ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8 ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 25 8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

8. ВЫПУКЛОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств.

8. 4. Теорема Куна-Таккера. Ограничения типа неравенств. выполнено условие регулярности Теорема 3 (Куна-Таккера). Пусть в задаче 1 Тогда для каждой точки и такой, что пара этой задачи. Доказательство. и В пространстве необходимо существует вектор образует седловую точку функции Лагранжа для рассмотрим два множества

Покажем, что Тогда найдется такое Действительно, пусть что будут справедливы неравенства Если то найдется такой номер Если то что Тогда Множества и множества Пусть выпуклы. Для множества это очевидно. Докажем выпуклость

и что Тогда найдется что Для произвольного числа является именно той, существование которой доказывает Покажем, что точка включение положим Действительно, в силу выпуклости функций справедливы неравенства

Аналогично Таким образом, и выпуклость множества По теореме об отделимости выпуклых множеств доказана. существует гиперплоскость отделяющая множества и , Обозначим (Именно этот вектор и будет тем, существование которого требуется доказать). Тогда неравенство (6) принимает вид

Определим величину Заметим, что Действительно, точка является той, существование которой требуется для включения т. к. имеет место Включение очевидно. Вычисляем в виде Перепишем неравенство (6) Покажем, что пара где удовлетворяет условиям теоремы 1

и, следовательно, является седловой точкой функции Лагранжа. Действительно, условие 3) очевидно выполнено. Проверим выполнение условия 2). Для всех Из неравенства (7) при находим положим

Условие 2) теоремы доказано. Покажем, что Полагаем

Подставляя эти вектора в правую часть (7), находим Неравенства Покажем, что последовательно установлены. Пусть точка, Тогда фигурирующая в условиях Слейтера.

Для вектора из левой части неравенства (7) находим От противного В силу из (9) выводим следует Из доказанных неравенств

выводим, что и условий Слейтера Последнее неравенство противоречит (10). на Поделим неравенство (7) Новые компоненты вектора и Остается признать, что будем обозначать прежними символами. Тогда Неравенство (7) принимает вид

Для завершения доказательства теоремы осталось установить справедливость условия 1). Пусть Из левого неравенства в (11) Теорема доказана. Тогда для этой точки имеем