ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 19 7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
7. СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 7. 5. Критерий минимума для субдифференцируемых функций.
7. 5. Критерий минимума для субдифференцируемых функций. множеств Теорема 5. справедливо следующее утверждение. и функций Пусть точкой минимума функции Для произвольных Для того, чтобы точка на множестве была необходимо и достаточно выполнение включения Доказательство. Пусть точка минимума функции на множестве Обратно Теорема доказана. Для выпуклых функций, определенных на выпуклых множествах, справедлив более содержательный результат.
Теорема 6. Пусть выпуклая функция и - открытое выпуклое множество, - выпуклое подмножество. Для того, чтобы функция достигала своей нижней грани на множестве достаточно, чтобы существовал субградиент Необходимость. Пусть В пространстве введем множества в точке необходимо и такой, что
и Введенные множества доказывается аналогично выпуклости надграфика Факт выпуклости множества выпуклой функции теорема 4. 1. Выпуклость множества В обоих случаях и Тогда существует гиперплоскость с нормальным вектором множества и очевидна. Покажем, что Тогда, либо Действительно, пусть либо являются выпуклыми. т. е отделяющая
Отсюда выводим Заметим, что для точки Тогда из (1) выводим выполнено
Неравенство (1) перепишем в виде Из правого неравенства в (2) при получим Покажем, что Пусть все же Тогда из левого неравенства в (2) выводим
Полагаем в (3) где настолько мало, что Получили противоречие с тем, что Разделим (2) Таким образом , на В результате получим Полагаем Из (3) выводим Тогда
При находим из левого неравенства в (4) из правого неравенства в (4) находим доказана. Необходимость Достаточность. Пусть для некоторой точки По определению субградиента Достаточность доказана. Теорема доказана полностью. и выполнено тогда
Замечание. Как видно из доказательства теоремы множества субградиент Упражнение. вектор не зависят от выбора Для и проверить выполнение теоремы 6 Решение. Здесь В качестве Тогда возьмем вектор Тогда и
для всех Теорема 6. Пусть выпуклая функция и - открытое выпуклое множество, - выпуклое подмножество. Для того, чтобы функция достигала своей нижней грани на множестве в точке достаточно, чтобы существовал субградиент Следствие. Пусть в условиях доказанной теоремы обеспечивающий неравенство (5), необходимо и такой, что Тогда субградиент, может быть только нулевым вектором.
при Действительно, для такого достаточно мало. Из (5) Таким образом, проверка точек включения Пример 4. где выводим на оптимальность сводится к проверке Почему в упражнении Пусть Очевидно, что других субградиентов Здесь и Покажем, что обеспечивающих неравенство (5), не существует. Действительно,
Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 19 7 СУБГРАДИЕНТ И СУБДИФФЕРЕНЦИАЛ
лекция 23.ppt