ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры. 3. 2. Действия с выпуклыми функциями.

3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры. Определение 1. Функция 1: , I U R где n. RU выпуклое множество, называется выпуклой на этом множестве, если 1 ( ) 1 , I u v I u I v В случае, когда при vu 0 и 1, функцию I называют строго выпуклой. Определение 2. I Функцию называют вогнутой (строго вогнутой) на выпуклом множестве , U если функция I выпукла (строго выпукла) на множестве . U -2 -1 1 2468 то функция I выпукла на этом множестве. Если не оговорено противное, Геометрический смысл данного определения состоит в том, располагается не ниже графика этой функции. что если множество U одноточечное или пустое, любые две точки графика выпуклой функции, что секущая, соединяющая , , 0, 1. 1 u v U равенство в (1) возможно только для По определению полагается, рассматриваемые функции всюду принимают конечные значения. то

Пример 1. Функция 1: , n. I R R определенная формулой ( ) , I u u выпукла. Действительно, при всех 1, 0, , n Rvu имеем (1 )u v 1 1 I u v Пример 2. Функция 1 : , n I R R определенная формулой ( ) , , , n. I u c R выпукла. Действительно, при всех 1, 0, , n Rvu имеем , 1 , c u c v 1 , 1 I u v c u v ( ) 1 ( ). I u I v Аналогично проверяется выпуклость функции . I Таким образом, в данном примере функция I выпукла и вогнута одновременно. Пример 3. Функция 1: , n. I R R определенная формулой( ) , , I u u u строго выпукла. Действительно, при всех vu. Rvun, , справедливо неравенство 2 , , , . u v u u v v ( ) 1 ( ). I u I v

Отсюда для любого 1, 0 выводим 2 2 , , , 1 1 , u u v v 1 I u v 2 2 , , u u u vu vu u 1 , I u I v , 2, , , v vuv , (1 ) , u u v v , , , n u v R u v что и означает строгую выпуклость функции . I Теорема 1. Пусть функция 1 : , I U R где n RU выпуклое множество, Тогда для любых , 0, 1, , , i iu U i m L , , , 22 , 1 1 , u u v v u u u v v v выпукла. 1 , 1 u v 2 2 , 2, , , v vv v 1 1, 1, 2, m i i m L

1 1. 2 m m i i i. I u Доказательство. Проведем индукцию по числу . m При 2 m справедливость неравенства (2) Допустим, что неравенство Иенсена Примем для определенности, что 1. m 1 0 1 1 1 i m m m i i m m i I u u 6 7 8 64 7 481 m i i i I u 1 1 m i i m m i. I u u имеет место неравенство ( Иенсена) есть следствие определения выпуклости функции. Тогда 1 1 1 0 m i и 1, 2. k m m имеет место для всех 1 m m m. I u u 1 1 1 m m i i m u m i I u u

1 1 m i i 1 1 m i i i u u U Тогда } 1 1 m m i i m 1 11 m m i i 1 1. 1 m m 11 , m i i m m m i. I u u 1 1 , . 1 m i i im u u Заметим, что 0, 1, , 1 ii m L и I и в силу выпуклости функции имеет место неравенство } 1 1 0 0 1 1 m i i im m m u m. I u u I u 1 1 1 m i i i предположение индукции I m m i i m m i u I u

1 1 m i i m m I u } 1 1 11 i m m m i i m m i. I u 1 1 m i i m m i I u 1. m i i i I u Возвращаясь на начало цепочки, получим 1 m i i i. I u 1. m i i i. I u Теорема доказана. Следующая теорема позволяет свести исследование выпуклости функции многих переменны х к исследованию выпуклости функций одной переменной.

Теорема 2. Функция 1 : , I U R где n. RU выпуклое множество, выпукла тогда и только тогда, функция 1: [0, 1] , R определенная формулой, ( ) (1 ) , [0, 1]I v w выпукла. Доказательство. Необходимость. Uwv, когда для любых } 1 21 2 1 11 1 I v w 64 7 48 Для любых 1 2, , 0, 1 1 21. полагаем , . v w U и Пусть функция I выпукла на выпуклом Uмножестве Вычисляем 1 2(1 ) 1 (1 )I vww 22221 1 v. I v wwwwwvw 1 1 2 21 1 1 I v w w 1 1 2 21 vw w w. I vw

1 1 2 21 1 1 U U Iвыпуклая I v w 6 44 7 4 48 1) 1 1 ( 1 Iвыпуклая I v w 6 4 44 7 4 4 48 1 2( ) 1 ( ) 2 2 21 1 I v w 6 4 44 7 4 4 48 1 2(1 ) 1 2( ) 1 ( ). Необходимость доказана. Достаточность. функция выпукла. Тогда для всех 0, 1 имеем Пусть для любой пары точек 1 2 , u u U 1 2(1 )I u u 6 4 44 7 4 4 48}1 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 неравенство Иенсена Теорема доказана. 1 2( ) 1 ( ). I u } } 1 2( ) (1) 1 (0) I u неравенство Иенсена 1 1 2 21 vw w w. I vw

Упражнение 1. Доказать выпуклость функции 2 ( ). x I u x y u y ( 1 )I u v Решение. Пусть 1 2, , 0, 1 x x u v y y Полагаем 1 u v 1 2 1 1 x x y y 1 2 1 x x y y Тогда 2 1 2 1 1 x x y y 1 2 2 2 2 x x yyyx 2 1 2 2 2 x x y y x y

2 1 2 2 2 a b x x y y x y 6 4 4 7 4 4 8 6 7 8 2 2 2 0 2. a ab b 1 : 0, 1 R Функция представляет собой параболу ветвями вверх и поэтому она выпукла. По теореме 2 будет выпуклой и исходная функция 2 1 : . I R R

3. 2. Действия с выпуклыми функциями. Рассмотрим некоторые операции над выпуклыми функциями, Теорема 3. Пусть функции 1 : , i. I U R где n U R выпуклое множество, выпуклы и 0, 1, , . ii m L Тогда функция 1 : , I U R определенная формулой 1 ( ), , m i i i I u u U выпукла. Доказательство. 1 ( ) m I u i i i. I u 6 4 7 4 8 1 I u v } 1 ( ) 0 ( 1 ) i i m i i i I u I v I u v 6 4 4 7 4 4 8 1( ) 1 ( )m i i. I u I v Для любых 1, 0, , Uvu имеем 1 ( ) m i i I i v I v 6 4 7 4 8 Теорема доказана. 1 ( ). I u I v сохраняющие их выпуклость.

Теорема 4. Пусть функции 1 : , 1, , , i. I U R i m L где n RU выпуклое множество, Тогда функция 1 : , I U R определенная формулой 1, , ( ) max ( ) , , ii m I u u U L выпукла. Доказательство. Для любых 1, 0, , Uvu имеем 1, , 1, ) , ( ( ) max ( ) (1 ) max ( )i ii m i I u I v m I u I v L L 6 44 7 4 48 1 I u v ( ) (1 ) ( 1, , )max ( 1 ) i i I m I u v L 6 4 4 7 4 4 8 1, , max ( ) (1 ) ( )i ii m I u I v L ( ) (1 ) ( ). I u I v Теорема доказана. выпуклы.

Из доказанной теоремы, в частности следует, определенная на выпуклом множестве n RU равенством ( ) max ( ), 0 , , g u u U где 1 : , g U R выпукла на множестве , U если на этом же множестве выпукла функция . g Теорема 5. Тогда функция 1 : , I U R определенная равенством ( ) , , I u g u u U выпукла на множестве . U Доказательство. Для любых 1, 0, , Uvu имеем выпуклая и неубывающая, а функция : , , g U a b где множество n RU выпуклое, выпуклая на этом множестве. Пусть функция 1 : , a b R 1 I u v 1 1 выпуклость g g u g v монотонностьg u v 6 4 4 7 4 4 8 1 : , g U R что функция ( ) (1 ) ( )g u g v ( ) (1 ) I u I v выпуклость g u g v 64 7 48 ( ) (1 ) ( ). I u I v Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть функция ba. Ug, : выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве . n U R Тогда функция , : 1 RUI определенная равенством , , )(Uuugu. I p 1 p выпукла на множестве . U Следствие 2. Пусть функция ba. Ug, : выпукла на выпуклом множестве . n U R Тогда функция , : 1 RUI определенная равенством max 0, p I u g u выпукла на множестве . U , , 1 p g u u U p Доказательство. Функция , 0, 1 pg g g p является выпуклой и монотонной. Доказательство. Функция max 0, g u является выпуклой и положительной на множестве , U если функцияg выпуклая. Справедливость доказываемого утверждения следует теперь из предыдущего следствия.