ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 27 10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 27 10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ

10. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ 10. 1. Постановка двойственной задачи. 10. 2. Теорема двойственности.

10. 1. Постановка двойственной задачи. Пусть 0 1 0: L U R ее регулярная функция Лагранжа. Рассмотрим функцию 1 0: , U R определенную формулой 00 1 sup ( ) , . s i i i I u g u u U Нетрудно видеть, что u U inf, , I u u U 00, 1, , ; 0, 1, , , i i. U u U g u i m s L L Рассмотрим задачу выпуклого программирования 1 00, 1, , is s R i m L L 0 ( ) sup , u L u и при 0 0 неравенство переходит в равенство. Отсюда выводим равенство Тогда величина s i iiug 1 )( выбором вектора 0 0 1, , : ( ) 0, \ 1, , : ( ) 0. i i либо i m g u u U U либо i m s g u L LПусть может быть сделана сколь угодно большой. 0, 1, , , 0, 1, 1 , ( ) i m знак i m i m sss i i i g u L L 0 0,

0 ( ) sup , u L u 0 ( ), , , \ I u u U U 0 inf ( ) u U u I u Тогда исходную задачу можно переписать в виде. Задача 1. 0( ) inf, . u u U Наряду с функцией рассмотрим функцию 0 1 : , R определенную формулой 0 , , inf)( 0 u. L Uu и сконструируем задачу. Задача 2. 0 sup, . 0 0 1 0 sup ( ) , , , \. s i i i I u g u u U U 6 4 7 48. I Определение 1. Задача 2 называется двойственной к задаче 1 (основной). Переменные n uu, , 1 называются основными, а переменные 1, , s L двойственными.

10. 2. Теорема двойственности. Установим связь между оптимальными значениями целевых функций основной и двойственной задач. Теорема 1. Имеет место неравенство 0 sup inf ( ). u U I u I Доказательство. Для всех 0 0, Uu справедливо 0 inf , . 1, u U LL uu Возьмем точную верхнюю грань по переменной 0 от обеих частей (1) 0 sup 0 ( ), sup , L uu 0. 2 u U Обозначим через 0 sup 0 , множество всех решений двойственной задачи и функции, соответственно. оптимальное значение ее целевой

0 inf ( ) u U u I ( ) 2 u . I Теорема доказана. Теорема 2 (двойственности). Для того чтобы было выполнено , , 3 U I необходимо и достаточно, чтобы функция Лагранжа имела седловую точку на множестве 0 0. U Множество седловых точек функции Лагранжа совпадает с множеством , , . U u u U Доказательство. Необходимость. Пусть выполнены соотношения (3). Покажем, что для любых , Uu пара , u является седловой точкой для функции Лагранжа. Имеем 0 ( ) inf , u U L u ( , )L u 0 0 sup , ( ) sup ( , ) L u u L u Переходя в неравенстве (2) получим 0, u U к точной нижней грани по переменной 0 inf ( , ) u U L u . 4 u I

00 sup ( , ) inf ( , ). 5 u U L u L u Последнее равенство означает, что ( , ), L u L u 0 0, . u U Таким образом, пара , u седловая точка. Отсюда также следует, что множество U вложено в множество седловых точек функции Лагранжа. Необходимость доказана. Достаточность. Пусть 0 0, u U седловая точка функции Лагранжа. Тогда 0 ( , ), . L u Отсюда следует 0 sup ( , ). 6 L u u L u Аналогично из неравенства 00 inf ( , ) sup ( , ) 4 u U L u L u I По условию необходимости . I Тогда из неравенства (4) следует, что

0), , (), (Uuu. L выводим 0 inf ( , ). 7 u U L u Из (7), (6) 0 sup ( , ) 6 L u u L u I u , , I u U 7 ( , )L u в силу теоремы 1 получим 0 sup 1 I теорема I 0 inf ( ) u U I u u 6 ( , )L u Тогда Отсюда выводим, что множество седловых точек функции Лагранжа вложено в множество . U Теорема доказана. Отсюда, в частности следует, что если пары 1 1 2 20 0( , ), ( , )u u U образуют седловые точки функции Лагранжа, то и пары

2 1 1 20 0( , ), ( , )u u U также являются седловыми точками. можно выбирать одними и теми же Тогда множители Лагранжа в теореме Куна – Таккера для всех . u U Замечание. В доказательстве теоремы двойственности нигде не использовался тот факт, что исходная задача является задачей выпуклого программирования. Таким образом, теорема двойственности верна и для произвольной задачи математического программирования. Очевидно, что если пара 0 0), ( Uu образует седловую точку функции Лагранжа, то пара 0 0)ˆ, ˆ(Uu определенная из условия ), ()ˆ, ˆ( u. L не обязана быть седловой точкой. 0( , ) , U u U L u Рассмотрим множества Более того пусть 0 0( , )u U седловая точка функции Лагранжа.

В общем случае выполняется лишь , . U U u Пример 1. Пусть 0 1 0. U R Данная функция имеет единственную седловую точку ( , ) 0, 0 , u а 1. U u R Существуют задачи выпуклого программирования, для которых , I даже если , . U Пример 2. Пусть 1 0, , u I u e U R 10, 1, u m s g u ue Тогда 00 0 U u U g u 0 , 0 1, U I I и 0, . , , L u u 0 ( , ). u L u

, u u L u e ue , u u I u e g u ue Выпишем функцию Лагранжа для данной задачи 1. u e u Вычисляем 11 0, 0; , 0 e 8 Пояснения требует третья строчка в равенстве (8). Приведем график функции 00 , 1 u const L u e u при 5. Найдем минимизирующую точку 1 Ru -1 1 2 3 4 5 -1 -0. 5 11. 5 u для 0. Имеем , 0 u u u. L u e ue e u 1 0 u 1. u 1 inf , u R L u

для Таким образом, 0 имеем 1. , u L u 1 1 1 e 11 e 11 u u e u Отсюда 1 sup R 0 0 1 11 0, 0; sup , 0; 0, 0 R e 0, 0 , и соотношение (8) доказано. Таким образом, 0 1. I 0 , U но

Двойственная задача всегда является задачей выпуклого программирования независимо от того, какой была основная (исходная) задача. Действительно, двойственная задача 0 sup, эквивалентна задаче 0ˆinf, , 0ˆ, . 0ˆ ( ) inf , u U L u 0 0 sup , , . 9 u U L u Имеем Достаточно установить выпуклость функции ˆ на множестве 0. 1 2ˆ1 Для всех 1 2 0 , , 0, 1 справедливо 0 1 2 sup , 1 u U L u 0 1 2 1 sup 1 1 s i i i u Ui I u g u 0 1 2 1 1 sup 1 1 s s i i u Ui i I u g u

является задачей выпуклого программирования. т. е. двойственная задача 0 1 2 1 1 sup 1 s s i i u U i i. I u g u 0 1 2 sup , 1 , u U L u 0 0 1 2 sup , sup 1 , u U L u 0 0 1 2ˆ ˆ 1 2 9 sup , 1 sup , u U L u 6 4 4 7 4 4 8 1 2 ˆ ˆ1. 0 Выпуклость функцииˆ на множестве доказана, 0 2 1 1 1 sup 1 1 s i i i s i i u Ui I u. Igguu u удобнее сначала исследовать двойственную к ней задачу. Благодаря этому обстоятельству математического программирования, в задачах регулярная функция Лагранжа которых имеет седловую точку,

Двойственная задача к двойственной не обязана совпадать с исходной задачей. Например, если исходная задача не является задачей выпуклого программирования.