Вычислительная математика это наука о методах решения

Вычислительная математика — это наука о методах решения математических задач на компьютере. Задачами вычислительной математики занимались: Эйлер, Лагранж, Чебышёв, Якоби, Лежандр, фон Нейман, . . . Вычислительная математика – прикладная математика – численные методы

История ВМ 1. Греческие астрономы использовали математические методы для изучения законов движения небесных светил. Они много сделали для развития вычислительной математики. Вершиной достижений в математике считают исследования знаменитого александрийского математика и астронома Клавдия Птолемея. Он жил в первой половине II века н. э. и оставил после себя сочинения в тринадцати томах под названием «Великое собрание, или Великое построение» .

2) Огромную роль в технике вычислений сыграло изобретение логарифмов. Создатели первых таблиц логарифмов - шотландский математик Джон Непер и швейцарский ученый Йоост Бюрги. Выдающееся значение работ Непера в том, что он раскрыл сущность логарифма как новой, до него неизвестной математической зависимости. Ее открытие имело для вычислительной математики столь же большое значение, как открытие тригонометрических функций. 3) Для расчета динамических процессов нужны математические методы дифференциального и интегрального исчисления науки об изменяющихся величинах. Ее создали гениальные математики Лейбниц, Ньютон, Эйлер и их ученики и последователи.

1. Что такое численные методы? ЗАДАЧА, ПРОБЛЕМА, …А эксперимент теория Математическое моделирование схематизация Реальное явление Математическая модель Эксперимент (физический) достоинства: -достоверность; -объективность; -… недостатки: - дорого; - медленно; - опасно; - невозможно Мат. модель обычно состоит из Уравнений (алгебр. , дифференц. , интеграль. и пр. ). В эти уравнения в качестве параметров и коэффициентов могут входить свойства и характеристики тел, веществ, …

Решение математической модели Методы решения ММ аналитические Аналитические методы Класс. математика приближенные докомпьют. период Приближенные методы - разложение в ряды; - разложение по малому параметру; -. . . пример - неберущийся интеграл Разложим sin(x) в степ. ряд: Тогда: Окончательно: численные компьютер

Численные методы ? Численные методы основаны на использовании компьютера. Что может компьютер ? Как тогда: - арифметические операции - логические операции - управление Математическая модель должна быть доведена до алгоритма, сводящего все вычисления к арифметическим и логическим действиям. Ч е л Математическая модель Численная модель о в е Алгоритм к Компьютерная программа Расчеты (численный эксперимент)

? ПРИМЕР арифметика Метод Ньютона-Рафсона: ем л. да приб за ч. на . . . итерации Demo MC (итерации) ЗАДАНИЕ 1. 1: Написать свою функцию расчета по алгоритму Н-Р. Итерации прекратить при достижении условия

Пример. Метод Монте-Карло (совр. комп. метод) Пусть дана некоторая плоская фигура, требуется рассчитать ее площадь S. Опишем вокруг заданной фигуры прямоугольник, его площадь SS легко можно рассчитать. В полученный прямоугольник будем случайным образом помещать точки с координатами (x, y). Часть таких точек попадет во внутрь исследуемой фигуры, другая часть окажется за ее пределами. Обозначим через NN общее количество точек, N – количество точек, попавших в фигуру. Тогда можно записать приближенное равенство Таким образом, используемый метод является приближенным. Точность расчета существенно зависит от количества заданных случайных точек и качества генератора случайных чисел. Для нашей задачи рекомендуется задавать NN>10000. (пример на MC – число pi) Demo MC (pi М-Карло) ЗАДАНИЕ 1. 2: Используя метод МК, найти площадь заданной фигуры. (см. ниже)

ВАРИАНТЫ ФИГУР ДЛЯ РАСЧЕТА