Выигрышные стратегии Авторы Тагиров Р Р

Выигрышные стратегии Авторы : Тагиров Р. Р. , Хадиев Р. М.

В задании С 3 надо определить победителя и выигрышную стратегию.

Например: Два игрока играют в следующую игру. 1. Они складывают в одну кучу камни, у каждого игрока неограниченно много камней. 2. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок добавляет 1 или 2 камня в кучу. 3. Игрок, после хода которого число камней в куче становится больше 8, выигрывает. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Ответ обоснуйте.

Решить задачу можно с помощью дерева решений => - выигрышный ход, ≠> - проигрышный ход. 1 2 =>3 ≠>1+1 ≠>4 0 ≠>4 =>1+2 =>2+1 ≠>2 ≠>5 2 1 2 ≠>7 9! =>6 ≠>5 ≠>8 9, 10! ≠>4 ≠>7 9! =>6 ≠>8 9, 10! =>6 аналогично ≠>5 ≠>7 9! ≠>5 аналогично ≠>7 аналогично =>6 ≠>8 9, 10! аналогично =>6 аналогично ≠>7 9! аналогично ≠>5 ≠>2+2 1 =>6 аналогично ≠>7 аналогично ≠>8 9, 10!

Здесь видно, что первый игрок не имеет первого выигрышного хода. Поэтому выигрывает второй игрок. Выигрышная стратегия второго игрока определяется через ходы отмеченные знаком =>. Знаком ≠> отмечаются ходы, у которых нет выигрышной стратегии

Анализируя дерево решений, можно заметить, что второй игрок делает ходы, приводящие к значениям кратным 3 (0, 5, 6, 9) Т. е. для победы надо положить 9 -й камень, а в предыдущем ходу 6 -й. Перед этим второй игрок должен положить 3 -1 камень. Если он будет придерживаться этой стратегии, то при любом ходе 1 -го игрока второй имеет возможность привести число камней к кратности 3 -м. А у 1 -го игрока такой возможности нет. Поэтому второй игрок доводит число камней до n=9 и выигрывает.

Если число N камней, которые должны оказаться для победы кратно 3, то эта стратегия верна для любого N кратного 3 А дерево решений уже не позволяет решать данную задачу для больших N. Потому что каждое увеличение N на 3 удваивает число строк в дереве решений.

Можно рассмотреть и изменение системы правил по ходам. Например: можно ложить от 1 до К камней. Тогда эта стратегия применима для N кратным К+1. Для выигрыша второй игрок должен дополнять ход первого ирока до К+1. Это позволит ему первым положить N-й камень.

Можно для заданного K рассмотреть не кратные К+1 значения N. В этом случае выиграет 1 -й игрок сделав такой ход, который для выигрыша оставит потребность в К+1 кратном числе камней. Т. Е. первый ход 1 -го игрока будет равен N mod(K+1), после которого надо положить число камней кратное (K+1). Например, при N=310 и K=2 первый ход первого игрока будет 1. после чего надо доложить 309. Первый игрок далее будет дополнять ход второго игрока до 3.

Можно изменить правила присвоения победы. Игрок положивший N-й камень проиграет. В этом случае игрок, оставив 1 камень, положив N-1 й, выигрывает. Т. е. получается предыдущая игра для случая N-1.

Игра «Гонки» Как модификация данной игры можно рассмотреть игру «Гонки» . Правила игры: — играют два игрока, — задано n клеток на линии, — игроки по очереди могут продвигать свою фишку от 1 до k клеток вправо или влево, не занимая место с фишкой противника и не перескакивая фишку противника, — проигрывает тот, кто не сможет произвести ход. В данной игре также как в предыдущей нужно привести свой ход к расстоянию между фишками кратному (k+1). Далее при движении навстречу наступит момент когда ваш ход приведет к встрече с фишкой противника. В последствии противник будет отходить к своему краю и наступит момент когда он окажется на крайней позиции и не сможет произвести действие! ► ◄

С 3 В последние годы как задача С 3 рассматриваются выигрышные стратегии в завершающем этапе. Т. е. предлагаются правила игры и определяются следующие четыри подзадачи: 1. Определить значения при которых первый игрок своим первым ходом завершает игру. 2. Определить значения при которых второй игрок своим первым ходом завершает игру. 3. Определить значения при которых первый игрок своими двумя последними ходами завершает игру. 4. Определить значения при которых второй игрок своими двумя последними ходами завершает игру.