Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 26 9 ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 26 9 ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

лекция 26.ppt

  • Количество слайдов: 12

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 26 9. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 26 9. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств. 8. 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств. 8. 6. Теорема Куна – Таккера. Общий случай.

8. 5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств. Теорема о существовании седловой точки 8. 5. Теорема Куна - Таккера для многогранных множеств. Теорема о существовании седловой точки функции Лагранжа в случае, когда множество является многогранником и верна без предположения о регулярности множества Теорема 4. Пусть в задаче 1 выпуклого программирования где каждой точки и множество Тогда для необходимо существует вектор такой, что пара образует седловую точку функции Лагранжа для этой задачи.

Доказательство. Возьмем Полагаем Построим конус Покажем, что множество возможных направлений множества в точке совпадает Доказательство. Возьмем Полагаем Построим конус Покажем, что множество возможных направлений множества в точке совпадает с конусом Действительно, пусть точке при всех Тогда существует число Далее пусть возможное направление множества что в

Тогда Таким образом, Обратно, пусть Покажем что т. е. что это направление возможное. Для Тогда Таким образом, Обратно, пусть Покажем что т. е. что это направление возможное. Для индекса и имеем

при малых Для индекса имеет место неравенство Наконец для индексов выполняется Таким образом, соотношения при малых Для индекса имеет место неравенство Наконец для индексов выполняется Таким образом, соотношения (1) установлены. Следовательно, направление является возможным. Для точки по теорема 5. 2 о минимуме дифференцируемой выпуклой функции, определенной на выпуклом множестве, имеет место неравенство Для всех справедливо включение Тогда из (3) выводим

В дальнейшем потребуется ссылка на теорему Фаркаша. причем Пусть заданы матрицы Теорема 6 (Фаркаша). В дальнейшем потребуется ссылка на теорему Фаркаша. причем Пусть заданы матрицы Теорема 6 (Фаркаша). Для вектора выполняется для всех вектора неравенство в том и только том случае, если существуют такие что Установим соответствие в обозначениях теоремы Фаркаша и доказываемой теоремы

Из теоремы Фаркаша следует cсуществование векторов таких, что Доопределяем: Тогда Заметим, что Из (4) Из теоремы Фаркаша следует cсуществование векторов таких, что Доопределяем: Тогда Заметим, что Из (4) следует равенство умножим на Для произвольного скалярно последнее

Полагаем Для всех По построению имеем Полагаем Для всех По построению имеем

Таким образом, для Отсюда по теореме 1 заключаем, выполнено что точка является седловой для Таким образом, для Отсюда по теореме 1 заключаем, выполнено что точка является седловой для функции Лагранжа. Теорема доказана. Из доказанной теоремы, в частности следует, что для функции Лагранжа в задаче линейного программирования, имеющей конечное решение, всегда существует седловая точка. 8. 6. Теорема Куна – Таккера. Общий случай. Приведем без доказательства общий вариант теоремы Куна-Таккера. Теорема 5. Пусть в задаче выпуклого программирования существует точка регулярности). такая, что множество (условие и

необходимо существует вектор множителей Тогда для каждой точки Лагранжа такой, что пара где является необходимо существует вектор множителей Тогда для каждой точки Лагранжа такой, что пара где является седловой точкой для функции Лагранжа.