Вычислительная математика Лекция 2 1 Темы занятий

Вычислительная математика Лекция 2 1

Темы занятий o o Алгебра 1. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений. Математический анализ 3. Приближение функций. 4. Вычисление определенных интегралов. 5. Решение дифференциальных уравнений. 2

Тема 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений Постановка задачи: o Дано: нелинейное уравнение f(x) = 0 (1) o Найти: корень (решение) – числовое значение ξ, при подстановке которого в (1) уравнение обращается в верное равенство. 3

Тема 2. Решение нелинейных алгебраических уравнений Принятые ограничения: o Уравнение f(x) = 0 имеет не менее одного решения. o В окрестности каждого решения функция y = f(x) непрерывно дифференцируема до второго порядка (включительно). 4

Этапы решения уравнения o Локализация (отделение) корня: нахождение отрезка [a, b], содержащего ровно один корень уравнения. o Уточнение корня: вычисление корня ξ [a, b] с заданной точностью ε, то есть, отыскание такого числа x, для которого: 1) |ξ – x| < ε; или (и) 2) |f(x)| < ε. 5

Методы локализации корней Теорема Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и выполнены условия: 1) f(a) f(b) < 0, т. е. f(x) принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков; 2) f (x) знакопостоянна на отрезке [a, b], т. е. x [a, b] f (x) < 0 либо f (x) > 0 (f(x) не имеет на отрезке [a, b] локальных экстремумов). Тогда уравнение f(x) = 0 имеет на отрезке [a, b] единственный корень ξ (a, b). 6

Методы локализации корней o o Табличный: построение таблицы значений функции f(x) на отрезках из области определения. Графический: 1) построение графика функции y = f(x) и нахождение отрезков, содержащих ровно одну точку пересечения графика с осью Ох; 2) замена уравнения f(x) = 0 эквивалентным уравнением вида f 1(x) = f 2(x), построение графиков функции y = f 1(x) и y = f 2(x) и нахождение отрезков, содержащих ровно одну абсциссу точки пересечения графиков. 7

Пример локализации корней Рассмотрим уравнение 4(1 – x 2) – ex = 0, то есть f(x) = 4(1 – x 2) – ex. o Табличный: o Графический: 1) 2) 8

Итерационные методы уточнения корней Строится последовательность x 0, x 1, x 2, . . . , xk, …, такая, что Последовательность строится до тех пор, пока не выполнится условие 1) либо 2): 1) |ξ – xk| < ε; 2) | f(xk)| < ε, где ε – заданное число (заданная точность). Примечание: выбор условия 1) или 2) определяется целями решения задачи; в лабораторной работе можно выбрать любое из условий. 9

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε y = f(x) y = –ε a ξ y=ε b x f(b) 10

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Итерация 1 y = f(x) y = –ε a ξ x 1 y=ε b x f(b) f(x 1) 11

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Итерация 2 y = f(x) f(x 2) y = –ε a x 2 ξ x 1 y=ε b x f(b) f(x 1) 12

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) Итерация 3 x = ξ+ε y = f(x) f(x 2) y = –ε a x 2 ξ x 3 x 1 y=ε b x f(x 3) f(x 1) 13

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) Итерация 4 x = ξ+ε y = f(x) f(x 2) f(x 4) a x 2 y = –ε x 4 ξ x 3 x 1 y=ε b x f(x 3) f(x 1) 14

1. Метод деления пополам (бисекций) y x = ξ–ε f(a) Итерация 5 x = ξ+ε y = f(x) f(x 2) f(x 4) f(x 5) a x 4 x 5 x 2 ξ x 3 y = –ε x 1 y=ε b x f(x 3) f(x 1) 15

1. Метод деления пополам (бисекций) Общее описание метода: Шаг 1. a 1 = a, b 1 = b, k = 1; Шаг 2. xk = (ak + bk) / 2; Шаг 3. Если f(ak) f(xk) < 0, то аk+1 = ak, bk+1 = xk, иначе аk+1 = xk, bk+1 = bk. Шаг 4. Если |bk – ak| < ε или (и) |f(xk)| < ε, то ξ ≈ xk, иначе k = k+1 и Шаг 2. 16

1. Метод деления пополам (бисекций) Общее описание метода: Шаг 1. k = 1; Шаг 2. xk = (a + b) / 2; Шаг 3. Если f(a) f(xk) < 0, то b = xk, иначе а = xk; Шаг 4. Если |b – a| < ε или (и) |f(xk)| < ε, то ξ ≈ xk, иначе k = k+1 и Шаг 2. 17

1. Метод деления пополам (бисекций) Блок-схема алгоритма 1) 2) Begin x: =(a+b)/2 нет f(a)*f(x)<0 a: =x x: =(a+b)/2 да b: =x нет a: =x k: =k+1 нет |b – a|

1. Пример расчета методом деления пополам (бисекций) Найти положительный корень уравнения 4(1 – x 2) – ex = 0, с точностью ε = 0, 05. Итерация k ak bk xk f(ak) f(bk) f(xk) |bk-ak| 1 0, 5 3 -2, 718 1, 351 3 2 0, 5 1 0, 75 1, 351 -2, 718 -0, 367 0, 5 3 0, 5 0, 75 0, 625 1, 351 -0, 367 0, 569 0, 25 4 0, 625 0, 75 0, 6875 0, 569 -0, 367 0, 121 0, 125 5 0, 6875 0, 71875 1, 121 -0, 367 -0, 118 0, 0625 6 0, 6875 0, 71875 0, 703125 1, 121 -0, 118 0, 002 0, 03125 19

Ввод исходных данных в программу на языке Pascal const eps = 0. 001; var a, b: double; function f(x: double): double; begin f : = 4*(1 – sqr(x)) – exp(x); end; begin a : = 0; b : = 1; . . . end. 20

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε f(a) > 0, f(b) < 0; для всех x [a, b]: f (x) < 0 – функция f(x) убывает, f (x) > 0 – функция f(x) выпукла вниз. y = –ε a f(b) ξ y=ε b x y = f(x) 21

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) a f(x 1) f(b) Итерация 1 x = ξ+ε x 1 ξ y = –ε y=ε b x y = f(x) 22

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) a Итерация 2 x = ξ+ε x 2 ξ x 1 y = –ε y=ε b x f(x 2) f(x 1) f(b) y = f(x) 23

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) a Итерация 3 x = ξ+ε x 3 ξ x 2 x 1 y = –ε y=ε b x f(x 3) f(x 2) f(x 1) f(b) y = f(x) 24

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) a f(x 4) f(x 3) f(x 2) f(x 1) f(b) Итерация 4 x = ξ+ε x 4 x 3 ξ x 2 x 1 y = –ε y=ε b x y = f(x) 25

2. Метод хорд (секущих) y x = ξ–ε f(a) f(x 5) f(x 4) f(x 3) f(x 2) f(x 1) f(b) a Итерация 5 x = ξ+ε ξ x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 y = –ε y=ε b x y = f(x) 26

2. Метод хорд (секущих) y f(c) x = ξ–ε c=a f(x 1) f(x 0) x = ξ+ε Вывод формулы уравнение прямой, проходящей через две точки (c, f(c)), (x 0, f(x 0)): x 1 ξ y = –ε x 0 = b y=ε x y = f(x) 27

2. Метод хорд (секущих) y f(c) x = ξ–ε x = ξ+ε Вывод формулы уравнение прямой, проходящей через две точки (c, f(c)), (x 0, f(x 0)): следовательно, c=a f(x 1) f(x 0) x 1 ξ y = –ε x 0 = b y=ε x y = f(x) 28

2. Метод хорд (секущих) y f(c) x = ξ–ε x = ξ+ε Вывод формулы уравнение прямой, проходящей через две точки (c, f(c)), (x 0, f(x 0)): следовательно, отсюда c=a f(x 1) f(x 0) x 1 ξ y = –ε x 0 = b y=ε x y = f(x) 29

2. Метод хорд (секущих) Общая формула: 30

2. Метод хорд (секущих) y f(a) > 0, f(b) < 0; для всех x [a, b]: f (x) < 0 – функция f(x) убывает, f (x) > 0 – функция f(x) выпукла вверх. f(a) y = –ε a ξ b x y=ε y = f(x) f(b) 31 x = ξ–ε x = ξ+ε

2. Метод хорд (секущих) y Итерация 1 x = ξ–ε f(x 0) x = ξ+ε f(x 1) x 0 = a f(b) x 1 y = –ε c=b ξ y=ε x y = f(x) 32

2. Метод хорд (секущих) y Итерация 2 x = ξ–ε f(x 0) x = ξ+ε f(x 1) f(x 2) x 0 = a f(b) x 1 x 2 y = –ε c=b ξ y=ε x y = f(x) 33

2. Метод хорд (секущих) y Итерация 3 x = ξ–ε f(x 0) x = ξ+ε f(x 1) f(x 2) f(x 3) x 0 = a f(b) x 1 x 2 x 3 ξ y = –ε c=b y=ε x y = f(x) 34

2. Метод хорд (секущих) 1) y f(c) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) > 0, x (a, b) c=a x 4 x 3 x 2 x 1 2) y f(b) x 0 = b ξ x 1 x 2 x 3 x 4 ξ f(a) y = f(x) 3) f(a) < 0, f(b) > 0; f (x) < 0, x (a, b) y y = f(x) f(b) x 4 x 3 x 2 x 1 4) c=b x y = f(x) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) < 0, x (a, b) y y = f(x) f(a) x f(c) x 0 = a x f(b) c=a ξ f(a) < 0, f(b) > 0; f (x) > 0, x (a, b) x 0 = a x 0 = b x 1 x 2 x x 4 ξ c=b x 3 f(c) 35

2. Метод хорд (секущих) Общее описание метода: Шаг 1. x 0 = a, c = b (x 0 = b, c = a), k = 0; Шаг 2. Шаг 3. Если |xk+1 – xk| < ε или (и) |f(xk+1)| < ε, то ξ ≈ xk+1, иначе k = k +1 и Шаг 2. 36

2. Метод хорд (секущих) Пример расчета Найти отрицательный корень уравнения 4(1 – x 2) – ex = 0, с точностью ε = 0, 05. |xk - xk-1 | Итерация k xk |f(xk)| 0 0 3 1 -0, 891 0, 416 0, 891 2 -0, 948 0, 012 0, 058 3 -0, 950 0, 0003 0, 002 37

2. Метод хорд (секущих) Пример расчета Найти положительный корень уравнения 4(1 – x 2) – ex = 0, с точностью ε = 0, 05. |xk - xk-1 | Итерация k xk |f(xk)| 0 0 3 1 0, 525 1, 209 0, 525 2 0, 671 0, 243 0, 146 3 0, 698 0, 042 0, 027 4 0, 703 0, 007 0, 005 38

2. Метод хорд (секущих) Блок-схема алгоритма 1) 2) Begin xn: =b, c: =a (xn: =a, c: =b) x: =b, c: =a (x: =a, c: =b) k : = 0 xp : = xn x: =x–f(x)*(x–c)/(f(x)–f(c)) xn: =xp–f(xp)*(xp–c)/(f(xp)–f(c)) k: =k+1 k : = k+1 нет |xn – xp|

3. Метод касательных (Ньютона) y f(a) > 0, f(b) < 0; x = ξ+ε для всех x [a, b]: f (x) < 0 – функция f(x) убывает, f (x) > 0 – функция f(x) выпукла вниз. x = ξ–ε f(a) f(x 1) y = –ε a f(b) b ξ y=ε x y = f(x) 40

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Итерация 1 f(x 1) y = –ε a f(b) x 1 b ξ y=ε x y = f(x) 41

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Итерация 2 f(x 1) f(x 2) y = –ε a f(b) x 1 x 2 b ξ y=ε x y = f(x) 42

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Итерация 3 f(x 1) f(x 2) f(x 3) f(b) a x 1 x 2 ξ x 3 y = –ε b y=ε x y = f(x) 43

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Вывод формулы уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x 0, f(x 0)): f(x 1) y = –ε a = x 0 f(b) x 1 b ξ y=ε x y = f(x) 44

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Вывод формулы уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x 0, f(x 0)): следовательно, f(x 1) y = –ε a = x 0 f(b) x 1 b ξ y=ε x y = f(x) 45

3. Метод касательных (Ньютона) y x = ξ–ε f(a) x = ξ+ε Вывод формулы уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке (x 0, f(x 0)): следовательно, отсюда f(x 1) y = –ε a = x 0 f(b) x 1 b ξ y=ε x y = f(x) 46

3. Метод касательных (Ньютона) Общая формула: 47

3. Метод касательных (Ньютона) y f(a) y = f(x) b a ξ y=ε y = –ε x f(a) > 0, f(b) < 0; для всех x [a, b]: f (x) < 0 – функция f(x) убывает, f (x) < 0 – функция f(x) выпукла вверх. f(b) x = ξ+ε x = ξ–ε 48

3. Метод касательных (Ньютона) y f(a) Итерация 1 y = f(x) x 1 a ξ x 0 = b y=ε y = –ε x f(x 1) f(x 0) x = ξ+ε x = ξ–ε 49

3. Метод касательных (Ньютона) y f(a) Итерация 2 y = f(x) x 2 a ξ x 1 x 0 = b y=ε y = –ε f(x 2) x f(x 1) f(x 0) x = ξ+ε x = ξ–ε 50

3. Метод касательных (Ньютона) y f(a) f(x 3) f(x 2) Итерация 3 y = f(x) x 3 a x 2 ξ x 1 x 0 = b y=ε y = –ε x f(x 1) f(x 0) x = ξ+ε x = ξ–ε 51

3. Метод касательных (Ньютона) 1) y f(x 0) 2) y f(x 0) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) > 0, x (a, b) f(x 1) f(x 2) f(x 3) f(a) < 0, f(b) > 0; f (x) > 0, x (a, b) f(x 2) f(x 3) x 0 = a x 1 ξ x 2 x 3 f(b) x 0=a x 1 f(a) b x 3 x 2 x 1 x 0 = b x y = f(x) 4) y f(a) y = f(x) > 0, f(b) < 0; f (x) < 0, x (a, b) f(a) y = f(x) x 2 x 3 ξ ξ a x y = f(x) 3) y f(a) < 0, f(b) > 0; f (x) < 0, x (a, b) f(x 3) f(x 2) b x f(x 3) f(x 2) f(x 1) f(x 0) x 3 x 2 x 1 x 0 = b ξ x f(x 1) f(x 0) a 52

3. Метод касательных (Ньютона) Общее описание метода: Шаг 1. x 0 = a (x 0 = b), k = 0; Шаг 2. Шаг 3. Если |xk+1 – xk| < ε или (и) |f(xk+1)| < ε, то ξ ≈ xk+1, иначе k = k +1 и Шаг 2. 53

3. Метод касательных (Ньютона) Пример расчета Найти отрицательный корень уравнения 4(1 – x 2) – ex = 0, с точностью ε = 0, 05. |xk - xk-1 | Итерация k xk |f(xk)| 0 -1 0, 368 1 -0, 951 0, 009 0, 048 2 -0, 950 0, 00008 0, 001 54

3. Метод касательных (Ньютона) Пример расчета Найти положительный корень уравнения 4(1 – x 2) – ex = 0, с точностью ε = 0, 05. |xk - xk-1 | Итерация k xk |f(xk)| 0 1 2, 718 1 0, 746 0, 334 0, 254 2 0, 705 0, 009 0, 042 55

3. Метод касательных (Ньютона) Блок-схема алгоритма 1) 2) Begin xn : = a (xn : = b) x : = a (x : = b) k : = 0 xp : = xn x: =x–f(x)/f (x) xn: =x–f(xp)/f (xp) k: =k+1 k : = k+1 нет |xn – xp|

Ввод исходных данных в программу на языке Pascal const eps = 0. 001; var a, b: double; function f(x: double): double; begin f : = 4*(1 – sqr(x)) – exp(x); end; function df(x: double): double; { f (x)} begin df : = 8*(x) – exp(x); end; begin a : = 0; b : = 1; . . . end. 57

4. Комбинированный метод хорд и касательных y x = ξ–ε f(a 0) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) < 0, x (a, b) x = ξ+ε f(a 1) f(a 2) f(a 3) f(b 2) f(b 1) f(b 0) a 0 = a a 1 a 2 ξ b 3 a 3 b 2 b 1 y = –ε b 0 = b x y=ε y = f(x) 58

4. Комбинированный метод хорд и касательных y f(a 0) f(a 1) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) > 0, x (a, b) y = f(x) f(a 2) f(a 3) f(b 2) a 0 = a a 1 a 2 a 3 ξ b 3 b 2 b 1 b 0 = b y=ε y = –ε x f(b 1) f(b 0) x = ξ+ε x = ξ–ε 59

4. Комбинированный метод хорд и касательных y x = ξ–ε f(a) a 0 = a a 1 f(b) a 2 f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) < 0, x (a, b) x = ξ+ε ξ b 3 a 3 b 2 b 1 y = –ε b 0 = b x y=ε y = f(x) 60

4. Комбинированный метод хорд и касательных y f(a) a 0 = a f(b) f(a) > 0, f(b) < 0; f (x) > 0, x (a, b) y = f(x) a 1 a 2 x = ξ+ε a 3 ξ b 3 b 2 b 1 b 0 = b y=ε y = –ε x = ξ–ε x 61

4. Комбинированный метод хорд и касательных Общее описание метода: Шаг 1. a 0 = a, b 0 = b, k = 0; Шаг 2. Шаг 3. Если |bk+1 – ak| < ε или (и) |f(xk+1)| < ε, то ξ ≈ xk+1, иначе k = k +1 и Шаг 2. 62

4. Комбинированный метод хорд и касательных Блок-схема алгоритма 1) 2) Begin k : = 0 b: =b–f(b)*(b–a)/(f(b)–f(a)) a: =x–f(a)/f (a) (a: =a–f(a)*(b–a)/(f(b)–f(a)) b: =x–f(b)/f (b)) x: =(a+b)/2 k : = k+1 нет |b – a|