ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 18 6 ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 18 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 6. 4. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых множеств.

6. 4. Некоторые следствия из теорем об отделимости выпуклых множеств. Всякое выпуклое множество полностью определяется своими опорными полупространствами. Именно, справедлива следующая теорема. Теорема 5. Выпуклое компактное множество совпадает с пересечением всех своих опорных полупространств (перебор производится по всем ). Доказательство. где Требуется доказать, что опорное полупространство в направлении вектора очевидно. Действительно, для всех выводим из равенства (2. 3) Пусть теперь нашлась точка Тогда по теореме 2 найдется вектор Вложение такая, что удовлетворяющий условию

В частности, при отсюда следует Последнее неравенство противоречит включению Теорема доказана. Теорема 6. Пусть Необходимость очевидна. - выпуклый компакт. Тогда

Проверим достаточность. Умножим полученное неравенство на (-1). Тогда В последнем неравенстве заменим Последнее означает, что точка множества Теорема 7. на В результате получим принадлежит всем опорным полупространствам и, по теореме 5, самому множеству Пусть Теорема доказана. - выпуклые компакты. Вложение имеет место тогда и только тогда, когда Необходимость очевидна. Проверим достаточность. От противного приходим к

существованию точки для которой По теореме 6 найдется вектор что Тогда справедлива следующая цепочка неравенств Теорема доказана. что противоречит (1). Упражнение. Пусть Вывести формулу для вычисления величины Величина Решение. наименьшее из положительных чисел удовлетворяющих неравенству

Упражнение. Проверить полученную формулу для множеств Решение.

Полученный результат полностью согласуется с рисунком. Следствие 1. Пусть место тогда и только тогда, - выпуклые компакты. Равенство когда Доказательство. Вытекает из утверждения имеет

Следствие 2. Пусть - выпуклые компакты. Тогда Доказательство. По определению расстояния Хаусдорфа выводим где величины определяются из условия

Тогда Теорема доказана. Упражнение. Вычислить расстояние Хаусдорфа между множествами и Решение.

Этот же результат может быть получен из анализа рисунка. не являются выпуклыми, то равенство (2) В случае, если множества может не выполняться. Пример 1. Пусть и Тогда Таким образом, С другой стороны

компактное множество и Теорема 8. Пусть Тогда Обратно, если выполнено условие (3), то Доказательство. Пусть Для всех Тогда для некоторого числа имеем Обратно, пусть Непрерывная функция поэтому ее минимум на Тогда строго положительна на компакте строго положителен. Обозначим его через

и точка внутренняя для Теорема 9. условие Для любых выпуклых компактов имеет место тогда и только тогда, когда выполнено неравенство Доказательство. Необходимость. Пусть что и доказывает необходимость. Тогда

Достаточность. От противного по теореме 4 (о сильной отделимости выпуклых множеств) приходим к существованию вектора для которого Последнее соотношение противоречит (4). Теорема доказана. Упражнение. Пусть Вывести формулу для вычисления величины Решение. В силу теоремы 9 величина удовлетворяющих неравенству наименьшее из положительных чисел

Заметим, что Подставим полученное выражение в (*). Имеем

Упражнение. Проверить полученную формулу для множеств Решение. Результат согласуется с рисунком.

Теорема 10. Для любых компактных множеств и чисел матриц выполняются равенства Доказательство. Множества в правых и левых частях этих соотношений выпуклы и компактны, их опорные функции совпадают, следовательно, совпадают и сами множества. Приведем подробное доказательство для первого равенства. Пусть Имеем