Выполнила: Федорец Татьяна, 34 группа Неопределяемыми

Выполнила: Федорец Татьяна, 34 группа

Неопределяемыми в этой системе аксиом понятиями - являются: точка, прямая линия, плоскость. Есть также 3 элементарных бинарных отношения: Лежать между, применимо к точкам; Содержать, применимо к точкам и прямым, точкам и плоскостям или прямым и плоскостям; Конгруэнтность (геометрическое равенство), применимо, например, к отрезкам, углам или треугольникам, и обозначается символом ≅. Все точки, прямые и плоскости предполагаются различными, если не оговорено особое.

Система из 20 аксиом поделена на 5 групп: аксиомы принадлежности: планиметрические стереометрические аксиомы порядка: линейные Аксиома Паша аксиомы конгруэнтности: конгруэнтность отрезков конгруэнтность углов аксиомы непрерывности: Аксиома Архимеда Аксиома Кантора аксиома параллельности.

1. Две точки определяют только одну прямую. 2. На каждой прямой лежит не менее двух точек. 3. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой. 4. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость и притом только одну. 5. В каждой плоскости лежит по крайней мере одна точка. 6. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и все точки ее лежат в той же плоскости. 7. Если две плоскости имеют одну общую точку, то они имеют еще хотя бы одну общую точку. 8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие на одной плоскости.

Теорема 1. Две различные прямые не могут иметь больше одной общей точки. Теорема 2. Две плоскости либо совсем не имеют общих точек, либо имеют общую прямую, на которой лежат все их общие точки. Теорема 3. Плоскость и не лежащие на ней прямая не могут иметь более одной общей точки. Теорема 4. Через прямую и не лежащую на ней точку, или через две различные прямы с общей точкой проходит одна и только одна плоскость. Теорема 5. На каждой плоскости существует по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой.

1. Если точка В лежит на прямой между точками А и С, то А, В и С - различные точки прямой и В лежит также между С и А. 2. При данных двух точках А и В на прямой линии существует по крайней мере одна такая точка С, что В лежит между А к С. 3. Из трех данных точек на прямой не более чем одна лежит между двумя другими. 4. Аксиома Паша. Если в данной плоскости даны треугольник АВС и какая-нибудь прямая l, не проходящая через одну из его вершин и пересекающая сторону АВ, то эта прямая непременно пересечет одну из двух других сторон АС или ВС.

Между любыми двумя точками существует большое множество других её точек. Среди любых 3 -х точек А, В, С одной прямой всегда существует одна, лежащая между 2 -мя другими. Если некоторая прямая а пересекает каких - либо два из трёх отрезков АВ, ВС и АС, то она не пересекает третий. Если В лежит на отрезке АС и С на отрезке ВD, то В и С лежат на отрезке AD. Если даны четыре точки прямой, то они могут быть всегда так обозначены буквами А, В, С, D, что точка В лежит как между А и С, так и между А и D; а точка С как между А и D, так и между В и D.

Каждая прямая а, лежащая в плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на две области, имеющее следующее свойство: каждая точка А одной области определяет вместе с каждою точкою В другой области отрезок АВ, внутри которого лежит одна точка прямой а; напротив, две любые точки А и А’ одной и той же области определяют отрезок АА’, внутри которого не лежит ни одна точка прямой а. А’ А a B

1. На любой прямой от любой ее точки можно отложить отрезок, равный данному. 2. Два отрезка, равные третьему, равны между собой. 3. Пусть А, В, С — точки одной прямой и К, L, М —также точки одной прямой. Пусть, кроме того, АВ = KL, ВС = LМ. Если отрезки АВ и ВС, а также КL и LМ не имеют общих точек, то АС = КМ. 4. От любой точки данной прямой по данную сторону можно построить один и только один угол, равный данному. Каждый угол равен самому себе. 5. Если в двух треугольниках AВС и КLМ стороны АВ = КL, АС = КМ и ВАС = LKM, то АВС = КLМ.

Из линейных аксиом III 1 -3. Теорема 1. Если в двух конгруэнтных рядах точек А, В, …, K, L и A’, B’, …, K’, L’ точки первого расположены так, что В лежит между А с одной стороны и C, D, …, K, L с другой. С между А, В с одной стороны и D, …, K, L с другой и т. д. , то и точки A’, B’, …, K’, L’ расположены таким же образом, т. е. B’ лежит между A’ с одной стороны и C’, D’, …, K’, L’ с другой, C’ лежит между A’, B’ с одной стороны и D’, …, K’, L’ с другой и т. д. Теорема 2. Если ≡ и ≡ , то также всегда ≡ .

Если для ∆АВС и ∆А'В'С' АВ = А'B', ВС = В’C’ и A = A, mo ∆АВС = ∆А'В'С' Если для ∆АВС и ∆А'В'С', АВ = А'В’, , то ∆АВС = ∆А'В'С'. Если для ∆АВС и ∆А'В'С', АВ = А'В', ВС = В'С', АС = А'С', то ∆АВС = ∆А'В'С'. Внешний угол треугольника больше всякого внутреннего, не смежного с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема 4. Все прямые углы равны между собою. Теорема 5. (Третья теорема о конгруэнтности треугольников). Если в двух треугольниках три стороны одного соответственно конгруэнтны трем сторонам другого, то треугольники конгруэнтны. Теорема 6 выражает тот важный результат, что все пространственные предложения о конргуэнтности, а следовательно, и о движении в пространстве, суть следствия пяти линейных и плоскостных аксиом конгруэнтности, если присовокупить сюда I и II группы аксиом.

Теорема 1. (Первая теорема о конгруэнтности треугольников). Если для двух треугольников АВС и А'В'С' удовлетворены конгруэнции: АВ≡A'B', AC≡A'C', ≡ , то оба треугольника взаимно конгруэнтны. Теорема 2. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольников). Если в двух треугольниках соответственно конгруэнтны между собою сторона и оба прилежащие к ней угла, то треугольники конгруэнтны. Теорема 3. Если два угла и взаимно конгруэнтны, то и смежные им углы и тоже взаимно конгруэнтны.

Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A 1, …, An на AB таких, что: Aj. Aj+1 ≅ CD, 1≤j

Аксиомы параллельности: через данную точку в данной плоскости можно провести не более одной прямой, параллельной данной.

Присоединяя к аксиомам конгруэнтности аксиому параллельности, мы приходим к известным предложениям. Теорема 1. Если две параллельные пересечены третьей прямой, то накрестлежащие соответственные углы равны, и обратно: конгруэнтность накрестлежащих или соответственных углов имеет следствием параллельность прямых. Теорема 2. Сумма углов треугольника равна двум прямым.

Гильберт изначально (1899) включил 21 -ю аксиому: «Любым четырём точкам на прямой можно присвоить имена A, B, C, и D так, чтобы точка B лежала между точками A и C, а также между A и D; точка C — между A и D, а также между B и D. » Э. Х. Мур (англ. ) доказал в 1902 году, что эта аксиома избыточна.

Каждый человек имеет некоторый горизонт взглядов. Когда он сужается и становится бесконечно малым, то превращается в точку. Тогда человек говорит: "Это моя точка зрения".

1. Дополните предложение. Система аксиом Гильберта состоит из … аксиом, которые разделены на … групп: 1) аксиомы………………………. . . ; 2) аксиомы………………………. . . ; 3) аксиомы…. . . . . ; 4) аксиомы ………………………. . ; 5) аксиома……………………….

2. Выберите верный ответ. К какой группе аксиом относится аксиома Паша? 1) аксиомы непрерывности; 2) аксиомы конгруэнтности; 3) аксиомы порядка; 4) аксиомы принадлежности.

3. Найдите соответствие между левым и правым столбцами. А) На любой прямой от любой ее точки можно отложить отрезок, 1) Аксиомы равный данному. принадлежности; Б) Две точки определяют только одну 2) Аксиомы прямую. порядка; В) Если даны отрезок CD и луч AB, то 3) Аксиомы существует число n и n точек A 1, …, An конгруэнтности; на AB таких, что: Aj. Aj+1 ≅ CD, 1≤j

Ключ к тесту 1. Система аксиом Гильберта состоит из 20 аксиом, которые разделены на 5 групп: 1) Аксиомы принадлежности; 2) Аксиомы порядка; 3) Аксиомы конгруэнтности; 4) Аксиомы непрерывности; 5) Аксиома параллельности. 2. 3) аксиомы порядка 3. 1 -Б, 2 -Г, 3 -А, 4 -В