Вычислительная математика Лекция 6 Темы занятий o

Вычислительная математика Лекция 6

Темы занятий o o Алгебра 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений. Математический анализ 3. Приближение функций. 4. Вычисление определенных интегралов. 5. Решение дифференциальных уравнений.

Метод наименьших квадратов Пусть эмпирическая формула имеет вид y = Q(x, a 0, a 1, …, am), где ai (i = 0, 1, …, m) – числовые параметры, значения которых находятся из условия Тогда значения параметров находятся из системы уравнений, полученной из необходимого условия экстремума функции:

Метод наименьших квадратов Пусть Q(x, a 0, a 1, …, am) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . +am xm. Тогда Следовательно,

Метод наименьших квадратов Таким образом, получена СЛАУ на нахождение значений параметров ai (i = 0, 1, …, m) имеет вид:

Метод наименьших квадратов В частном случае при m = 4 имеем СЛАУ :

Метод наименьших квадратов Укрупненная блок-схема вычислений для составления и решения СЛАУ вида Ca = d.

Метод наименьших квадратов Пусть m = 1, a 0 = b, a 1 = k. Тогда получим Отсюда где

Виды эмпирической зависимости № Преобразование переменных 1 Xi = xi , Yi = xiyi Эмпирическая формула y = α + β/x, 2 Xi = xi , Yi = 1/yi y = 1/(αx + β), α = k, β = b 3 Xi = xi , Yi = xi/yi y = x/(αx + β), α = k, β = b 4 Xi = xi , Yi = ln yi y = αβx, α = e b, β = e k 5 Xi = ln xi , Yi = yi y = αln x + β, α = k, β = b 6 Xi = ln xi , Yi = ln yi y = αxβ, α = e b, β = k α = k, β = b

Метод наименьших квадратов Пусть Q(x, a 0, a 1, …, am) = a 0φ0(x) + a 1φ1(x) + a 2 φ2(x) +. . . +am φm(x). Тогда Следовательно,

Метод наименьших квадратов Таким образом, получена СЛАУ уравнений на нахождение значений параметров ai (i = 0, 1, …, m) имеет вид:

Метод наименьших квадратов Например, пусть m = 2 k + 1 и Тогда СЛАУ примет вид

Метод наименьших квадратов В частном случае при k = 2 получим СЛАУ