ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 19 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 6. 5. Теорема Фаркаша
6. 5. Теорема Фаркаша Пусть заданы матрицы причем множество Теорема 6 (Фаркаша). Для вектора выполняется для всех неравенство в том и только том случае, если существуют (вектор такие что вектора является линейной комбинацией строк матриц и с положительными коэффициентами при строках матрицы Приведем эквивалентную формулировку теоремы. Полагаем выпуклый и замкнутый конус. Замкнутость множества является следствием непрерывности линейных функций. Докажем его выпуклость. Заметим, что множество Пусть и Тогда
Покажем, что множество конус. Действительно, пусть и Тогда Эквивалентная формулировка теоремы. Доказательство. Необходимость. Пусть Требуется доказать, что теореме 2 существует вектор и для всех Предположим, что такой, что справедливо Тогда по
Обозначая приходим к неравенству Покажем, что Множество конус. Тогда Из (1)следует только, если Неравенство (2) возможно для Для и всех в силу (3) выводим
Покажем, что из (4) следует От противного приходим к или Тогда выбором или можно нарушить неравенство (4). Доказанные соотношения означают, что Однако По условиям необходимости должно выполняться в силу из (1) Полученное противоречие доказывает необходимость Достаточность. Пусть следует
Требуется доказать, что Действительно, Теорема доказана полностью. Дадим геометрическую интерпретацию теореме Фаркаша для частного случая Тогда матрица Обозначим через имеет размера столбцы матрицы Тогда и
Пусть Теорема 5 (Фаркаша). выполняется для всех если существует вектор что Неравенство в том и только том случае,
Упражнение. Пусть 1. Построить множество 2. Доказать, что вектор удовлетворяет условию 3. Показать. что в разложении выполнено Решение.
Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 19 6 ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ
лекция 19.ppt