче, номера которых совпадают

Пример 1. Прямая задача. 1 2 3 4 5 40 7 3 6 3 inf, u u u 1 2 3 4 5 4 2 3 55, u u u 1 2 3 0, 0, 0. u u u 1 2 3 4 5 17 16 4 2 5 46, 33 26 7 4 8 66, u u u u u Двойственная задача. 1 2 355 46 66 inf 1 2 3 4 17 33 40, 16 26 7, 2 4 7 3, 1 2 3 2 4 6, 3 5 8 3, 10. 1 2 3 4 5 , , I u u u 1 2 3, , ДI