ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ АЭРОГИДРОДИНАМИКА Лекция 3 Приемы вычислений Исторический

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ АЭРОГИДРОДИНАМИКА Лекция 3 Приемы вычислений

Исторический обзор 1910 г. на заседании Королевского научного общества Лондона (Royal Society of London) Ричардсон представил статью по первому применению метода конечных разностей для анализа нагрузок на каменную плотину 1956 г. первая работа по методу конечных элементов опубликована в Авиационном научном журнале (Aeronautical Science Journal) Тернером & C для анализа аэродинамических нагрузок Методы конечных разностей Mетоды конечных элементов 50 -е появление вычислительных машин Методы конечных объемов Метод граничных элементов Метод Монте-Карло Метод больших вихрей (Large Eddy Simulation)

Процесс построения вычислительного решения Исходные ДУЧП и граничные условия Дискретизация I этап Система алгебраических уравнений Алгоритм решения Приближенное решение II этап Разностные методы строятся в такой последовательности: 1. Область решения исходной (дифференциальной) задачи заменяется на дискретную (сеточную) и вводятся сеточные функции; 2. Дифференциальные операторы в уравнениях и граничных условиях заменяются (аппроксимируются) разностными, определенными на этой сетке для сеточных функций; 3. Для полученной системы линейных алгебраических уравнений (разностной схемы) доказывается ее аппроксимация, корректность и сходимость к решению исходной задачи

Построение сеток и определение сеточных функций Множество точек, в которых ищется решение, называется сеткой, отдельные точки – узлами сетки. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией Пример 1. Равномерная сетка на отрезке шаг сетки Множество узлов сетка, Пример 2. Равномерная сетка на плоскости сеточная функция

Построение сеток и определение сеточных функций Пример 3. Сетка в двумерной области с криволинейной границей Внутренний узел Приграничный узел Граничный узел Точки пересечения прямых и с границей граничные по направлению x (или y) узлы ( ). Если его расстояние до границы шагу сетки по соответствующему направлению, то такой узел называется нерегулярным по x (или y), а если его расстояние до границы = шагу сетки, то регулярным. Способы преодоления нерегулярностей вблизи границы: 1. Решение ищется в области, близкой по форме к действительной, но имеющей регулярные граничные узлы (граничные значения сносятся в ближайшие узлы сетки). 2. Вблизи границы области используются неравномерные шаги сетки. 3. Решение ищется на равномерной сетке с граничными узлами в фиктивных узлах, которые выбираются так, чтобы действительное граничное условие выполнялось на истинной границе.

Построение сеток и определение сеточных функций Пример 4. Нерегулярная согласованная с границами сетка Все граничные узлы лежат на пересечении образующих ее линий. Согласованность с границей достигается за счет существенной неравномерности шагов сетки. Сетка называется связной, если любые два узла можно соединить ломаной, проходящей через внутренние узлы. Области, имеющие геометрически сложные границы Неструктуированные сетки Соседние узлы по координатным направлениям пронумерованы последовательными значениями индексов Элементы такой сетки узлы, ячейки и грани, между которыми установлены отношения связности

Разделенные разности и разностные схемы Задача: Требуется найти функцию u(x, t), удовлетворяющую уравнению и принимающую при t=0 заданные значения 1) Область непрерывного изменения аргументов заменяется дискретным множеством узлов равномерной сетки; 2) Вместо функции u(x, t) функция дискретного аргумента , т. е. сеточная функция. 3) Основная техника построения конечно-разностных аппроксимаций ДУ применение разложений в ряды Тейлора Разделенная разность Способ построения конечно-разностных схем для ДУЧП замена частных производных соответствующими разделенными разностями + конечно-разностное уравнение разностная схема = Разностная начально-краевая задача

Понятие нормы Нормой функции называется неотрицательное число, которое принимается за меру отклонения функции от тождественного нуля Для непрерывных на интервале [a, b] функций или По аналогии вводится норма для сеточных функций Мера отклонения двух функций друг от друга = норма их разности Точное решение задачи – непрерывная функция u Решение разностной задачи – дискретная функция uh Oпределены в различных функциональных пространствах Введение проекции на сетку точного решения (u)h Возможность сравнить точное и приближенное решения в рамках одного и того же функционального пространства – пространства сеточных функций

Аппроксимация Замена дифференциального оператора разностным Определение 1: Разностный оператор Lh аппроксимирует дифференциальный оператор L , если невязка при h 0. Если сверх того (С и k – постоянные) или , то имеет место аппроксимация порядка k. Определение 2: Если для дифференциальной задачи имеют место равенства то краевая задача аппроксимирует дифференциальную с порядком по времени и по пространству.

Как на практике исследовать аппроксимацию конкретной разностной задачи? 1. Задать точку (x*, t*), относительно которой будут выполняться разложения в ряд Тейлора; 2. Осуществить в разностной схеме разложения всех входящих в нее величин в ряды Тейлора относительно точки (x*, t*). В результате получится некоторое уравнение вида L 1 u = 0 (L 1 – некоторый дифференциальный оператор, коэффициенты которого зависят от и h ); 3. Записать исходное уравнение в частных производных в виде Lu=0; 4. Вычислить разность Ru = L 1 u - Lu; Если (k, n>0), то это и означает, что аппроксимация имеет место, причем, с порядком по пространственной переменной и с порядком по времени.

Аппроксимация схемы “уголок” 1. Задаем точку, относительно которой будут выполняться разложения (xi, tn), т. е. в точке (i, n); 2. Проведем разложения всех входящих в разностную схему величин в ряды Тейлора относительно точки (xi, tn) : Подставляем разложения в разностную схему и получаем уравнение: 3. Исходное уравнение ; 4. Вычисляем разность + точная аппроксимация

Устойчивость и методы ее исследования Разностная задача поставлена корректно, если для любых достаточно малых шагов сетки 1) решение существует и единственно для всех входных данных из некоторого допустимого семейства; 2) решение непрерывно зависит от входных данных: существуют такие const M 1> 0, M 2> 0, M 3> 0, не зависящие от шагов h, и от выбора входных данных, что справедливо Условие устойчивости разностной схемы uи - решения разностной задачи с исходными и возмущенными входными данными Замечание: Для задачи Коши доказано, что в линейном случае схемы, устойчивые по начальным данным, устойчивы и по правой части. для линейных операторов Lh оценка устойчивости имеет вид

Метод фон Неймана 1944 г. Решение модельного уравнения представляется рядом Фурье с конечным числом членов и устойчивость определяется тем, что каждое отдельное колебание затухает Сеточное представление функции Если амплитуда (спектр) спектральный признак устойчивости остается ограниченной для любой гармоники по пространству eikx, то и решение будет оставаться ограниченным. Необходимое условие устойчивости схемы при Исследование устойчивости сводится к вычислению спектрального радиуса подстановкой сеточной функции в разностную схему и проверкой условия

Анализ устойчивости схемы “уголок” Представив решение в виде , подставив в схему и поделив на получим выражение для спектрального радиуса: Используя известные формулы + Условие устойчивости схемы “уголок” Схема условно устойчива при , т. е. ,

Сходимость Дифференциальная задача (1) Разностная задача (2) Соответствует ли решение разностной задачи точному решению дифференциальной задачи? Определение: Решение разностной задачи (2) сходится в некоторой сеточной норме к решению дифференциальной задачи (1), если для любого tn (0 tn T) имеет место: при , т. е. при измельчении сетки Для линейных уравнений имеет место следующая теорема Лакса: из аппроксимации и устойчивости следует сходимость Для анализа нелинейных уравнений используют “принцип замороженных коэффициентов”