ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 18 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 18 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 6. 4. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых множеств.

6. 4. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых множеств. Всякое выпуклое множество полностью определяется своими опорными полупространствами. Именно, справедлива следующая теорема. Теорема 5. Выпуклое компактное множество U Доказательство. Требуется доказать, что совпадает с пересечением всех своих опорных полупространств v. U l l v l w ˆl ˆv l (перебор производится по всем 0, 1 l S ). 0, 1 , l S U l I Вложение 0, 1 l S U l I очевидно. где l опорное полупространство в направлении вектора 0, 1. l S , min , (2. 3)n v U u U l u R l u l v Действительно, для всех 0, 1 u U и l S из равенства (2. 3) выводим. u l Пусть теперь нашлась точка 0, 1 l S w l I такая, что. w U U Тогда по теореме 2 найдется вектор ˆ0, 1 , l S удовлетворяющий условию

22ˆ ˆ ˆ, , , Теоремаl u l w l u U 6 4 4 44 7 4 4 48 ˆ ˆ, , , . l u l w u U В частности, при ˆ ˆ ˆ, min , опорное в направлении l множ v U ество u v l V l v l U l v l l v 6 4 4 44 7 4 4 48 отсюда следует ˆ ˆ ˆ, , l v l l w Теорема доказана. 0, 1 сделанное предположени S е l w l I ˆ ˆ ˆ, , min , . определ U ние v v е l l w l v l l v Последнее неравенство противоречит включению Теорема 6. Пусть n U R — выпуклый компакт. Тогда w U , , 0, 1. max , UUu U l w l ll l. Su Необходимость очевидна. ˆ ˆ ˆ, min , n v U l u R l u l v ˆ v l ˆ ˆ, min , . v U l w l v

Проверим достаточность. , Uw l l , min , 0, 1. u U w l u l l S Последнее означает, что точка w принадлежит всем опорным полупространствам множества U и, по теореме 5 , самому множеству. U Теорема 7. Пусть , n. U V R — выпуклые компакты. Вложение U V имеет место тогда и только тогда, когда , 0, 1. 1 U Vl l l S Необходимость очевидна. Проверим достаточность. От противного приходим к max , u U u l В последнем неравенстве заменим l на. l В результате получим. Умножим полученное неравенство на (-1). Тогда min , 0, 1 u U u l l S min , u U u l Теорема доказана. , min , (2. 3)n v U l u R l u v l , min , 0, 1. u U w l u l l S

существованию точки , u U. u V для которой По теореме 6 найдется вектор ˆ0, 1 , l S что ˆ ˆ, . Vu l l Тогда справедлива следующая цепочка неравенств ˆ ˆmax , U u Ul u l что противоречит (1). Теорема доказана. , 0, 1. 1 U Vl l l S ˆ ˆ, , Vu l l Упражнение. Пусть , , . n. A B R A B I Вывести формулу для вычисления величины 1 min. B A A B 1 Решение. Величина 1 наименьшее из положительных чисел , удовлетворяющих неравенству , 0, 1 BA l l l S 0, 0, B AA O Ol l 64 7 48 B Al l u U V ˆl 0, 1. B Al l l S

0, 1 B Al l l S Упражнение. Проверить полученную формулу для множеств 2 20 2 , 1 , , 1 0 2 A O R B O R 11 max. B Al l l 2 21 2 2 01, 1 2 0 max l l. O O l l 2 21 2 2 0 01, 1 2 0 0 max l l. O O l l 2 2 2 21 2 0 0, 1 0 0 2 21 1 2 2 max Ol l l l. O l ll l 11 max. B Al l l Решение. x y

2 21 2 max l l l 2 21 2 1 12 2 max , 2 l l 2 21 2 1 21 2 max 2 2. l l x y A B 1 2 2 Полученный результат полностью согласуется с рисунком. Следствие 1. Пусть , n U V R — выпуклые компакты. Равенство U V имеет место тогда и только тогда, когда , 0, 1. U Vl l l S Доказательство. Вытекает из утверждения . логическое U V V U I

Следствие 2. Пусть , n U V R — выпуклые компакты. Тогда 0, 1 , max. 2 U Vl S U V l l Доказательство. По определению расстояния Хаусдорфа выводим 1 2, max , , U V где величины 1 2 , определяются из условия 1 0 min. U V 0 min U Vl l 10, 1 max , V Ul S l l 2 0 min V Ul l 0 min , 0, 1 V Ul l l S 0 min U V l l 0 min , 0, 1 U Vl l l S 20, 1 max. U Vl S l l

Тогда 1 2, max , U V 0, 1 max , V U U Vl S l l Теорема доказана. 0, 1 max , max V U U V l Sl l 0, 1 max. U Vl S l l 1 20, 1 max , max. V U U Vl S l l Упражнение. Вычислить расстояние Хаусдорфа между множествами 20, 1 1, 1 x K u R x y y () 2 2 2 0, 1 1 x O u R x y y ì üæöï ï ï ï÷ç= = ÷Î + £í ýç÷ç÷çï ïè øï ïî þ и Решение. x y O 2 2 1 2 0, 1 , 0, 1 max l K O l l S l l K O l l 64 7 48 }} 2 2 1 2 1 2 1 cos sin 1 max l l l

0, 2 0 max cos sin 1 6 4 4 7 4 48 Этот же результат может быть получен из анализа рисунка. x y O В случае, если множества , n. U V R не являются выпуклыми, может не выполняться. то равенство (2) 0, 1 , max 2 U Vl S U V l l Пример 1. 1 2 0 0 , . 1 1 b. Vb Пусть 2 n и 1 2 1 1 , , 0 0 a a. U 1 u 2 u 1 1 11 0 1 a 2 a 1 b 2 b Тогда , 2. U V С другой стороны 1, 2 max , U ii l a l 2 2 21, 2 max , , V ii l b l l 1 1 1 max , , l l l 0, 1. l S Таким образом, 2 2 1 2 1 max 1 2 , . l l U V 0, 1 max. U V l S l l 0, 2 max cos sin 1 2 1 }} 2 2 1 2 1 cos 0 sin 0 1 2 1 max l l l

Теорема 8. Пусть n RU компактное множество Тогда , , 0, 1. 3 Uu l l l S Обратно, Доказательство. Пусть int. u U Тогда , O u U для некоторого числа 0. Для всех 0, 1 l S имеем 0 , , , Ou l UO u l l l 64 7 48 , , 0, 1. Uu l l l S Обратно, пусть , , 0, 1. Uu l l l S Непрерывная функция , Ul l u l строго положительна на компакте 0, 1 , S поэтому ее минимум на 0, 1 S строго положителен. Обозначим его через int. u Uесли выполнено условие (3), то 0, , l UOu l l l 64 7 48 int. u U и 0, 1 min l S l 1 , Uu l l l 0, 1 min , 0. Ul S l u l Тогда

0, 1 , min , U Ul S l u l , , 0, 1 UO ul l l S , , O u Uи точка u внутренняя для. U Теорема 9. Для любых выпуклых компактов n RBA, условие BA когда выполнено неравенство min , ( ), 0, 1. 4 Ba A l a l l S Доказательство. Необходимость. Пусть . A B I Тогда min , A A a A q B B A l a l q I I max , q A B B A B q l I I ( ), 0, 1 , Bl l S , , , 0, 1 O ul Uull l l S 6 44 7 4 48 1, , 0, 1 U l u l l l S имеет место тогда и только тогда, A BI ( ) max , B q B l q l 64 7 48 что и доказывает необходимость. , Ul u l

Достаточность. min , max , ( ). Ba Ab B l a l b l Последнее соотношение противоречит (4). Теорема доказана. min , ( ), 0, 1. 4 Ba A l a l l S Упражнение. Пусть , , . n. A B R A B I Вывести формулу для вычисления величины min , A B I AB Решение. В силу теоремы 9 величина наименьшее из положительных чисел, удовлетворяющих неравенству ˆ ˆmin , ( ), 0, 1. B a A l a l l S 0, 1 , l S для которого приходим к существованию вектора От противного по теореме 4 ( о сильной отделимости выпуклых множеств)

ˆ ˆmin , ( ), 0, 1. B a A l a l l S Заметим, что ˆ0, ˆ ˆ ˆmin , a A Oa A l a 0, min , a As O l a l s min , . a A l a Подставим полученное выражение в (*). Имеем min , max , , 0, 1 a Ab B l a l b l S 0, 1 max min , max , . a Al S b B l a l b , 0, min , a A s O l a s

Упражнение. Проверить полученную формулу для множеств 2 20 2 , 1 , , 1 0 2 A O R B O R x y A B 1 10, 1 max min , max , . a Al S b B l a l b 2 21 2 201, 1, 120 max min , l l. Oa O l a l 2 21 2 12 2 1 2 1 212 2 max , 2 l l l l 2 21 2 1 12 2 max , 2 2 l l 2 21 2 1 12 2 max , 2 2. 2 l l Результат согласуется с рисунком. Решение.

Теорема 10. Для любых компактных множеств , , n. U W R матриц nn. A и чисел выполняются равенства 1. ; co U W co U co W 2. ; co U 3. . co AU Aco U Доказательство. Множества в правых и левых частях этих соотношений выпуклы и компактны, их опорные функции совпадают , следовательно, совпадают и сами множества. Приведем подробное доказательство для первого равенства. Пусть . n v R Имеем co U Wv. co. U co. Wv U Wv v co. U co. Wv v