ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 13 3 ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ ПРОДОЛЖЕНИЕ

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 13 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ (ПРОДОЛЖЕНИЕ )

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3. 5. Критерии выпуклости гладких функций

3. 5. Критерии выпуклости гладких функций. Проверка произвольной функции на выпуклость непосредственно по определению выпуклости обычно сопряжено со значительными трудностями. Для гладких функций существуют более конструктивные критерии выпуклости, упрощающие эту проверку. Теорема 8. (Первый критерий выпуклости дифференцируемой функции). Пусть выпуклое множество, на множестве тогда для выпуклости функции необходимо и достаточно, чтобы Доказательство. Необходимость. Для всех и имеем

Разделим неравенство (2) на и устремим Необходимость доказана. В результате получим (1) Достаточность. Пусть к нулю и Положим находим Из (1) для Первое из этих неравенств умножим на Имеем второе на и сложим их почленно.

Таким образом, и теорема доказана.

Теорема 9. (Второй критерий выпуклости дифференцируемой функции). Пусть выпуклое множество, на множестве тогда для выпуклости функции необходимо и достаточно, чтобы Доказательство. Необходимость. В силу выпуклости функции на множестве по первому критерию выпуклости (теорема 8) следует, что для любой пары точек Сложим эти неравенства почленно Необходимость доказана. справедливы неравенства

Достаточность. Для всех неравенства Таким образом следует доказать. что следует доказать справедливость

Для всех имеет место формула конечных приращений последовательно вычисляем выражения Для выражения полагаем Тогда в силу (4) и (5) выводим

Для выражения Тогда в силу (4) Таким образом, полагаем находим

Обозначим

Заметим, что При этом Из выпуклости множества Аналогично, обозначим отсюда следует, что

Заметим, что При этом Из выпуклости множества Кроме того отсюда следует, что

Из (8) в силу (9) По доказанному Следовательно имеем Тогда для этих точек выполнено условие (3) Теорема доказана.

Теорема 10. (Критерий выпуклости дважды дифференцируемой функции). Пусть выпуклое множество, на множестве если тогда для выпуклости функции достаточно, чтобы то это условие является необходимым. Доказательство. Необходимость. Пусть Тогда найдется число Из второго критерия выпуклости выводим Возьмем что и если

на Сокращая в неравенстве (11) и устремляя к нулю, получим (10). Если то так как выпуклое множество не может содержать изолированных точек, найдется последовательность По доказанному выше будет выполняться Переходя здесь к пределу при получим условие (9) и для точек Необходимость доказана. Достаточность. В силу второго критерия выпуклости достаточно доказать неравенство Имеем

Где обозначено получим Тогда из условия (10) искомое Таким образом, для функции выполнен второй критерий выпуклости дифференцируемых функций и, следовательно, она выпукла. Теорема доказана. Пример 10. Определить значения параметров, для которых функция определенная равенством будет выпуклой на всем пространстве

Решение. Функция дважды непрерывно дифференцируема на всем пространстве По теореме 10 для ее выпуклости требуется положительность матрицы Вычислим ее главные миноры и выясним, при каких значениях параметров они будут не отрицательны. Таким образом, искомая область изменения параметров определяется неравенствами Например, значения параметров неравенствам удовлетворяют. этим

Упражнение. Построить область изменения значений параметров которых функция будет выпуклой на всем пространстве Решение. Условия выпуклости функции и для