ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 17 6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ
6. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ ВЫПУКЛЫХ МНОЖЕСТВ 6. 1. Проекция точки на множество 6. 2. Отделимость точки и множества. 6. 3. Отделимость выпуклых множеств.
6. 1. Проекция точки на множество Определение 1. Пусть Проекцией точки на множество называется точка удовлетворяющая условию Справедливо следующее утверждение. Теорема 1. Пусть замкнутое множество. Тогда для всякой точки существует ее проекция на это множество. Если множество то проекция единственна и равенство выпукло, имеет место тогда и только тогда, когда Доказательство. множество Задача построения сводится к минимизации функции - проекции точки определенной на
равенством Очевидно, что точка минимума этой функции, если она существует, должна принадлежать множеству шар столь большого радиуса, что где для него Множество и выпукло, а функция компактно непрерывна, поэтому по теореме Вейерштрасса точка минимума действительно существует, т. е. функции По теореме 5. 2 (минимум гладкой выпуклой функции) выводим Единственность точки Теорема доказана. следует из строгой выпуклости функции (2).
6. 2. Отделимость точки и множества. разделить гиперплоскостью так, полупространствах, что они будут находиться в разных замкнутых определяемых этой гиперплоскостью. Теорема 2. Пусть выпуклое множество. Тогда для любой точки существует вектор если при этом Доказательство. Точку и выпуклое множество можно такой, что то Сначала рассмотрим случай Множество замкнуто и выпукло. Тогда согласно теореме 1 существует проекция на множество Заметим, что точки причем так как Положим Тогда
и для рассматриваемого случая теорема доказана. Пусть теперь и существует последовательность Тогда Для каждого номера выше существует вектор по доказанному такой, что Можно считать, что Если бы это было не так, то обе части Переходя, неравенства (1) следовало бы поделить на величину если это необходимо, к подпоследовательности, принимаем, что В неравенстве (1) устремим требуемое соотношение. При этом в бесконечность. В пределе получим Теорема доказана.
Доказанной теореме придадим следующий геометрический смысл. Пусть и в теореме 2. вектор существование которого доказано Этот вектор будет нормальным для гиперплоскости разделяющей точку и множество При изменении величины гиперплоскость будет перемещаться параллельно самой себе. Она будет оставаться разделяющей, если Полупространство, содержащее множество Для него гиперплоскость Пусть теперь и должно выполняться неравенство служит границей. В этом случае Тогда имеет вид
В этом случае разделяющая гиперплоскость и множество имеют общую точку называется опорной Гиперплоскость к множеству в точке Полупространство Вектор называется опорным к множеству называют опорным вектором к множеству Заметим, что если множество может служить опорным к множеству компактно, то любой вектор в некоторой точке Эта точка определяется из условия Множество совокупность всех точек может содержать более одного элемента. в точке
Множество называется опорным множеством к множеству в направлении вектора Опорные гиперплоскости для всех и опорные полупространства совпадают между собой. Эту гиперплоскость и полупространство будем называть опорной гиперплоскостью и опорным полупространством к множеству вектора и обозначать символами соответственно. Таким образом, в направлении
построить Упражнение. Для множества опорное множество, отвечающее направлению Решение. Запишем уравнение касательной к эллипсу, перпендикулярную направлению Имеем Координата является корнем уравнения
Корень должен быть только один. Тогда Из чертежа видно, что
6. 3. Отделимость выпуклых множеств. Результаты предыдущего пункта допускают обобщение на случай, когда вместо точки берется выпуклое множество. Определение 2. Будем говорить, что множества некоторого вектора отделимы, если для справедливо неравенство строго отделимы, если строгий. сильно отделимы, если знак неравенства в (2) Геометрический смысл отделимости множеств состоит в существовании гиперплоскости множества и для которой находятся в разных по отношению к ней полупространствах. Такую гиперплоскость называют отделяющей (строго, сильно). Ниже дается геометрическая интерпретация различных случаев отделения.
Отделимость Сильная отделимость Строгая отделимость В теореме 2 утверждается, что любая точка, не принадлежащая выпуклому множеству, отделима от его замыкания, и если при этом точка не принадлежит замыканию множества, то отделение сильное. Теорема 3. Пусть множества и непустые выпуклые множества и можно отделить. Причем, если то в отделяющей гиперплоскости Тогда и можно положить т. е отделяющая гиперплоскость будет проходить через точку
Доказательство. Рассмотрим множество Множество выпукло. Поскольку теореме 2 существует вектор постольку Тогда по что Отсюда выводим Пусть теперь Найдутся последовательности В силу неравенства (3) будет выполняться Переходя в последнем неравенстве к пределу при что и означает выполнение неравенства (2). получим
Пусть, наконец, Тогда с одной стороны из и (4) вытекает, что а с другой из Таким образом, и снова (4) следует Теорема доказана. Теорема 4. Пусть непустые выпуклые замкнутые множества, одно из которых ограничено и Тогда множества и сильно отделимы. Доказательство. В условиях доказываемой теоремы множество замкнуто. Действительно, пусть для определенности множество предельная точка множества и последовательность ограничено, где В силу ограниченности (компактности) множества
можно извлечь сходящуюся подпоследовательность из последовательности следует Из В результате предельного перехода при В силу замкнутости множества Таким образом, предельная точка получим выполнено включение множества Тогда принадлежит множеству что и означает его замкнутость. Из условия вектор такой, что Отсюда выводим следует, что По теореме 2 существует
Теорема доказана. где Заметим, что любая гиперплоскость Может служить сильно отделяющей для множеств и
Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 17 6 ТЕОРЕМЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ
лекция 17.ppt