Выделение значимых компонент зашумленного ряда в методе сингулярного

Выделение значимых компонент зашумленного ряда в методе сингулярного спектрального анализа SSA Выполнил: Кузьменко Константин Дмитриевич Научный руководитель: Крутиков Владимир Николаевич

• Целью дипломной работы являлось развитие подхода к прогнозированию временных рядов используя метод под названием "Гусеница" с использованием простейших механизмов управления, посредством выбора оптимальных параметров регуляризации и упорядочивания компонент по нескольким типам: по собственным значениям; вторым производным; периодам колебаний.

SSA-метод «Гусеница» • Данный метод представляет собой анализ временных рядов, основанный на преобразовании одномерного временного ряда в многомерный ряд с последующим применением к полученному многомерному временному ряду метода главных компонент.

• Способ преобразования одномерного ряда в многомерный представляет собой «свёртку» временного ряда в матрицу, содержащую фрагменты временного ряда, полученные с некоторым сдвигом. Общий вид сдвиговой процедуры напоминает «гусеницу» , поэтому сам метод нередко так и называют — «Гусеница» : длина фрагмента называется длиной «гусеницы» , а величина сдвига одного фрагмента относительно другого шагом «гусеницы» .

•

• Определим расширенную матрицу, дополнив предыдущую дополнительным столбцом, где знаком «? » отмечено прогнозируемое значение. Обозначим вектор как продолжение столбцов матрицы X, а вектор Q – продолжением строк.

•

Использование регуляризации с параметрами отличными от нуля при решении системы уравнений позволяет нам ограничить ошибку при прогнозе, а оптимизация показателя критерия качества позволит нам узнать некоторую точность прогноза.

Критерий качества • Постановка задачи прогноза состоит в предварительном решении данной задачи. • Такую задачу можно решать, например, методами минимизации, использующими только вычисления функции.

• Упрощения задачи можно достигнуть, используя свойства главных компонент, которое позволяет утверждать о наличии в разложении незначимых компонент, которые можно удалить.

• Таким образом первый критерий отбраковки незначимых компонент состоит в удалении собственных векторов с очень малыми собственными значениями. Где изменяется от до на каждом шаге

• Второй важный фактор – это степень гладкости компоненты, который можно вычислить на основании измерения численных значений второй производной каждой компоненты. В этом случае масштаб показателя регуляризации для каждой компоненты можно связать со средним значением второй производной. где изменяется от до , а

• Третий важный фактор – это степень колеблемости компонент, которую можно вычислить, например, изучая число пересечений нуля в каждом из собственных векторов, т. е. получить период постоянства знака в каждом собственном векторе. • Использование всех трёх факторов нам позволило выявить следующий способ отбраковки.

• На основании выше сказанного можно сформулировать алгоритм, в котором предварительно все компоненты выстраиваются по их значимости в ряд, например, по величине собственных значений

• Далее проводится масштабирование параметров регуляризации, так, чтобы в дальнейшем задачу свести к оптимизации по одному параметру

• Упрощенный алгоритм имеет вид: • 1. Удалить из множества компонент наименее значимые компоненты, используя малость собственных значений их гладкость и степень колеблемости компоненты. • 2. Учитывая величины выше сказанных факторов установить порядок удаления компонент из модели, предполагая, что при удалении извлекается наихудшая компонента. При каждом удалении компоненты образуется новый набор компонент, определяющий прогноз.

• 3. Установить масштабирование компонент по принципу, где единственный изменяемый параметр • 4. Для каждого набора компонент, образовываемого посредством удаления последней в ряду компоненты вычислить показатель качества при различных параметрах На образованном таким образом множестве моделей найти модель с наилучшим показателем качества. На основании такой модели получить нужный прогноз.

Спрогнозируемые результаты • Рассмотрим пример SSA на временном ряде данных, описывающие количества перевезённых пассажиров на международных авиалиниях с января 1949 по декабрь 1960. Длина ряда n=143. Прогноз был построен начиная с 102 элемента

• Результат прогнозирования на последние 42 компоненты ряда Прогнозируемые 42 компоненты 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

• Сравним с уже существующими данными

Заключение • В результате выполнения выпускной квалификационной работы, был изучен метод сингулярного спектрального анализа и проанализирован исходный алгоритм метода. Так же был автоматизирован метод с введением нескольких видов сортировок. Представлен подробный алгоритм метода с предложенными модификациями. • Полученный результат работы, был успешно применен на практике. После проведения вычислительных экспериментов было выяснено что, подобная техника автоматизации прогнозирования показала себя эффективной, что позволяет рекомендовать ее как перспективную для последующего развития алгоритмов автоматического SSA прогноза.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!