ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.

Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ. Скачать презентацию ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.

lekciya_11.ppt

  • Размер: 1.4 Мб
  • Автор: Progressive Sound
  • Количество слайдов: 17

Описание презентации ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ. по слайдам

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.  ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 11 3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ.

3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры.  3. 2. Действия с выпуклыми функциями.3. ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ 3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры. 3. 2. Действия с выпуклыми функциями.

3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры.  Определение 1.  Функция 1: , I U R3. 1. Определение выпуклой функции. Примеры. Определение 1. Функция 1: , I U R где n. RU выпуклое множество, называется выпуклой на этом множестве, если 1 ( ) 1 , I u v I u I v В случае, когда при vu 0 и 1, функцию I называют строго выпуклой. Определение 2. I Функцию называют вогнутой (строго вогнутой) на выпуклом множестве , U если функция I выпукла (строго выпукла) на множестве . U -2 -1 1 2468 то функция I выпукла на этом множестве. Если не оговорено противное, Геометрический смысл данного определения состоит в том, располагается не ниже графика этой функции. что если множество U одноточечное или пустое, любые две точки графика выпуклой функции, что секущая, соединяющая , , 0, 1. 1 u v U равенство в (1) возможно только для По определению полагается, рассматриваемые функции всюду принимают конечные значения. то

Пример 1.  Функция 1: , n. I R R определенная формулой ( ) , IПример 1. Функция 1: , n. I R R определенная формулой ( ) , I u u выпукла. Действительно, при всех 1, 0, , n Rvu имеем (1 )u v 1 1 I u v Пример 2. Функция 1 : , n I R R определенная формулой ( ) , , , n. I u c R выпукла. Действительно, при всех 1, 0, , n Rvu имеем , 1 , c u c v 1 , 1 I u v c u v ( ) 1 ( ). I u I v Аналогично проверяется выпуклость функции . I Таким образом, в данном примере функция I выпукла и вогнута одновременно. Пример 3. Функция 1: , n. I R R определенная формулой( ) , , I u u u строго выпукла. Действительно, при всех vu. Rvun, , справедливо неравенство 2 , , , . u v u u v v ( ) 1 ( ). I u I v

Отсюда для любого 1, 0 выводим  2 2 , , , 1 1 , uОтсюда для любого 1, 0 выводим 2 2 , , , 1 1 , u u v v 1 I u v 2 2 , , u u u vu vu u 1 , I u I v , 2, , , v vuv , (1 ) , u u v v , , , n u v R u v что и означает строгую выпуклость функции . I Теорема 1. Пусть функция 1 : , I U R где n RU выпуклое множество, Тогда для любых , 0, 1, , , i iu U i m L , , , 22 , 1 1 , u u v v u u u v v v выпукла. 1 , 1 u v 2 2 , 2, , , v vv v 1 1, 1, 2, m i i m L

1 1. 2 m m i i i. I u  Доказательство.  Проведем индукцию по1 1. 2 m m i i i. I u Доказательство. Проведем индукцию по числу . m При 2 m справедливость неравенства (2) Допустим, что неравенство Иенсена Примем для определенности, что 1. m 1 0 1 1 1 i m m m i i m m i I u u 6 7 8 64 7 481 m i i i I u 1 1 m i i m m i. I u u имеет место неравенство ( Иенсена) есть следствие определения выпуклости функции. Тогда 1 1 1 0 m i и 1, 2. k m m имеет место для всех 1 m m m. I u u 1 1 1 m m i i m u m i I u u

1 1 m i i  1 1 m i i i u u U Тогда1 1 m i i 1 1 m i i i u u U Тогда } 1 1 m m i i m 1 11 m m i i 1 1. 1 m m 11 , m i i m m m i. I u u 1 1 , . 1 m i i im u u Заметим, что 0, 1, , 1 ii m L и I и в силу выпуклости функции имеет место неравенство } 1 1 0 0 1 1 m i i im m m u m. I u u I u 1 1 1 m i i i предположение индукции I m m i i m m i u I u

 1 1 m i i m m I u   } 1 1 11 1 1 m i i m m I u } 1 1 11 i m m m i i m m i. I u 1 1 m i i m m i I u 1. m i i i I u Возвращаясь на начало цепочки, получим 1 m i i i. I u 1. m i i i. I u Теорема доказана. Следующая теорема позволяет свести исследование выпуклости функции многих переменны х к исследованию выпуклости функций одной переменной.

Теорема 2.  Функция 1 : , I U R где  n. RU выпуклое множество,Теорема 2. Функция 1 : , I U R где n. RU выпуклое множество, выпукла тогда и только тогда, функция 1: [0, 1] , R определенная формулой, ( ) (1 ) , [0, 1]I v w выпукла. Доказательство. Необходимость. Uwv, когда для любых } 1 21 2 1 11 1 I v w 64 7 48 Для любых 1 2, , 0, 1 1 21. полагаем , . v w U и Пусть функция I выпукла на выпуклом Uмножестве Вычисляем 1 2(1 ) 1 (1 )I vww 22221 1 v. I v wwwwwvw 1 1 2 21 1 1 I v w w 1 1 2 21 vw w w. I vw

1 1 2 21 1 1 U U Iвыпуклая I v w    1 1 2 21 1 1 U U Iвыпуклая I v w 6 44 7 4 48 1) 1 1 ( 1 Iвыпуклая I v w 6 4 44 7 4 4 48 1 2( ) 1 ( ) 2 2 21 1 I v w 6 4 44 7 4 4 48 1 2(1 ) 1 2( ) 1 ( ). Необходимость доказана. Достаточность. функция выпукла. Тогда для всех 0, 1 имеем Пусть для любой пары точек 1 2 , u u U 1 2(1 )I u u 6 4 44 7 4 4 48}1 1 ) 0 ( 1 1 ) 0 неравенство Иенсена Теорема доказана. 1 2( ) 1 ( ). I u } } 1 2( ) (1) 1 (0) I u неравенство Иенсена 1 1 2 21 vw w w. I vw

Упражнение 1. Доказать выпуклость функции 2 ( ). x I u x y u y Упражнение 1. Доказать выпуклость функции 2 ( ). x I u x y u y ( 1 )I u v Решение. Пусть 1 2, , 0, 1 x x u v y y Полагаем 1 u v 1 2 1 1 x x y y 1 2 1 x x y y Тогда 2 1 2 1 1 x x y y 1 2 2 2 2 x x yyyx 2 1 2 2 2 x x y y x y

2 1 2 2 2 a b x x y y x y   62 1 2 2 2 a b x x y y x y 6 4 4 7 4 4 8 6 7 8 2 2 2 0 2. a ab b 1 : 0, 1 R Функция представляет собой параболу ветвями вверх и поэтому она выпукла. По теореме 2 будет выпуклой и исходная функция 2 1 : . I R R

3. 2. Действия с выпуклыми функциями.  Рассмотрим некоторые операции над выпуклыми функциями,  Теорема 3.3. 2. Действия с выпуклыми функциями. Рассмотрим некоторые операции над выпуклыми функциями, Теорема 3. Пусть функции 1 : , i. I U R где n U R выпуклое множество, выпуклы и 0, 1, , . ii m L Тогда функция 1 : , I U R определенная формулой 1 ( ), , m i i i I u u U выпукла. Доказательство. 1 ( ) m I u i i i. I u 6 4 7 4 8 1 I u v } 1 ( ) 0 ( 1 ) i i m i i i I u I v I u v 6 4 4 7 4 4 8 1( ) 1 ( )m i i. I u I v Для любых 1, 0, , Uvu имеем 1 ( ) m i i I i v I v 6 4 7 4 8 Теорема доказана. 1 ( ). I u I v сохраняющие их выпуклость.

Теорема 4.  Пусть функции 1 : , 1, , , i. I U R iТеорема 4. Пусть функции 1 : , 1, , , i. I U R i m L где n RU выпуклое множество, Тогда функция 1 : , I U R определенная формулой 1, , ( ) max ( ) , , ii m I u u U L выпукла. Доказательство. Для любых 1, 0, , Uvu имеем 1, , 1, ) , ( ( ) max ( ) (1 ) max ( )i ii m i I u I v m I u I v L L 6 44 7 4 48 1 I u v ( ) (1 ) ( 1, , )max ( 1 ) i i I m I u v L 6 4 4 7 4 4 8 1, , max ( ) (1 ) ( )i ii m I u I v L ( ) (1 ) ( ). I u I v Теорема доказана. выпуклы.

Из доказанной теоремы, в частности следует,  определенная на выпуклом множестве n RU равенством ( )Из доказанной теоремы, в частности следует, определенная на выпуклом множестве n RU равенством ( ) max ( ), 0 , , g u u U где 1 : , g U R выпукла на множестве , U если на этом же множестве выпукла функция . g Теорема 5. Тогда функция 1 : , I U R определенная равенством ( ) , , I u g u u U выпукла на множестве . U Доказательство. Для любых 1, 0, , Uvu имеем выпуклая и неубывающая, а функция : , , g U a b где множество n RU выпуклое, выпуклая на этом множестве. Пусть функция 1 : , a b R 1 I u v 1 1 выпуклость g g u g v монотонностьg u v 6 4 4 7 4 4 8 1 : , g U R что функция ( ) (1 ) ( )g u g v ( ) (1 ) I u I v выпуклость g u g v 64 7 48 ( ) (1 ) ( ). I u I v Теорема доказана.

Следствие 1.  Пусть функция ba. Ug, : выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве . nСледствие 1. Пусть функция ba. Ug, : выпукла и неотрицательна на выпуклом множестве . n U R Тогда функция , : 1 RUI определенная равенством , , )(Uuugu. I p 1 p выпукла на множестве . U Следствие 2. Пусть функция ba. Ug, : выпукла на выпуклом множестве . n U R Тогда функция , : 1 RUI определенная равенством max 0, p I u g u выпукла на множестве . U , , 1 p g u u U p Доказательство. Функция , 0, 1 pg g g p является выпуклой и монотонной. Доказательство. Функция max 0, g u является выпуклой и положительной на множестве , U если функцияg выпуклая. Справедливость доказываемого утверждения следует теперь из предыдущего следствия.