ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 16 5 МИНИМУМ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 16 5. МИНИМУМ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ

5. МИНИМУМ ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ 5. 1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции. 5. 2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции. 5. 3. Минимум выпуклой функции, дифференцируемой по всем возможным направлениям.

5. 1. Локальный и глобальный минимум выпуклой функции. Выпуклые функции представляют собой удобные объекты исследования для анализа их значений на минимум. Это объясняется тем обстоятельством, что выпуклые функции не могут иметь локальных минимумов. Теорема 1. Пусть функция где выпуклое множество, выпукла. Тогда всякая точка локального минимума функции на множестве одновременно является точкой ее глобального минимума на этом множестве, причем множество выпукло. В случае, когда функция строго выпукла на множество содержит не более одной точки. Доказательство. на множестве Пусть точка локального минимума функции Тогда существует окрестность точки что

Для любого и достаточно малого С другой стороны, выполнено в силу выпуклости множества имеем В силу того, что Таким образом, локального минимума и из выпуклости функции следует или Таким образом, всякий локальный минимум одновременно является глобальным. Пусть теперь будет и Тогда точка

и множество выпукло. Если то для строго выпуклых функций неравенство (1) не может превратиться в равенство Следовательно, строго выпуклая функция не может при достигать минимума на выпуклом множестве более чем в одной точке. Теорема доказана. 5. 2. Минимум дифференцируемой выпуклой функции. Выведем условия, которым должна удовлетворять точка минимума, выпуклой дифференцируемой функции. Теорема 2. Пусть функция и Тогда в любой точке а в случае равенство где – выпуклое множество, выполняется неравенство Кроме того, если функция

выпукла на множестве является то условие (1) достаточным для того, чтобы Доказательство. Необходимость. Пусть В последнем неравенстве устремим число Для всех имеем к нулю. В пределе получим неравенство (1). Если то для любого вектора найдется число В неравенстве (1) полагаем что В силу произвольности Необходимость доказана. отсюда выводим, что Тогда

Заметим, что при доказательстве необходимости выпуклость функции использовалась. Для граничной точки равенство не может выполняться, а может и не выполняться. Например, пусть 4 3 1) 2 - равенство выполняется; 1 2) - равенство не выполняется. Достаточность. Пусть функция выпукла на множестве и для некоторой точки выполнено условие (1). критерию выпуклости гладких функций что и доказывает достаточность. Теорема доказана. Из доказанной теоремы следует, что для выпуклых функций равенство влечет за собой Тогда по первому

5. 3. Минимум выпуклой функции, дифференцируемой по всем возможным направлениям. Требование существования производных по направлениям существенно менее жесткое, чем требование дифференцируемости. В связи с этим представляет интерес получить условия оптимальности в терминах производных по направлению. Это тем более естественно, поскольку всякая выпуклая функция в любой внутренней точке области определения имеет производные по всем направлениям. Теорема 3. Пусть где множество точек минимума функции функция выпуклое множество, на множестве и в точке имеет производные по всем возможным направлениям. Тогда необходимо выполняется условие для всех возможных направлений выпукла на в точке то это условие достаточно для Кроме того, если функция

Доказательство. Необходимость. Пусть Тогда направление в точке где - возможное и достаточно мало. Переходя в (2) к пределу при получим (1). Необходимость доказана. - выпуклая функция и в некоторой точке Достаточность. Пусть и положим выполнено условие (1). Возьмем любую точку Направление малых возможное в точке для которых выполнено Действительно, при имеем

Полагаем Функция является выпуклой. Действительно, для всех имеем Выпуклость функции доказана. Тогда по первому критерию выпуклости выводим

В частности, что и требовалось доказать. Тогда В частности, если в точке Заметим, что существует градиент имеем то для направления

Тогда Получили формулировку теоремы 2. Таким образом, теорема 3 является обобщением теоремы 2 на существенно более широкий класс функций (функций дифференцируемых по всем возможным направлениям). Упражнение. Точка является точкой минимума функции определенной формулой Доказать непосредственно, что эта точка и только она удовлетворяет неравенству для всех возможных направлений

Решение. В точке дифференцируемая только по направлению, функция поэтому ее производную по направлению вычисляем непосредственно по определению этой производной Таким образом, Для любой точки производную по направлению любое направление от функции будет возможным. Вычислим в произвольной точке В этих точках функция является дифференцируемой, поэтому

невозможно Покажем, что для любого Действительно, пусть Направление В силу найдется что также допустимо. Тогда одна из производных должна быть строго отрицательной.