Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла. Урок в 11 классе. Автор: Чипышева Людмила Викторовна
1612 г. Австрия город Линц.
«Новая стереометрия винных бочек» , 1615 г. Иоганн Кеплер (1571 – 1630)
• Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) первообразная f(x) на I) называется определенным интегралом функции f(x) от a до b. от формула Ньютона-Лейбница.
Вычисление объёмов тел. 1. Заключаем тело Т между двумя параллельными плоскостями. 2. Вводим систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна плоскостям. 3. Проводим плоскость Ф(х) параллельно плоскостям через точку с абсциссой х. 4. Определяем вид сечения и выражаем площадь через функцию S(х). 5. Проверяем, является ли функция S(х) непрерывной на [a; b].
![6. Разбиваем [a; b] на n - равных отрезков точками а = х0, х1,](https://present5.com/presentation/173146da3bebf701475e537c20fd91a2/image-6.jpg "6. Разбиваем [a; b] на n - равных отрезков точками а = х0, х1,")
6. Разбиваем [a; b] на n - равных отрезков точками а = х0, х1, х2, …хn=b и проводим через хi плоскости перпендикулярно ОХ. 7. Плоскости разбивают тело Т на n- тел Т 1, Т 2, Т 3, . . . Тn с основаниями Ф(хi) и высотой xi= (b - a)/n 8. V Vn= (S(x 1) + S(x 2) +…+ S(xn) ) xi= =(S(x 1) + S(x 2) +…+ S(xn))(b - a)/n. При n , Vn V, поэтому но 9.
Задача 1. Найти объём наклонной треугольной призмы с основанием S и высотой h. А В 1. Введём ось ОХ перпендикулярно основаниям призмы. Х 2. (АВС) OX=a, a=0, (A 1 B 1 C 1) OX=b, b=h h * 3. Проведём плоскость С B A перпендикулярно ОХ через точку с абсциссой х. * x x А 2 В 2 С 2 -треугольник, равный C основаниям. А В Площадь А 2 В 2 С 2 равна S. 0 * 1 1 1 2 2 4. S(x) непрерывна на [0; h] 5. С Ответ: V=Sh 2
АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБЪЁМОВ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛЁННОГО ИНТЕГРАЛА. 1. Ввести систему координат так, что ось ОХ перпендикулярна основанию геометрического тела. 2. Найти пределы интегрирования а и b. 3. Провести сечение плоскостью перпендикулярно оси ОХ через точку с абсциссой х. Определить вид сечения, задать формулой его площадь как функцию S(X). 4. Проверить непрерывность функции S(X) на [a; b]. 5.
Задания для групп • Группа № 1 • Группа № 2 • Группа № 3 • Группа № 4 • Группа № 5 • Группа № 6
Задачи для самостоятельного решения.
1. Металлический шар радиусом 100 мм надо перелить в цилиндр, высота которого равна 100 мм. Найдите длину радиуса основания цилиндра. 2. Стаканчик для мороженного конической формы имеет 12 см глубину и 5 см по диаметру верхней части. На него сверху положили две ложки мороженного в виде полушарий диаметра 5 см. Переполнит ли мороженное стаканчик если позволить ему растаять. 3. Инженер, рост которого 180 см пришел рассмотреть новую сферическую цистерну для хранения воды. Он забрался в пустую цистерну, и, когда он поднялся на место, находящееся в 5 м 40 см над точкой, в которой цистерна упирается на землю, его голова коснулась верхнего края цистерны. Зная, что город потребляет в час 40 тысяч литров воды, он немедленно рассчитал, на сколько часов может хватить полной цистерны. Как он это сделал и как он получил результат. 4. На полке в магазине стоят две банки земляничного варенья одного и того же сорта. Одна банка в 2 раза выше другой, но зато её диаметр в 2 раза меньше. Высокая банка стоит 23 цента, а низкая 43 цента. Какую купить выгоднее? 5. Основание прямого кругового конуса имеет диаметр 12 см, а высота конуса равна 12 см. Конус наполнили водой, затем в конус опустили шар так, что он оперся на стенки конуса. над водой при этом оказалось ровно половина шара. Сколько воды осталось в конусе после того, как шар был вынут?
Итоги урока 1. С помощью каких формул можно найти объёмы геометрических тел:
Скачать презентацию Вычисление объёмов геометрических тел с помощью определённого интеграла
173146da3bebf701475e537c20fd91a2.ppt