ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 10 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ 10 2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА (ПРОДОЛЖЕНИЕ) 2. 11. Сопряженные конусы.

2. 11. Сопряженные конусы. Пусть. n. U R Определение 16. Множество {}, 0, n U u R u u u U * * * = Î ³ » Î называется сопряженным к множеству . U Построить сопряженные множества к конусам {}1, 0 ; n K u R a u= Î = 1){} 2, 0 ; n. K u R a u= Î £ 2) {}40. n K u R u= Î ³ 3)Пример 14. Решение. Действительно, , u u *= , a ul = 1 , 0 u K a ul Î Þ = = {} 1 1, n. K u R u a Rl l* * *= Î = Î{}1, 0 n K u R a u= Î = Þ 1) 2) {}2, 0. n. K u R u al l* * *= Î = — ³ Þ{}2, 0 n K u R a u= Î £ Действительно, , u u * = , a ul- = 3 , 0 u K a ua ul Î Þ £- ³

Действительно, 4 0 0 , 0. u K uu u Î Þ ³ ³ *³ {}40. n K u R u * * * = Î ³ 4){}40 n K u R u= Î ³ Þ Построить сопряженное множество к множеству 2 2. U Решение. 1 1 22 2 2 220, u U u u u * * * ì üæ öï ï÷ï ïç÷= + ³ =çí ý÷ç÷ï ïçè øï ïî þ 1 1 2 20, . u u * * ì üæ öï ï÷ï ïç÷= + ³çí ý÷ç÷ï ïçè øï ïî þ u U 2 2 u. Упражнение 1.

Следующая теорема устанавливает, что сопряженное множество к множеству n U RÌ является выпуклым замкнутым конусом и, Теорема 22. Пусть . n U R Тогда множество U является выпуклым замкнутым конусом. Доказательство. Пусть Uu и 0. Тогда для всех Uu имеем 0 , , 0 u u Отсюда следует, что U — конус. Аналогично, для , , 0, 1 u v U и Uu справедливо неравенство 1. u v U 1 , u v u 0 0, 1 , 0 u u v u и U выпуклое множество. что любая предельная точка 0 u множества U принадлежит самому множеству. Пусть 0, , 1, 2, k ku u u U k L. U что этот факт не зависит от свойств множества. u U Для доказательства его замкнутости установить, достаточно {}, 0, n U u R u u u U * * * = Î ³ Î

Тогда для всех Uu и , 2, 1 k справедливо неравенство , 0. ku u Переходя в нем к пределу при , k получим 0, 0, u u lim , kk u u , lim k ku u что и означает 0. u U Теорема доказана. Замечание. Имеет место вложение . U U U Действительно, из определения U следует, что , 0 u u*³ для всех. u U * *Îu UÎ и Последнее означает, что . u U