Выполнила магистрантка 1 года обучения Никифорова А Г

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Выполнила: магистрантка 1 года обучения, Никифорова А. Г. Простые и конечные расширения числовых полей

Содержание § 1 Алгебраические числа и минимальные многочлены § 2 Простые расширения числовых полей и их строение § 3 Конечные расширения полей LOGO

LOGO § 1 Алгебраические числа и минимальные многочлены.

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены LOGO Ø Условимся, ради краткости, под полем понимать числовое поле, а под числом – комплексное число. Ø Пусть P – некоторое поле. Число называется алгебраическим относительно поля P (над полем P ), если в P[x] существует многочлен f(x) ≠ 0, для которого является корнем. Ø В противном случае число называется трансцендентным над полем P. Ø Как известно, поле Q рациональных чисел является наименьшим числовым полем (т. е. содержится в любом числовом поле). В силу особого положения этого поля алгебраические и трансцендентные относительно поля Q числа называются просто алгебраическими и трансцендентными (без добавления слов «относительно поля Q» ). Пример: «Число π трансцендентно» .

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены Ø Существование трансцендентных чисел доказано только в 1844 г. французским математиком Жозефом Лиувиллем. Ø Трансцендентность числа e доказал Шарль Эрмит в 1873 г. Ø Трансцендентность числа - Фердинанд фон Линдеманн в 1882 г. Ø Большой вклад в теорию трансцендентных чисел внес СОВЕТСКИЙ математик Александр Осипович Гельфонд (1906 -1968) в 1931 -36 гг. Ø Из его результатов в частности следует, что трансцендентными являются числа вида m n, где m >1 – целое, n – иррационально (например, числа 5 2, 7 3 и т. д. ) LOGO Жозеф Лиувилль Шарль Эрмит Фердинанд фон Линдеманн А. О. Гельфонд

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены Ø LOGO Если существует биективное отображение f : M 1 M 2, то множества M 1 и M 2 называется равномощными. Всякое множество, равномощное множеству натуральных чисел N называется счетным. Если же множество равномощно множеству R, то говорят, что оно имеет мощность континуума. Ø Еще основатель теории множеств, выдающийся немецкий математик Георг Кантор доказал, что множество алгебраических чисел (как и множество Q) счетное, а множество трансцендентных чисел (как и множество иррациональных) имеет мощность континуума. Трансцендентных чисел гораздо «больше» , чем алгебраических.

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены LOGO Если – алгебраическое число над полем P, то существует единственный нормированный (т. е. со старшим коэффициентом 1) неприводимый в P[x] многочлен p(x), для которого является корнем. 2) Если – корень многочлена f(x) из P[x] , то f(x) p(x). Неприводимый нормированный многочлен p(x) P[x], для которого алгебраическое относительно поля P число является корнем, называется минимальным многочленом числа , а степень минимального многочлена называется степенью алгебраического числа .

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены LOGO Если – алгебраическое относительно поля P число степени n и P F (где F – тоже подполе поля C), то является алгебраическим относительно поля F числом степени k n. Ø Это следует из того, что неприводимый над полем P многочлен может оказаться приводим над его расширением. Ø НАПРИМЕР, число = 2 является алгебраическим числом степени 2 над полем Q (p(x)=x 2 - 2 минимальный многочлен ) и алгебраическим относительно поля R числом степени 1 (минимальный многочлен - p(x)=x - 2 ).

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены LOGO Теорема 2. Если многочлен f(x) P[x] имеет хотя бы один кратный комплексный корень, то он приводим над полем P. ◘ Если – кратный корень многочлена f(x) , то является также корнем многочлена f (x) P[x] , и тогда НОД(f, f ) = d(x) P[x] имеет положительную степень. Значит, f(x)= d(x)g(x) , где многочлен g(x) P[x] также имеет положительную степень. Таким образом, f(x) приводим над полем P. ◙ Если многочлен f(x) P[x] неприводим над каким-либо полем P, то он не имеет в поле С кратных корней.

§ 1. Алгебраические числа и минимальные многочлены LOGO 1. Число = 6 14 есть корень многочлена f(x) = x 6 - 14 с рациональными коэффициентами и, следовательно, является алгебраическим. 2. Любое число из поля P является корнем многочлена f(x)= x - и, следовательно, является алгебраическим относительно P. 3. Любое число является алгебраическим относительно поля R действительных чисел, так как если – вещественное число, то оно является корнем многочлена f(x)= x - с действительными коэффициентами, а если – мнимое число, то оно является корнем многочлена второй степени Значит, мнимое число имеет степень 2 над полем R. .

LOGO § 2 Простые расширения числовых полей и их строение.

§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение. LOGO Ø Пусть P – фиксированное числовое поле и C. Рассмотрим множество всех числовых полей, содержащих поле P и число . Это множество не пусто, т. к. само поле C комплексных чисел принадлежит этому множеству. Пересечение всех этих полей также является числовым полем, содержащим P и , причем это минимальное подполе поля C, содержащее P и . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Пересечение всех числовых полей, содержащих поле P и число, называют простым расширением поля P и обозначают через P( ). Сам процесс расширения называют присоединением к полю P числа . Если – алгебраично над полем P , то P( ) называют простым алгебраическим расширением, в противном случае – простым трансцендентным расширением поля P.

§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение. LOGO 1) Простое расширение P( ) состоит из всевозможных чисел, представимых в виде g( ) 0 (1) где f(x) и g(x) – любые многочлены из кольца P[x]. Т. е. 2) Простое алгебраическое расширение P( ) состоит из чисел, представимых в виде, f( ), (2) где f(x) – любой многочлен из кольца P[x]. Т. е

§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение. 1. Найти Q( ). как – трансцендентное число, то 2. Найти Q( 2). По теореме Но так как LOGO Так

§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение. LOGO Доказательство теоремы дает один из способов освобождения от иррациональности в знаменателе. Действительно, если α – алгебраическое иррациональное число, а знаменатель некоторого выражения равен f(α), где f(x) Q[x], то имеем

§ 2. Простые расширения числовых полей и их строение. В выражении освободиться от иррациональности в знаменателе. Здесь числа α , минимальный многочлен С помощью алгоритма Евклида разыскиваются многочлены Для которых Отсюда LOGO

LOGO § 3 Конечные расширения полей.

§ 3. Конечные расширения полей LOGO Ø Заметим, что любое расширение L поля P можно рассматривать как векторное пространство над полем P, векторами которого являются все числа из поля L (включая и числа поля P), а скалярами – числа из поля P. Для нас важен случай, когда пространство L конечномерно. Если расширение L поля является конечномерным пространством над полем P, то L называется конечным расширением поля P, а его размерность (обозначаемая символом dim. P L ) – степенью конечного расширения L поля P и обозначается символом [L : P].

§ 3. Конечные расширения полей LOGO Пусть в цепочке полей P = P 0 P 1 P 2 … Pn каждое поле Pi является конечным расширением поля Pi-1 степени mi, i=1, 2, …n. Тогда Pn является конечным расширением поля P степени m 1 m 2…mn. При доказательстве теоремы 1 используется следующая Если система векторов { 1, 2, 3, …, m} (1) есть базис пространства P 1 над полем P, а система { 1, 2, 3, …, s} (2) есть базис пространства P 2 над полем P 1 , то система { 1 1 , 1 2, …, 1 s, 2 1, …, 2 s, …, m s} (3) является базисом пространства P 2 над полем P.

§ 3. Конечные расширения полей LOGO Если – алгебраическое над полем P число степени n, то система 1, , 2 , 3 , …, n-1 (4) является базисом пространства P( ) над полем P. Простое алгебраическое расширение P( ) является конечным расширением поля P, причем степень этого расширения равна степени алгебраического над полем P числа .

§ 3. Конечные расширения полей LOGO Если поле L является конечным расширением поля P степени n, то каждый элемент из поля L является алгебраическим над полем P числом степени m, где m – некоторый делитель числа n. Все элементы простого алгебраического расширения поля P алгебраичны над полем P.

Скачать презентацию Выполнила магистрантка 1 года обучения Никифорова А Г

Никифорова.pptx

Количество слайдов: 22