ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 15 4 СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 15 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ

4. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЫПУКЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ И ВЫПУКЛЫМИ МНОЖЕСТВАМИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 4. 3. Опорная функция подмножества пространства (продолжение) 4. 4. Опорные функции выпуклых оболочек подмножеств пространства

4. 3. Опорная функция подмножества пространства Свойство 7. Пусть (продолжение) компактные множества и Тогда где расстояние Хаусдорфа между множествами модуль и множества Доказательство. Из свойства 2 следует Оценим каждое из слагаемых в правой части (3). опорных функций

Из вложения по свойству 6 следует неравенство По определению расстояния Хаусдорфа выводим Тогда

Подставим полученные неравенства (4) и (5) в (3). Меняя местами и Из (6) и (7) в силу очевидного равенства получим выводим

Заметим, что

Подставим (9) что и требовалось доказать. и (10) в (8)

Следствие. Опорная функция непрерывна по совокупности переменных и, следовательно, по каждому из них в отдельности. 4. 4. Опорные функции выпуклых оболочек подмножеств пространства Пусть компактное множество. Ранее было доказано, что множество также компактно. Установим некоторые свойства опорных функций выпуклых оболочек компактных подмножеств пространства Свойство 1. Доказательство. Пусть компактное множество. Тогда Из вложения Докажем неравенство в другую сторону. следует Имеем

Из (1) свойства. и (2) следует справедливость доказываемого

Упражнение. Найти опорную функцию множества и вычислить ее в точке Решение. Для всех имеем