Вычислительный или численный эксперимент Вычислительный численный эксперимент

Вычислительный (или численный) эксперимент Вычислительный (численный) эксперимент — это эксперимент над математической моделью объекта исследования на ЭВМ, который состоит в том что, по одним параметрам модели вычисляются другие ее параметры и на этой основе делаются выводы о свойствах объекта, описываемого математической моделью. Результаты исследования записываются в виде таблицы, содержащих значения входных 1 2 n входные параметры эксперимента (независимых )переменных и выходных (зависимых) переменных. х , …, х y 1, y 2, …, yn выходные параметры эксперимента (зависимые переменные) X Y х1 Объект исследования y 1 х2 y 2 … … xn yn

Вычислительный (или численный) эксперимент X Y 4. 5 х1 y 1 3. 5 х2 y 2 2. 5 … … 1 xn 4 3 2 1. 5 0. 5 yn 0 0 2 4 6 При обработке результатов этого эксперимента обнаружена функциональная зависимость у=f(x) между независимой переменной х и зависимой переменной у. Аналитическое выражение функции у=f(x) неизвестно и найти его достаточно сложно, тогда возникает задача аппроксимации, которая состоит в замене одной функции у=f(x) другой функцией (х), близкой к первой на некотором отрезке [a, b], т. е. f(x) (х), x [a, b] Такую замену называют аппроксимацией или приближением функции f(x) функцией (х). Функцию (х) называют аппроксимирующей функцией (или уравнением регрессии или эмпирической формулой).

Аппроксимация зависимостей Для чего же нужна аппроксимация? Если приближение найдено, то можно: 1. просчитать значение функции у=f(x) для любого x внутри отрезка (такой процесс называется интерполяцией); 2. сделать прогноз о поведении исследуемого объекта вне отрезка (экстраполяция); 3. выбрать оптимальное направление развития исследуемого процесса.

Уравнение регрессии может иметь разный вид и разный уровень сложности в зависимости от сложности исследуемого объекта и необходимой точности представления. Построение уравнения регрессии состоит из 2 -х этапов: 1. выбора общего вида уравнения регрессии и 2. определения параметров уравнения регрессии. В качестве уравнения регрессии чаще всего выбирают 1. полином n-ой степени 2. функции с 2 -мя параметрами

Параметры уравнения регрессии ПАРА Параметры определяют расположение графика эмпирической формулы относительно экспериментальных точек Mi (xi , yi ), i=1, 2, . . , n. Требуется подобрать параметры так, чтобы график УР был как можно «ближе» к системе экспериментальных точек. Результаты эксперимента 1 X 2 3 4 5 6 7 Y 1, 1 1, 2 0, 9 0, 8 1, 5 2, 4 3, 1 8 9 3 3, 1 3. 5 3 2. 5 2 Геометрически задача построения уравнения регрессии состоит в проведении кривой L: y= (х) «возможно ближе» примыкающей к системе экспериментальных точек Mi (xi , yi ), i=1, 2, …, n. 1. 5 Параметры УР находятся разными методами, в частности, методом наименьших квадратов 1 0. 5 0 0 2 4 6 8 10

Метод наименьших квадратов (МНК) Введем понятие отклонения значения УР от табличного значения yi для xi : Результаты эксперимента X Y 1 2 3 4 5 6 7 8 1, 1 1, 2 0, 9 0, 8 1, 5 2, 4 3, 1 9 Рассмотрим сумму квадратов отклонений 3 3, 1 3. 5 3 Согласно МНК наилучшими коэффициентами являются те, которые минимизирует функцию , т. е. 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 1 2 3 4 5 6 7 Прямая Результаты эксперимента 8 9 ai, Необходимым условием экстремума функции нескольких переменных является следующее: частные производные функции нескольких переменных равны 0.

Линейная регрессия является самой аппроксимацией (приближением). простой и популярной Эмпирическая формула имеет вид (x, a, b) = a + bx Согласно МНК наилучшими параметрами функции (x, a, b) считаются те, для которых сумма квадратов отклонений S(a, b) является минимальной: Для минимизации функции S=S(a, b) достаточно продифференцировать ее по параметрам a и b и приравнять производные нулю. Или

МНК для линейной регрессии Для линейной регрессии получили систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) После преобразований СЛАУ примет вид Решим эту систему относительно неизвестных а и в методом Крамера. Для решения запишем расширенную матрицу

Линейная регрессия Находим неизвестные а и в методом Крамера: Подставив значения а и в в линейную формулу (x, a, b) = a + bx, получим математическую модель исследуемого процесса, которую можно использовать для определения значения y для любого значения x.

Оценка точности приближения Степень точности такого приближения для исследуемого процесса оценивается по величине среднего квадратичного отклонения (СКО). Под средним квадратичным отклонением функций y=f(x) и y= (x) на множестве точек понимается число где f(xi )– экспериментальные значения, (xi ) – значения аппроксимирующей функции для xi. ( i=1, 2, . . , n), т. е. расчетное значение. В математике доказывается, что если среднее квадратичное отклонение мало для функции f(x) и (x) на отрезке x [a, b], то эти функции близки на этом отрезке, т. е.

Пример построения эмпирической формулы для линейной регрессии Линейная регрессия имеет вид Определить коэффициенты а (x, a, b) = a + вx, и в (количество экспериментов - Результаты эксперимента x 1 2 3 4 Сумма y 1, 5 2 5 10 xy 1 4 9 16 11 30 1, 5 5 6 20 32, 5 Вычислим Δ= 6 5 Δа = 4 3 2 1 0 0 2 4 6 Δb = Δ, Δа и Δb n=4)

Пример построения эмпирической формулы для линейной регрессии Линейная регрессия имеет вид Определить коэффициенты Результаты эксперимента x 1 2 3 4 Сумма y xy 1, 5 2 5 1 4 9 16 11 30 и в (количество экспериментов - Вычислим а и b 1, 5 5 6 20 10 а (x, a, b) = a + вx, 32, 5 Получим уравнение линейной регрессии (x, a, b) = a + вx = 0, 25+1 x n=4)

Пример построения эмпирической формулы для линейной регрессии Линейная регрессия имеет вид (x, a, b) = 0, 25 + x Результаты эксперимента x y 1 2 3 4 1, 5 2 5 1, 25 2, 25 3, 25 4, 25 (1, 5 -1, 25)2=0, 0625 (2, 5 -2, 25)2 =0, 0625 (2 -3, 25)2 =1, 5625 (5 -4, 25)2 =0, 5675 сумма 2, 25 Квадраты отклонений Для оценки точности приближения необходимо вычислить среднее квадратичное отклонение по формуле 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 Наилучшим считается то приближение, у которого среднее квадратичное отклонение наименьшее.