Выполнил студент факультета информатики математики и физики 34

Выполнил студент факультета информатики, математики и физики 34 группы Русанов Андрей Григорьевич.

l Кватернионы (от лат. quaterni — по четыре), система чисел, предложенная в 1843 англ. учёным У. Гамильтоном. l Кватернионы возникли при попытках найти обобщение комплексных чисел х + iy, где х и у— действительные числа, i — базисная единица с условием I 2 = -1 Как известно, комплексные числа изображаются геометрически точками плоскости, и действия над ними соответствуют простейшим геометрическим преобразованиям плоскости (сдвигу, вращению, растяжению или сжатию и их комбинациям).

l Поиски числовой системы, которая геометрически реализовалась бы с помощью точек 3 -мерного пространства, привели к установлению того, что из точек пространства трёх и выше трёх измерений нельзя «устроить» числовую систему, в которой алгебраические операции сохраняли бы все свойства сложения и умножения действительных или комплексных чисел. l Из точек пространства четырех измерений можно устроить числовую систему (в пространстве трех, пяти и даже выше измерений нельзя устроить даже такой системы чисел). Числа, реализуемые в 4 -мерном пространстве и называются кватернионами.

l Кватернионы представляют собой линейную комбинацию четырёх «базисных единиц» 1, i, j, k: X= 1+x 2 j+x 3 k, где хо, х1, x 2, х3 — действительные числа. l Кватернионы производятся по обычным правилам действия над многочленами относительно 1, i, j, k (нельзя лишь пользоваться переместительным законом умножения) с учётом правил умножения базисных единиц.

l В кватернионе единица может быть опущена: X=xo+x 1 i+x 2 j+x 3 k. В Кватернионе различают скалярную часть хо и векторную часть V V= x 1 i +x 2 j+x 3 k, так что X=xo+V. Если хо = 0, то кватернион V наз. вектором; он может отождествляться с обычными 3 -мерными векторами.

l В середине 19 в. Кватернионы воспринимались как обобщение понятия о числе, призванное играть в науке столь же значительную роль, как и комплексные числа. l Эта точка зрения подкреплялась и тем, что были найдены приложения Кватернионы к электродинамике и механике. Однако векторное исчисление в его современной форме вытеснило Кватернионы из этих областей. Ясно, что роль Кватернионы ни в какой мере не может быть сравнима с ролью комплексных чисел, имеющих многочисленные и разнообразные приложения в различных отраслях науки и техники.

АЛГЕБРА КВАТЕРНИОНОВ l Излагается суть одной из алгебраических систем, обобщающих понятие действительного числа - кватернионов. Обсуждаются основные операции над кватернионами, прослежена связь с векторами и комплексными числами. l Определим операции над двумя кватернионами Q 1 = s 1 + v 1 и Q 2 = s 2 + v 2. l 1) Сложение: Q = Q 1 + Q 2 = (s 1 + s 2) + (v 1 + v 2). Сложение двух кватернионов осуществляется путем сложения всех его компонент.

l 2)Умножение: Вычисление произведения двух кватернионов производится при помощи обычных распределительных законов с учетом соотношений и дает следующую формулу: Q = Q 1 Q 2 = s 1 s 2 + s 2 v 1 + s 1 v 2 + a 1 i(a 2 i + b 2 j + c 2 k) + + b 1 j(a 2 i + b 2 j + c 2 k) + c 1 k(a 2 i + b 2 j + c 2 k) = = s 1 s 2 + s 2 v 1 + s 1 v 2 - a 1 a 2 + a 1 b 2 k - a 1 c 2 j - b 1 a 2 k - b 1 b 2 + b 1 c 2 i + c 1 a 2 j - c 1 b 2 i - c 1 c 2 = = s 1 s 2+ s 2 v 1 + s 1 v 2 - v 1 " v 2 + v 1 i v 2 , где введены операции скалярного и векторного произведений векторов.

l 3) Сопряжение: Кватернион называется сопряженным по отношению к Q = s + ai + bj + ck, если = s - (ai + + bj + ck). В этом случае произведение есть число, равное квадрату модуля кватерниона Q: | Q | 2 = = s 2 + a 2 + b 2 + c 2. Нетрудно видеть, что квадрат модуля кватерниона равен сумме квадратов его компонент. Это свойство аналогично такому же свойству для векторов, однако существенное отличие от векторов подчеркивает следующее свойство.

l 4) Обращение: Для каждого ненулевого кватерниона существует ему обратный. Обратным по отношению к кватерниону Q называется кватернион Q-1, обладающий свойством QQ-1 = Q-1 Q = 1. Очевидно, что обратный находится по следующему правилу, весьма похожему на правило нахождения обратного к комплексному числу.

l Гамильтон и его последователи возлагали большие надежды на кватернионы. От кватернионов ожидали таких же результатов, как от комплексных чисел, и даже больше. И действительно, с помощью исчисления кватернионов были обнаружены совершенные в их математической красоте формулы, описывающие ряд важных физических явлений. Но дальнейшие надежды на развитие алгебраического и функционального исчисления кватернионов не оправдались.

Случай на Брогемском мосту l В одном из писем к своему сыну Гамильтон писал: “Это был 16 -й день октября, который случился в понедельник, в день заседания Совета Королевской Ирландской Академии, где я должен был председательствовать. Я направлялся туда с твоей матерью вдоль Королевского канала; и, хотя она говорила мне какие-то отдельные фразы, я их почти не воспринимал, так как в моем сознании подспудно что-то творилось. Неожиданно как будто бы замкнулся электрический контур; блеснула искра, предвещающая многие длительные годы определенно направленной мысли и труда,

моего – если доведется, или трудах других, если мне будет даровано достаточно сознательной жизни, чтобы сообщить о своем открытии. Я оказался не в состоянии удержаться от желания высечь ножом на мягком камне Брогемского моста фундаментальную формулу о символах i, j, k, содержащую решение проблемы, но, конечно, эта запись с тех пор стерлась. Однако более прочное упоминание осталось в Книге записей Совета Академии за этот день, где засвидетельствовано, что я попросил и получил разрешение на доклад о кватернионах на первом заседании сессии, который и был прочитан соответственно в Понедельник 13 -го следующего месяца – ноября”.

Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16 октября 1843 года, во вспышке гения, сэр Уильям Роуэн Гамильтон открыл формулу перемножения кватернионов.