Вычислительная математика Лекция 5 Темы занятий o

Вычислительная математика Лекция 5

Темы занятий o o Алгебра 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений. Математический анализ 3. Приближение функций. 4. Вычисление определенных интегралов. 5. Решение дифференциальных уравнений.

Тема 3. Приближение функций Обобщенная постановка задачи: o Дано: функция y = f(x) o Найти: функцию y = g(x) такую, что f(x) ≈ g(x), то есть погрешность приближения |f(x) – g(x)| достаточно мала. Нахождение функции y = g(x) называется задачей аппроксимации функции y = f(x). Функция y = g(x) называется аппроксимирующей функцией.

Тема 3. Приближение функций Геометрический смысл: y y = g(x) O y = f(x) x

Тема 3. Приближение функций Геометрический смысл: y O y = g(x) y = f(x) x

Тема 3. Приближение функций Необходимость решения задачи аппроксимации возникает, когда: o функция y = f(x) задана таблицей своих значений: yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n; при этом нужно вычислять значения функции y = f(x) в точках (такая задача возникает при экспериментальном вычислении значений функции y = f(x)); o функция y = f(x) задана сложным аналитическим выражением, затрудняющим вычисления; при этом требуется заменить сложную функцию y = f(x) на более простую функцию y = g(x) (такая задача возникает при необходимости многократного вычисления значений функции y = f(x) или при необходимости выполнения операций над функцией y = f(x), например, дифференцирования или интегрирования).

Тема 3. 1 Интерполяция Обобщенная постановка задачи интерполяции: o Дано: значения функции y = f(x), x [a, b]: yi = f(xi), i = 0, 1, 2, …, n (xi [a, b]). o Найти: функцию y = g(x) такую, что g(xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n.

Тема 3. 1 Интерполяция Геометрический смысл: y y 2 y = g(x) y 0 y 5 y 4 x 0 O y 3 y 1 x 2 x 3 x 4 y = f(x) x 5 x

Тема 3. 1 Интерполяция Геометрический смысл: y y = g(x) x 0 O x 1 x 2 x 3 x 4 y = f(x) x 5 x

Тема 3. 1 Интерполяция Задача интерполяции обобщенным многочленом: Пусть задана система функций: φ0(x), φ1(x), φ2(x), . . . , φn(x). Обобщенным многочленом называется функция n(x) = a 0φ0(x)+a 1φ1(x)+a 2φ2(x)+. . . +anφn(x) = , такая, что n(xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n.

Тема 3. 1 Интерполяция Коэффициенты aj (j = 0, 1, 2, …, n) находятся из условия: – СЛАУ. Для решения СЛАУ необходимо, чтобы для любых xi (i = 0, 1, 2, …, n), (1) система функций {φj(x)}j=0, 1, . . . , n , удовлетворяющая условию (1), называется чебышевской системой функций.

Тема 3. 1 Интерполяция Задача полиномиальной интерполяции: Пусть задана система функций вида: φ0(x) = 1, φ1(x) = x, φ2(x) = x 2, . . . , φn(x) = xn. Интерполяционным многочленом (полиномом) называется функция Pn(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +. . . +an xn = , такая, что Pn(xi) = yi, i = 0, 1, 2, …, n.

Тема 3. 1 Интерполяция Теорема Система функций {1, x, x 2, . . . , xn} является чебышевской. Доказательство: – определитель Вандермонда.

Тема 3. 1. 1 Интерполяционный многочлен (полином) Лагранжа имеет следующий вид: где многочлен степени n такой, что Многочлен

Тема 3. 1. 1 Интерполяционный многочлен (полином) Лагранжа Общая формула: Частные случаи: n = 1: n = 2: n = 3:

3. 1. 1 Интерполяционная формула Лагранжа Блок-схема алгоритма Begin L: =0 for i: =0 to n do P: =1 for j: =0 to i– 1 do P: =P*( –x(j))/(x(i)–x(j)) for j: =i+1 to n do P: =P*( –x(j))/(x(i)–x(j)) L: =L+y(i)*P End

Ввод исходных данных в программу на языке Pascal const n = 10; a = 0; b = 1; var L, P, h: double; x, y: array[0. . n] of double; i, j: integer; function f(x: double): double; begin f : = sqrt(x); end; begin h : = (b–a)/n; x[0] : = a; for i: =1 to n do x[i] : = x[i– 1] + h; for i: =0 to n do y[i] : = f(x[i]); . . . end. 17

3. 1. 2 Интерполяционный полином Ньютона Общий вид: o первая формула Ньютона: o вторая формула Ньютона:

3. 1. 2 Полином Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Конечные разности: yi = yi+1–yi – конечные разности первого порядка; 2 yi = yi+1– yi – конечные разности второго порядка; 3 yi = 2 yi+1– 2 yi – конечные разности третьего порядка; . . . nyi = n-1 yi+1– n-1 yi – конечные разности n-го порядка;

3. 1. 2 Полином Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Конечные разности: yi = yi+1–yi – конечные разности первого порядка; 2 yi = yi+1– yi – конечные разности второго порядка; 3 yi = 2 yi+1– 2 yi – конечные разности третьего порядка; . . . nyi = n-1 yi+1– n-1 yi – конечные разности n-го порядка;

3. 1. 2 Полином Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Таблица конечных разностей: i yi 2 y i 3 y i 4 y i 5 y i 0 y 0 2 y 0 3 y 0 4 y 0 5 y 0 1 y 1 2 y 1 3 y 1 4 y 1 2 y 2 2 y 2 3 y 2 3 y 3 2 y 3 4 y 4 5 y 5

3. 1. 2 1 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Условия на аi:

3. 1. 2 1 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Общая формула аi:

3. 1. 2 2 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Общая формула: Для программной реализации:

2 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Условия на bi:

2 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Общая формула bi:

1 -я формула Ньютона для равноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≡const) Общая формула: Для программной реализации:

Блок-схема 1 -я формула Ньютона Begin P: =y[0] for i: =0 to n do dy[i]: =y[i] c: =(x–x[0])/h for i: =1 to n do P: =P+dy[i]*c for j: =n downto i do c: =c*(x–x[i])/(h*(i+1)) dy[j]: =dy[j]–dy[j– 1] End

Блок-схема 2 -я формула Ньютона Begin P: =y[n] for i: =0 to n do dy[i]: =y[i] c: =(x–x[n])/h for i: =1 to n do P: =P+dy[n–i]*c for j: =n downto i do c: =c*(x–x[n–i])/(h*(i+1)) dy[j]: =dy[j]–dy[j– 1] End

Полином Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≠const) Разделенные разности: – разделенные разности первого порядка; – разделенные разности второго порядка; – разделенные разности третьего порядка; . . . – разделенные разности n-го порядка.

Полином Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≠const) Таблица разделенных разностей: i xi yi [xi, xi+1] [xi, xi+1, xi+2, xi+3] [xi, xi+1, xi+2, xi+3 , xi+4] 0 x 0 y 0 [x 0, x 1] [x 0, x 1, x 2, x 3] 1 x 1 y 1 [x 1, x 2] [x 1, x 2, x 3 , x 4] 2 x 2 y 2 [x 2, x 3] [x 2, x 3, x 4] 3 x 3 y 3 [x 3, x 4] 4 x 4 y 4 [x 0, x 1, x 2, x 3 , x 4]

Полином Ньютона для неравноотстоящих узлов интерполяции (xi+1–xi=h≠const) Общий вид: o первая формула Ньютона: o вторая формула Ньютона:

Погрешность полиномиальной интерполяции Теорема: