Вы будете уметь строить сечения тетраэдра и параллелепипеда так же быстро и правильно, как сейчас увидите…
и так Вот так
Вопросы: В плоскости какой грани лежит прямая KM? В плоскостях каких граней лежит прямая AB? 3. Плоскости каких граней пересекает прямая AB? 4. Каким плоскостям принадлежит точка X? 5. Укажите точку пересечения прямой KM и плоскости ABC. 6. K 1. 2. D По какой прямой пересекаются плоскости KMD и ABC? 7. Построить точку Y, в которой прямая LM пересекает плоскость ABC. L С В M А X 8. Выяснить взаимное расположение прямых AB и AC, LM и AB, LM и AC, AD и BC. 9. Точка Z лежит на прямой YX. Доказать, что она принадлежит плоскости ABC. 10. По какой прямой пересекаются плоскости KML и ABC?
Задача. B 1 C 1 Выяснить взаимное расположение следующих прямых: MN и AD; A 1 B 1 и AD; D 1 B 1 D и AA 1; B 1 D и AC 1. N B C M A MN и CC 1; MN и BC; A 1 B 1 C 1 и AD; D Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями ABC и A 1 B 1 C 1. Указать прямую, по которой пересекаются плоскости MNB и MNC, MNB и ABC. Построить диагональное сечение плоскостью, проходящей через точки D, A и B 1.
Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант D D K M K L X А С В В L M С X А
ВОПРОСЫ: 1. В плоскости какой грани лежит прямая KL? 2. В плоскостях каких граней лежит прямая AC? 3. Плоскости каких граней пересекает прямая BC? 4. Каким плоскостям принадлежит точка X? 5. Укажите точку пересечения прямой KL и плоскости ABC. 6. По какой прямой пересекаются плоскости KMD и ABC? 7. Построить точку Y, в которой прямая LM пересекает плоскость ABC. 8. Выяснить взаимное расположение прямых AB и BC, LM и AB, LM и BC, AB и DC. 9. Точка Z является серединой отрезка YX. Доказать, что она принадлежит плоскости ABC. 10. По какой прямой пересекаются плоскости ABC и KLМ?
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ
Определение: Сечение представляет собой многоугольник, сторонами которого являются отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
Для построения сечения достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и провести отрезки, соединяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной грани.
Требования к правильно построенному сечению: 1. Все вершины сечения лежат на ребрах многогранника. 2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника. 3. В каждой грани лежит не более одной стороны сечения. 4. Параллельные грани могут содержать только параллельные стороны сечения (объясните, почему).
Объясните, почему выделенный многоугольник не является сечением?
Пример № 1 B 1 Сторона “сечения” отрезок B 1 D не лежит в грани A D параллелепипеда
Пример № 2 L K M N В одной грани лежат две стороны “сечения”
Пример № 3 L K N M Вершина А также: “сечения” – сторона точка K “сечения” лежит в отрезока. KL грани, не не лежит в на ребре грани тетраэдра
Пример № 4 M L O K N Стороны “сечения”, лежащие в противоположных гранях параллелепипеда не параллельны
Полезные замечания для построения сечений, а также примеры любимых ошибок.
Проводим прямые только через те точки, которые принадлежат плоскости одной грани.
Проводим прямые только через те точки, которые принадлежат плоскости одной грани. Р Точка M принадлежит грани CPB L Правильно К Ошибочно M А В N С
Проводим прямые только через те точки, которые принадлежат плоскости одной грани. Р Точка M принадлежит грани CPB K Правильно L Ошибочно M А В N О С X
Пересекаем только те прямые, которые лежат в одной плоскости.
Пересекаем только те прямые, которые лежат в одной плоскости. Р L Правильно К Ошибочно X А В С
Ребро многогранника лежит в плоскостях двух граней (следовательно и любая точка на нем или его продолжении тоже). Вспомогательные точки при построении сечения могут лежать не в гранях, а в их плоскостях.
Ребро многогранника лежит в плоскостях двух граней… Например ребро DA лежит в гранях ADB и ADC, следовательно точка M, принадлежащая этому ребру тоже принадлежит этим граням. D K С Y Аналогично, ребро BC лежит в гранях CDB и ABC, следовательно точка Y, принадлежащая продолжению этого ребра тоже принадлежит плоскостям этих граней. В M А X Обратите внимание на точку X, которая принадлежит продолжению ребра BA (объясните каким из имеющихся на рисунке плоскостям она принадлежит). Она лежит вне грани многогранника , но может служить вспомогательной точкой для построения сечения.
Правила и полезные замечания для построения сечений. • Проводим прямые только через те точки, которые принадлежат плоскости одной грани. • Пересекаем только те прямые, которые лежат в одной плоскости. • Ребро многогранника лежит в плоскостях двух граней (следовательно и любая точка на нем или его продолжении тоже). • Вспомогательные точки при построении сечения могут лежать не в гранях, а в их плоскостях.
Примеры построения сечений тетраэдра.
ЗАДАЧА: построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки (в примерах обозначены буквами K, L и M).
Сечениями тетраэдра могут быть: • треугольник, • четырехугольник. (Объясните. )
Пример № 1 Построение: 1. KL в (АPB) Р 2. LM в (CPB) L 3. MK в (АРС) К ∆ KLM - искомое сечение (по построению) А В M С
Пример № 2 Построение: 1. KL в (АPB) Р 2. LM в (CPB) L 3. MK ∆ KLM – искомое сечение Далее сечение (по построению) К А В M С можно достроить двумя способами ОШИБКА! Отрезок KM не может являться стороной сечения (объясните почему).
Пример № 2 Построение (первый способ) : Р 1. KL в (АPB) 2. LM в (CPB) L LM ∩ PC в точке X 3. KX в (ACP) К KX ∩ AC в точке N А В N С M X 4. NM в (ABC) KLMN - искомое сечение (по построению)
Пример № 2 Построение (второй способ) : 1. KL в (АPB) Р 2. LM в (CPB) LK ∩ AB в точке X L 3. MX в (ABС) MX ∩ AC в точке N К 4. NK в (APC) X А В KLMN - искомое сечение (по построению) N С M
Пример № 3 Точка M принадлежит грани CPB Р Построение: 1. KL в (АPB) 2. LM в (CPB) LM∩PC в точке N L 3. NK в (АРС) К M ∆ KLN - искомое сечение (по построению) А В N С
Пример № 4 Точка M принадлежит грани AРС, Построение: точка L принадлежит грани AРВ 1. KL в (АPB) Р О L К KL∩PB в точке O выполните 2. KM в (APC) самостоятельно KM∩PC в точке N и проверьте 3. NO в (CPB) M В А N С ∆ KON - искомое сечение (по построению)
Пример № 5* Точка K принадлежит грани AРС, Р точка L принадлежит грани AРВ точка M принадлежит грани CРВ Выполните самостоятельно L К M А В С
Следующую задачу решите самостоятельно.
Самостоятельная работа 1 вариант 2 вариант Точка M принадлежит грани ADС Точка M принадлежит грани AВС D D K K L M А В M L С С
Рассмотрим примеры построения сечений параллелепипеда.
Так как параллелепипед имеет шесть граней, то его сечениями могут быть: треугольник, чет ырехугольник, пятиуг ольник, шести угольник.
Построение сечений параллелепипеда проводят так же, как и тетраэдра (только число вспомогательных точек может увеличиться).
Пример № 1 B 1 L C 1 K Построение: O A 1 D 1 N B A M запишите самостоятельно C D KLOMN - искомое сечение (по построению)
Процесс построения можно упростить, если использовать свойство параллельных сторон сечения.
Пример № 2 Построение: L B 1 1. KL в (А 1 B 1 C 1) C 1 KL ∩ A 1 D 1 в точке X K Х A 1 2. MX в (АA 1 D 1) D 1 N MX ∩ AA 1 в точке N O 3. NK в (АA 1 B 1) 4. LO ││ NM в (BB 1 C 1) B C P A M D 5. MP ││ KL в (ABC) 6. PO в (DD 1 C 1) KLOPMN - искомое сечение (по построению)
Постройте сечение по условию примера № 1 с использованием свойства параллельности сторон сечения.
При решении многих стереометрических задач необходимо уметь строить сечения многогранников, удовлетворяющие определенному условию, например, параллельности некоторой плоскости. Рассмотрим одну из таких задач.
Постройте сечение тетраэдра KLMN плоскостью, проходящей через ребро KL и середину A ребра MN. Построить другое сечение через середину P отрезка AM, параллельное ALK. N Построение первого сечения не представляет особых трудностей (запишите самостоятельно). А K P L ∆ ALK - искомое сечение (по построению) M
Построение второго сечения проводим с учетом признака параллельности плоскостей. Построение: N 1. KA в (KNM) PQ ││ AL в (MNL) 3. OQ в (KLM) L P K ││ 2. А PO Q O M ∆ OPQ - искомое сечение (по признаку параллельности плоскостей)
Задачи для решения по теме Сечения многогранников
1. Точка M лежит на ребре BС параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно плоскости BDC 1. 2. Точка M лежит на ребре AB параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Постройте сечение этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно диагональной плоскости ACC 1. 3. Постройте сечения параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостями ABC 1 и DCB 1, а также отрезок, по которому эти сечения пересекаются. 4. Через внутреннюю точку M грани AA 1 BB 1 параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведите сечение, параллельное а) плоскости основания ABCD; б) грани BB 1 C 1 C; в) плоскости BDD 1.
5. Постройте сечения параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 плоскостью BKL, где K – середина ребра AA 1, а L – середина ребра CC 1. 6. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, плоскостью, проходящей: а) через ребро CC 1 и точку пересечения диагоналей грани AA 1 D 1 D; б) через точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости AB 1 C 1. 7. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, плоскостью, проходящей через диагональ AC основания параллельно диагонали BD 1. 8. Постройте сечение параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, плоскостью, проходящей через точки B 1 и D 1 и середину ребра CD.
Задача № 9 D M А Прямая а лежит в плоскости ABC В С а Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки C и M и параллельной прямой а.
Задача № 10 B 1 C 1 F A 1 D 1 B A Прямая а лежит в плоскости ABC Е C D а Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F и E и параллельной прямой а.
Задача № 11 D M А Прямая а лежит в плоскости ABC В С а Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М и прямую а.
Задача № 12 D N M А Прямая а лежит в плоскости ABC MN ││ а В а С Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через параллельные прямые МN и а.
Задачи № 13 -16 Построить сечение параллелепипеда или тетраэдра плоскостью, проходящей через три данные точки. C 1 B 1 L A 1 B 1 D 1 K A 1 C 1 D 1 L K B B C C M A M D A D
D Точка M принадлежит грани ADС, точка L принадлежит грани ABC K D M K А В L С Точка M принадлежит грани ADB А В L M С
Скачать презентацию Вы будете уметь строить сечения тетраэдра и параллелепипеда
ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ.ppt