ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ Формулы численного дифференцирования

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

Формулы численного дифференцирования Формулы для расчета производной порядка m от функции f(x) в точке x : dmf(х) /dxm получают следующим образом. 1. Берут несколько близких к точке x узлов x 1, x 2, …, xn называемых шаблоном; при этом (n m+1), точка x может быть одним из узлов. 2. Вычисляются значения yi = f (xi) в узлах шаблона. 3. Строится интерполяционный многочлен, например Ньютона 4. Берут производную от этого многочлена: dm. Pn 1/dxm Получается выражение приближенного значения производной в точке х (формула численного дифференцирования) через значения функции в узлах шаблона т. е. : (4. 1)

Анализ оценки погрешности вычисления производной показывает, что погрешность минимальна для значения x в центре шаблона и возрастает на краях. Поэтому узлы шаблона, если это возможно, выбираются симметрично относительно точки x. Так, производные первого (m=1) и второго (m=2) порядка: . (4. 2) . (4. 3)

Заметим, что из (4. 3) получается три важные формулы второго порядка точности для узлов шаблона (4. 4) (4. 5) (4. 6)

Численное интегрирование Задачи, требующие вычисления интегралов возникают практически во все областях науки и техники. Численное интегрирование – раздел вычислительной математики, занимающийся разработкой и применением методов приближённого вычисления определённых интегралов. Иногда удается найти аналитическую зависимость как комбинацию математических формул. Тогда вычисление определенного интеграла сводится к подстановке пределов интегрирования в полученную зависимость и получению требуемого результата. Если же этого не удается сделать, то исходят из геометрической интерпретации интеграла. Интеграл это площадь под кривой f (x) и осью х в указанных пределах интегрирования a, b.

Формулы численного интегрирования Формулы для вычисления интеграла получают следующим образом. Область интегрирования [a, b] раз-бивают на малые отрезки {a = x 0< x 2 < …< xm= b, hi = xi+1 – xi }, в общем случае разной длины. Значение интеграла по всей области равно сумме интегралов на отрезках . Выбирают на каждом отрезке [xi, xi+1] 4 -5 узлов и строят для каждого отрезка интерполяционный многочлен соответствующего порядка Pn-1(x). Вычисляют интеграл от этого многочлена на каждом отрезке. В результате получают формулу численного интегрирования в выбранной системе точек.

Формулы прямоугольников Функция на каждом отрезке аппроксимируется многочленом нулевой степени (константой) P 0(xk)=yk 1. Формула левых прямоугольников для m = n. где yk=f (xk); xk = x 0 + k h; k = 0, 1, …, n – 1; h = (b – a)/n.

2. Формула правых прямоугольников (4. 7) где yk=f(xk); xk = x 1 + k h; k = 1, 2, …, n; h = (b – a)/n.

3. Формула средних получается, если на каждом iтом отрезке взять один центральный узел xi+1/2 = (xi + xi+1)/2 соответствующий середине отрезка (рис. 4. 1). = ФСР. (4. 8)

Формула трапеций получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] интерполяционным многочленом первого порядка, т. е. прямой, проходящей через точки (xi, yi), (xi+1, yi+1). Площадь криволинейной фигуры заменяется площадью трапеции с основаниями yi, yi+1 и высотой h (рис. 4. 2): (4. 10)

Формула Симпсона получается при аппроксимации функции f(x) на каждом отрезке [xi, xi+1] интерполяционным многочленом второго порядка (параболой) c узлами x 2 k, x 2 k+1, x 2 k +2(рис. 4. 3). По сравнению с предыдущими способами вдвое уменьшим расстояние между узлами: h = (b – a)/(2 m = n), тогда искомый интеграл будет равен

Рис. 4. 3

Подсчитав площадь параболической трапеции: можно показать, что общий вид формулы Симпсона имеет вид: (4. 12) = ФСИ.

Схема с автоматическим выбором шага по заданной точности Один из вариантов вычисления интеграла с заданной точностью: 1) Задают первоначальное число площадок (интервалов) m и вычисляют приближенное значение интеграла S 1 выбранным методом. 2) Число площадок удваивают m = 2 m. 3) Вычисляют значение интеграла S 2. 4) Проверяют выполнение неравенства: Если выполняется |S 1 – S 2| ( – заданная погрешность), то S 1 = S 2, расчет повторяют -> переход к пункту 2. 5) Если нет, т. е. заданная точность достигнута, выполняют вывод результатов S 2 – найденное значение интеграла с заданной точностью , m – финальное число площадок.

Формула Ньютона (правило трех восьмых) Следует отметить, что в правиле трех восьмых число узлов обязательно равно 3 m + 1, то есть n = 3 m.

2. Анализ рассмотренных методов показывает, что точное значение интеграла находится между значениями ФСР и ФТР, при этом имеет место соотношение ФСИ = (ФТР 2 ФСР)/3. (4. 14) Это соотношение часто используется для контроля погрешности вычислений. Расчет начинается с m = 2 и производится по двум методам, в результате получают ФСР, ФТР. Если | ФСР – ФТР | ( – заданная погрешность), то шаг h . уменьшают вдвое (увеличивают m = m 2) и расчет повторяют. Если точность достигается, то окончательное значение интеграла получается по формуле (4. 14). При существенном уменьшении шага h начинают сказываться ошибки округления, поэтому шаг должен быть ограничен снизу некоторой величиной, (m n_предельное).

Спасибо за внимание!