ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств.

8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств. Теорема 3 ( Куна-Таккера ). Пусть в задаче 1 , m s выполнено условие регулярности и . U Тогда для каждой точки Uu необходимо существует вектор 0 такой, что пара , u образует седловую точку функции Лагранжа для этой задачи. Доказательство. 0 0 1 0 ( ), : , ( ), 1, , i i ma a I u a A a u U a g u i m a L L 0 1 0 , 0, 1, , . i m b b B b b I b i m b L LВ пространстве 1 m R рассмотрим два множества и

Покажем, что. A B I Действительно, пусть. a A Тогда найдется такое 0, u U что будут справедливы неравенства 0 1 1, , , . m ma I u a g u L Если , u U то 0 0 a I u I b 0 0. a b a B 0 1 0 , 0, 1, , i m b b B b b I b i m b L L Если 0\ , u U U то найдется такой номер 1, , , i m. L что ( ) 0. ig u Тогда ( ) 0 i i ia g u b . i i a b a B Множества A и. B выпуклы. Для множества B это очевидно. Пусть 0 0 1 1 , . m m a d a A d A a d L L Докажем выпуклость. A множества

Тогда найдется 0, u U что 0 1 1, , , m ma I u a g u L Для произвольного числа 1, 0 положим 0 00 0 1 11 1 1 , 1 m mm m a da d a a da d LL L 0 1 1, , , . m md I v d g v L 0, v U и что } 01. выпукло u u v U Покажем, что точка является именно той, 0 u U существование которой доказывает. a A включение Действительно, в силу выпуклости функций mgg. I, , , 1 справедливы неравенства 1 I u v 00 1 ( ) ad I u I v

, 0 0 0 1 a d a 0. I u a Аналогично 1 i ig u v 1 ( ) iiad i ig u g v 1 i i i a d a , 1, , . i ig u a i m L Таким образом, a A и выпуклость множества A доказана. По теореме об отделимости выпуклых множеств существует гиперплоскость 1 , , , 0 n с w R c w c отделяющая множества A A и: B , , 6. c a c b a A b B Обозначим 0 1 0. m с L (Именно этот вектор и будет тем, существование которого требуется доказать). Тогда неравенство (6) принимает вид 0 0 m m i i i a b , . a A b

, c y Определим величину. Заметим, что 0. 0 I y A B I L Действительно, точка 0, u U U U является той, существование которой требуется для включения , y A т. к. имеет место, I u I 0, 1, , . ig u i m L Включение y B очевидно. Вычисляем y A B I, y c 0. I 0 10 , 0 m I с y LL } 0 , , 6 I c a c b a A b B Перепишем неравенство (6) в виде 0 0 1 m i i i a a 0 I 0 0 1 , , . 7 m i i i b b a A b B Покажем, что пара , , u где 1 , m L удовлетворяет условиям теоремы

и, следовательно, является седловой точкой функции Лагранжа. u U U Действительно, условие 3) очевидно выполнено. выполнение условия 2). Проверим Для всех mi, , 1 положим 0 0 ( ) 0 i I z i g u L L 01) , , , ; L u u U 2) ( ) 0, 1, , , i ig u i m L 3). u U 0 0 0 1 0: ( ), , 0, 1, , ( ), 1, , i i i m m b u U a b a I u a b b I b i m a a g u b i m a A B L L I Из неравенства (7) находим a b z i при 0 0 0 1 1 , , 7 m m i i i a a I b b a A b

0 i ig. Iu 0 I 0 i ig. Iu 0, 0 i i g u 0, 1, , . 8 i ig u i m LУсловие 2) теоремы доказано. } } 0 0 0 1 1 7 i ig u m m i i i g u I I i i i a a I b b 64 7 48 6 7 8 0 0 ( ) 0 i I z i g u L L Покажем, что 0, 0, 1, , . ii m L Полагаем 0 1 0 , 0, 1, , 1 0 (0) , 0 i m b bb b I b i m b I b B L L L 0 10 , 0, 1, , 0 ( ) , 1 0 i m b b I b i m b. I b i B L L 1, , . i m. L

Подставляя эти вектора в правую часть (7), 0 0 , 7 m i i i I b b 0 I 0, 1, , . ii m L 00, 0 0 1 0 m i i s s i I I 00 0 0 1 0 m i i I 0 i } 1 0 0 0 : I b L } 0 1 0 : I b i L L последовательно находим Покажем, что 00. Пусть Uu точка, фигурирующая в условиях Слейтера. 1: 0, , ( ) 0 mu U g u L Тогда 0, 0, 1, , ii m LНеравенства установлены.

} 1. m u u I u g u a A g u LДля вектора a из левой части неравенства (7) }} 0 0 7 i m i i i I u g u a a I находим 0 0 1. 9 m i i i I u g u I 1 0. 10 m i i i g u } 0 10 0 mс LВ силу. От противного 00 из (9) выводим 1 0. m L следует Из доказанных неравенств : 0 0, 1, , ii ii m L

Остается признать, что 00. 0 : 00 1 , 0. iim i i i g u выводим, что 1 0 10 m i i i g u Последнее неравенство противоречит (10). и условий Слейтера : u U 10, , ( ) 0 mg u L Поделим неравенство (7) 0 0 0 1 1 7 m m i i i a a I b b на 00. 0 1 m с L Новые компоненты вектора будем обозначать прежними символами. Неравенство (7) принимает вид 0 0 1 1 11 m m i i i a a I b b Тогда 01 и 1 0. m L

Для завершения доказательства теоремы осталось установить справедливость условия 1). 01) , , , L u u U Пусть 0. u U Тогда 1 ( )m I u g u a u A g u L 0 0 1 0 ( ), : ( ), 1, , i i ma a I u a A a u U a g u i m a L L Из левого неравенства в (11) 0 1 11 m i i ia a I (8) 0 1( )m i i i. I u g u I g u 64 7 48 для этой точки имеем , 1 1 , ( ) ( ) m L m i i i u L i u I u g u 6 4 44 7 4 4 48 6 4 4 7 4 4 8 0, , , . L u u U Теорема доказана.