Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11 ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11 ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В

лекция 28.ppt

  • Количество слайдов: 21

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 28 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ

11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного 11. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ 11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного программирования. 11. 2. Двойственная задача к стандартной задаче линейного программирования. 11. 3. Двойственная задача к общей задаче линейного программирования. 11. 4. Правило построения двойственной задачи.

11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного программирования. Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования. 11. 1. Двойственная задача к канонической задаче линейного программирования. Рассмотрим каноническую задачу линейного программирования. Задача 1. Здесь Построим функцию Лагранжа для задачи 1. Имеем Функция определяемая формулой здесь выписывается в явном виде. Действительно,

Таким образом, точка на которой может достигаться максимум функции следует искать среди тех векторов Таким образом, точка на которой может достигаться максимум функции следует искать среди тех векторов для которых выполнено задача Двойственная формулируется так. Задача 1 д. Данная задача эквивалентна следующей. Задача 1 д(а). Эквивалентность задачи 1 д и задача 1 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат одни и те же точки двойственной к задаче 1. Задачу 1 д(а) обычно называют

Задача 1 д(а). является задачей линейного программирования неравенств. Матрица ограничений имеет размер Нельзя считать Задача 1 д(а). является задачей линейного программирования неравенств. Матрица ограничений имеет размер Нельзя считать стандартной, т. к. компоненты вектора Покажем, что задача двойственная к задаче 1 д(а), Полагаем Здесь задачи 1 д(а) Тогда Заметим, что эту задачу не обязаны быть положительными. будет эквивалентна задаче 1. Обозначим множители Лагранжа в задаче 1 д(а) символами функцию Лагранжа для с ограничениями типа Составим

Тогда Задача двойственная к задаче 1 д(а) Задача 1. (Задача 1 д(а))д(а). Задачи 1 Тогда Задача двойственная к задаче 1 д(а) Задача 1. (Задача 1 д(а))д(а). Задачи 1 и (1 д(а))д(а) имеет вид тождественны.

11. 2. Двойственная задача к стандартной задаче линейного программирования. Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования. 11. 2. Двойственная задача к стандартной задаче линейного программирования. Рассмотрим стандартную задачу линейного программирования. Задача 2. Здесь Построим функцию Лагранжа для задачи 2. Имеем Функция определяемая формулой здесь выписывается в явном виде. Действительно,

Таким образом, точка на которой может достигаться максимум функции следует искать среди тех векторов Таким образом, точка на которой может достигаться максимум функции следует искать среди тех векторов Двойственная задача формулируется так. Задача 2 д. Данная задача эквивалентна следующей. Задача 2 д(а). для которых выполнено

Эквивалентность Задачи 2 д и Задача 2 д(а) понимается в том смысле, что их Эквивалентность Задачи 2 д и Задача 2 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат одни и те же точки Задачу 2 д(а) обычно называют двойственной к Задаче 2. Задача 2 д(а). является стандартной задачей линейного программирования. Матрица ограничений имеет размер Покажем, что задача двойственная к задаче 2 д(а) будет эквивалентна задаче 2. Обозначим множители Лагранжа в задаче 2 д(а) символами Составим функцию Лагранжа для задаче 2 д(а). Здесь Тогда Полагаем Тогда

Задача двойственная к задаче 2 д(а) имеет вид. (Задача 2 д(а))д(а). Задачи 2 и Задача двойственная к задаче 2 д(а) имеет вид. (Задача 2 д(а))д(а). Задачи 2 и (2 д(а))д(а) тождественны. Задача 2

11. 3. Двойственная задача к общей задаче линейного программирования. Рассмотрим общую задачу линейного программирования. 11. 3. Двойственная задача к общей задаче линейного программирования. Рассмотрим общую задачу линейного программирования. Задача 3. Здесь

Полагаем Построим функцию Лагранжа для задачи 3. Имеем Полагаем Построим функцию Лагранжа для задачи 3. Имеем

Функция определяемая формулой здесь выписывается в явном виде. Действительно, Функция определяемая формулой здесь выписывается в явном виде. Действительно,

Двойственная задача: записывается в виде Задача 3 д. Двойственная задача: записывается в виде Задача 3 д.

Данная задача эквивалентна следующей. Задача 3 д(а). Эквивалентность задачи 3 д и задача 3 Данная задача эквивалентна следующей. Задача 3 д(а). Эквивалентность задачи 3 д и задача 3 д(а) понимается в том смысле, что их решениями служат одни и те же точки Задачу 3 д(а) обычно называют двойственной к задаче 3. Задача 3 д(а). является общей задачей линейного программирования. Матрица ограничений в ней имеет размер По аналогии с предыдущими пунктами доказывается, что Задачи 3 и (Задача 3 д(а))д эквивалентны.

11. 4. Правило построения двойственной задачи. Запишем задачу 3 и задачу 3 д(а) в 11. 4. Правило построения двойственной задачи. Запишем задачу 3 и задачу 3 д(а) в координатной форме. Задача 3.

Задача 3 д(а). Сформулируем правило, в соответствие с которым строится задача 3 д(а), на Задача 3 д(а). Сформулируем правило, в соответствие с которым строится задача 3 д(а), на основе задачи 3.

В двойственной задаче 3 д(а) переменных столько же, сколько ограничений в прямой задаче 3. В двойственной задаче 3 д(а) переменных столько же, сколько ограничений в прямой задаче 3. Матрица ограничений в двойственной задаче совпадает с транспонированной матрицей ограничений прямой задачи, умноженной на Вектором правых частей ограничений двойственной задачи служит вектор коэффициентов целевой функции прямой задачи. В качестве вектора целевой функции двойственной задачи выступает вектор правых частей ограничений прямой задачи. Ограничения двойственной задачи, номера которых совпадают с номерами положительных переменных прямой задачи, записываются в форме неравенств, а остальные ограничения – в форме равенств. Наконец, переменные двойственной задачи, номера которых совпадают с номерами ограничений типа неравенств в прямой задаче, объявляются положительными, а на остальные переменные ограничения не налагаются.

Пример 1. Прямая задача. Двойственная задача. Пример 1. Прямая задача. Двойственная задача.