ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Различные

ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Различные поля тоже можно считать сплошной средой Чтобы воспользоваться уже готовым аппаратом математической физики!!! Все тела состоят из отдельных частиц, но их много в любом, существенном для нас объёме. Поэтому тело можно приближённо рассматривать как среду, заполняющую пространство сплошным образом. Это идеализация. Для чего нужно использовать понятие сплошной среды? Непрерывные функции, дифференциальное и интегральное исчисление будут очень кстати 2

Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых с помощью чисел, называемых координатами. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие пространства, в каждом из которых можно ввести единую для всех точек декартову систему координат. Такие пространства называют евклидовыми. Время может зависеть от системы отсчёта наблюдателя. Время, которое течёт одинаково для всех наблюдателей, называется абсолютным. Это тоже идеализация. 3

Основные гипотезы механики сплошной среды: • Движение сплошной среды рассматривается как континуум (гипотеза сплошности); • Все процессы происходят в евклидовом пространстве; • В нашем пространстве абсолютное время МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Механика жидкости и газа (гидромеханика) Механика твёрдых деформируемых тел 4

Гидромеханика • Механика идеальной жидкости; • Механика вязкой (ньютоновской) жидкости ; • Механика аномально вязкой (неньютоновской) жидкости ; • Механика турбулентных течений; • Механика фильтрационных течений Механика твёрдых деформируемых тел • Теория упругости; • Теория пластичности; • Теория ползучести; • Теория прочности; • Механика разрушения • Механика сыпучих тел; 5

ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В СПЛОШНОЙ СРЕДЕ Плотность распределения – количество характеристики, приходящееся на единицу объёма или площади поверхности Функция координат и времени r, t , которая будучи умножена на элементарный объём ΔV (элементарную площадку ΔA), количественно отразит рассматриваемую гидромеханическую характеристику этого объёма (площадки) 6

- плотность распределения кинетической энергии Если рассматриваемая величина - вектор - плотность распределения количества движения 7

B(t) – общее количество гидромеханической характеристики объёма V в момент времени t, r, t - плотность распределения этой характеристики Количество рассматриваемой гидромеханической характеристики в пределах i – го элементарного объёма будет равно - координаты любой внутренней точки объёма 8

- общее количество характеристики, относящееся к объёму V; Элементарный объём бесконечно малая величина Плотность жидкости – плотность распределения массы в пространстве Массу объёма можно представить 9

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 1. ТЕКУЧЕСТЬ Если на твёрдое тело действуют малые неразрушающие силы, то они незначительно меняют его форму, т. е. относительное положение его частей. Многие тела обладают двойственными свойствами (стекло, простоявшее 100 -150 лет, вода при ударе) Если под действием сколь угодно малых внешних сил тело деформируется неограниченно, пока внутренние касательные напряжения не станут равными нулю, то в этом случае реализуется свойство называемое ТЕКУЧЕСТЬЮ 10

Из молекулярного строения вещества следует: Ш Расположение молекул в пространстве носит упорядоченный характер. Ш Колебания молекул жидкости могут приводить к перескакиванию молекул из одного места ячейки в другое. Текучесть тела определяется характерным временем tr нахождения молекулы в каждой ячейке с момента попадания в неё до момента перескакивания в другую ячейку 11

Если время нахождения молекулы в ячейке много меньше времени действия силы, то за период действия последней молекулы могут многократно изменить своё положение в пространстве (сила непрерывно и необратимо деформирует тело, т. е. ведёт себя как текучая среда). В противном случае мы имеем дело с твёрдым телом 12

2. СЖИМАЕМОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ Связь между изменением объёма и давлением - линейна коэффициент объёмного сжатия модуль объёмной упругости Для воды при Т = 293 К ЕV = 2 109 Па 20000 кгс/см 2 13

ПРИМЕР Пусть на воду помимо атмосферного давления (Ра =101325 Па или 1. 033 кгс/см 2), дополнительно действует такое же давление. При этом объём воды уменьшится приблизительно на 1/20000 (практически это заметить невозможно). СЛЕДОВАТЕЛЬНО: воду и другие жидкости можно считать НЕСЖИМАЕМЫМИ и принимать их плотность постоянной, не зависящей от давления. 14

Для газа эффективно используется модель идеального газа, характеризуемая уравнением Клапейрона Менделеева или R – газовая постоянная, не зависящая от плотности и температуры, но различная в зависимости от природы газа (для воздуха R = 287 Дж/кг. К Найдём плотность воздуха при атмосферном давлении и температуре окружающей среды равной 20 С: 15

Из этого уравнения следует закон Бойля – Мариотта, который устанавливает изотермическую связь между давлением и плотностью: для заданного объёма газа при постоянной температуре Для адиабатического процесса (отсутствует теплообмен между выделенным объёмом газа и окружающей средой) характерна зависимость: адиабатическая постоянная газа; 16

ОТЛИЧИЕ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ ОТ МЕХАНИКИ ГАЗА 1. Газ легко сжимается, скорость распространения в нём звука и всех механических возмущений значительно меньше, чем в жидкости 2. Жидкость имеет свободную поверхность. В невесомости эта поверхность представляет собой сферу (соседние молекулы жидкости находятся в постоянном взаимодействии) 3. В газе молекулы взаимодействуют друг с другом только в момент столкновения. Газ равномерно распространяется по замкнутой части пространства. В незамкнутом пространстве, объём газа может неограниченно возрастать В жидкости давление уменьшается до определённого значения, после которого начинается образование пузырьков и начинаются фазовые переходы. То же самое возникает и при повышении температуры 17

3. ВЯЗКОСТЬ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ. РЕОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ Свойство текучей среды, заключающееся в возникновении в ней внутренних сил, препятствующих её деформации, т. е. изменению относительного положения её частей, называется ВЯЗКОСТЬЮ 18

Вязкие напряжения в жидкостях и газах Рассмотрим простое сдвиговое течение Элементарная площадка ΔхΔу поверхности движется вместе с жидкостью. Слой жидкости 1 скользит по слою 2 с относительной скоростью Δuх. Молекулы газа участвуют в 2 -х видах движения: • упорядоченное продольное движение со скоростью uх или (uх + Δuх) в зависимости от того, в каком слое они находятся; • хаотическое тепловое движение (скорость на два порядка выше, чем в упорядоченном) 19

Вязкость газа обусловлена переносом количества движения из одного слоя в другой, которое появляется из-за разности скоростей этих слоёв. Хаотическое движение молекул из слоя 1 в слой 2 сопровождается пересечением площадки ΔхΔу. При этом один слой ускоряется, другой – замедляется. Вводя модель сплошной среды, приходим к выводу, что на площадке ΔхΔу действует касательное напряжение, которое компенсирует перенос количества движения, обусловленный тепловым движением молекул Касательное напряжение (согласно молекулярнокинетической теории) - динамический коэффициент вязкости (динамическая вязкость газа ); т. е. это гидродинамическая характеристика, определяемая физическими свойствами текучей среды 20

растёт скорость хаотического движения молекул растёт температура ГАЗ 1. увеличивается перенос количества движения из одного слоя в другой; 2. Увеличивается касательное следовательно растёт число молекул, пересекающих в единицу времени площадку ΔхΔу напряжение рzx 21

Это означает, что с увеличением температуры динамический коэффициент вязкости газа возрастает. В ЖИДКОСТИ Основной причиной воздействия одного слоя на другой (переноса количества движения) является взаимодействие молекул, расположенных по разные стороны границы между слоями (не перенос молекул через границу!) Динамический коэффициент вязкости жидкости с увеличением температуры уменьшается Закон Ньютона для вязких напряжений - касательные напряжения связывают с изменчивостью поля скорости 22

Размерность динамического коэффициента вязкости Размерность выражается через размерности напряжения Па и времени с. Иногда в качестве единицы используют г/см с, которая называется пуаз (в честь французского врача А. Пуазейля, выполнившего фундаментальные исследования движения вязкой жидкости) и обозначается П: Па с = 10 П. Характеризует перенос количества движения поперёк потока слоёв текучей среды, которое пропорционально скорости uх и плотности текучей среды 23

закон Ньютона целесообразно представить в форме где Ввиду того, что в размерность входят только метры и секунды (и не входит размерность массы), эту величину называют кинематическим коэффициентом вязкости (или кинематической вязкостью). Размерность см 2/с называется стокс (в честь английского гидромеханика Дж. Стокса, который сформулировал дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости), и обозначается Ст: 1 Ст = 10 -4 м 2/с. 24

Наука о характере зависимости называется реологией (греч. течь, учение) Рис. 1. 4. Реологические законы в жидкостях: 1 ньютоновская жидкость; 2 бингамовский пластик; 3 псевдопластическая жидкость; 4 дилатантная жидкость 25

ГИДРОСТАТИКА. ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ Раздел гидромеханики, в котором изучают жидкости, находящиеся в условиях равновесия (покоя) Из определения текучести следует: Гидростатическое давление: а – в точке сплошной среды; б – на поверхности произвольной формы В состоянии покоя в жидкости и газе касательные напряжения равны нулю, а в каждой точке произвольно ориентированной в пространстве площадки действуют только нормальные напряжения. 26

Рассматривается произвольная площадка (рис. а), имеющая единичный вектор нормали n = (nx, ny, nz) Поскольку вектор напряжений на этой площадке рn параллелен n, то можно записать где рnn – проекция рn на нормаль к площадке; pnn = pn 27

То есть, значение нормального напряжения в фиксированной точке покоящейся жидкости не зависит от ориентации площадки В гидростатике напряженное состояние жидкости характеризует взятое со знаком плюс нормальное напряжение (которое на всех произвольно ориентированных площадках в данной точке имеет одинаковое значение) Величина нормального напряжения, являющаяся частным случаем гидродинамического давления, называется гидростатическим давлением и обозначается через р: 28

Матрица тензора напряжений в условиях покоя текучего тела Обозначим тензорную единицу через Е, тогда тензор напряжения в покоящейся жидкости можно представить как П = – р. Е. Напряжённое состояние в покоящейся жидкости определяется величиной р, поэтому его характеризуют не тензором П, а считают, что оно полностью описывается величиной гидростатического давления, которое можно рассматривать как скаляр 29

Сила гидростатического давления F, действующая на малую площадку А, – это вектор, направленный со стороны жидкости по нормали к этой площадке (такая нормаль обычно называется внутренней и её вектор равен (-n)): Если давление на площадке конечных размеров А зависит от координат, то сила давления на эту площадку определяется по формуле: 30

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕКУЧЕГО ТЕЛА (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА) Пусть Плотность распределения массовой (объёмной) силы обозначим давление в жидкости. Рассмотрим равновесие куба с бесконечно малыми рёбрами dx, dy, dz под действием объёмных и поверхностных сил. Приравняем к нулю сумму проекций на ось х всех сил, действующих на куб. 31

Объёмная сила, действующая на куб, будет иметь проекцию на ось х, равную Поверхностные силы на грани, осям y и z, дают нулевую проекцию на ось х, ( касательные напряжения в условиях гидростатики равны нулю). В пределах куба считаем, что в разложении р(х, у, z) в ряд Тейлора можно принять в расчёт лишь члены, линейно зависящие от приращения координат. Обозначим давление на левую грань куба, оси х, через р(х, у, z), при этом на правой грани давление будет равно 32

Будем считать эти грани элементарными площадками в отношении давления проекция на ось х силы давления на левую грань проекция на ось х силы давления на правую грань р dy dz, Сумма проекций всех поверхностных сил на ось х Приравняем 0 сумму проекций поверхностных и объемных сил на ось х 33

Делим все слагаемые на dx dy dz Cистема дифференциальных уравнений равновесия текучего тела (уравнений гидростатики Эйлера) Введём единичные векторы i, j и k, соответствующие координатным осям х, у и z: 34

35

ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА Пусть вектор f имеет потенциал, то есть, существует такая функция U(x, у, z), что для однородной несжимаемой жидкости (р = const) ИМЕЕМ интегрирование Общая форма интеграла уравнений гидростатики, когда объемные силы имеют потенциал. 36

Если внешние объемные силы не имеют потенциала, то в поле таких сил жидкость не может находиться в состоянии покоя Внешняя объемная сила тяжести В декартовой системе координат ось z направлена вверх. Потенциал силы тяжести Закон распределения гидростатического давления в поле силы тяжести 37

р0 давление на свободной поверхности, или поверхностное давление. Найдём форму свободной поверхности из условия, что на ней р = р0 = const. Такая поверхность, координаты которой обозначим через z 0, представляет собой горизонтальную плоскость: Абсолютное давление ( р. А) в точке М абсолютное давление рв = h весовое давление (давление, обусловленное весом жидкости) 38

Если РА > Ра, то избыточным давлением ри называется превышение давления в точке над атмосферным: ри = р. А– ра Если на свободную поверхность действует атмосферное давление, то весовое давление в жидкости равно избыточному, и абсолютное давление в любой точке внутри жидкости можно записать в виде ра = Р 0 + Рв = Ра + h = Ра + Ри При условии РА < ра недостаток давления в точке до атмосферного называется вакуумом: 39

КИНЕМАТИКА ТЕКУЧЕГО ТЕЛА. МЕТОДЫ ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В теоретической механике для полного описания движения материальной точки необходимо знать уравнение движения: r = r(t), где r ≡ (x, y, z) радиус-вектор точки. – Чтобы найти скорость точки 40

Ускорение материальной точки определяется зависимостью Ускорение материальной точки а входит во второй закон Ньютона, согласно которому сила F, приложенная к материальной точке массой m, придаёт ей ускорение а в соответствии с равенством При изучении движения сплошной среды можно выделить бесконечно малые объёмы, для которых положение в пространстве характеризуется тремя координатами или величиной одного радиусвектора r = (х, у, z), и рассматривать движение сплошной среды как движение совокупности взаимно связанных и взаимодействующих 41 бесконечно малых (точечных) объёмов. 41

Метод Лагранжа Координаты начального (t = t 0) положения каждой точки сплошной среды Для полного описания движения СС необходимо знать траектории движения всех частиц (положение каждой частицы в любой момент времени) Для каждой частицы надо знать уравнение её траектории Одну частицу от другой отличает начальное положение частицы. Величина r 0 в уравнении траектории жидкой частицы параметр: 42

Характеристики сплошной среды (скорость, плотность, давление и т. п. ), связанные с движущимися элементарными объёмами сплошной среды, как и координаты этого объёма, называют лагранжевыми переменными. Лагранжевы координаты это параметры, которые характеризуют каждую точку среды и не меняются в процессе 1. Вычисляем скорость и ускорение каждой частицы; 2. Определяем величину внешних (поверхностных и объёмных) сил, действующих на каждую частицу; 3. Записываем уравнения движения для сплошной среды. 43

Метод Эйлера Фиксируем точки пространства, через которые проходят в разные моменты времени различные элементарные объёмы жидкости, (жидкие частицы). В точках определяются значения скорости движения сплошной среды. Т. о. , средством описания движения сплошной среды является поле скорости движения жидких частиц в фиксированных точках пространства: Характеристики сплошной среды, отнесённые к фиксированным неподвижным элементам геометрического пространства (точкам, линиям, поверхностям, объёмам), и сами эти элементы называют эйлеровыми переменными 44

Чем метод Эйлера удобнее метода Лагранжа? 1. Наблюдать за движущимися фиксированными жидкими частицами сложнее, чем за характеристиками движения сплошной среды. 2. Соответствующие методу Эйлера уравнения проще для анализа. в методе Лагранжа это искомые функции времени; в методе Эйлера пространственные координаты независимые переменные, декартовы координаты пространства, в котором перемещается сплошная среда. Искомыми переменными являются скорость и давление. 45

В методе Лагранжа ускорение, которое входит в уравнение второго закона Ньютона, определяется как и в теоретической механике: второй производной пути по времени. В методе Эйлера ускорение и другие гидромеханические величины, которые меняются вместе с движением объёма жидкости, выражаются через специальный вид производной, которая определённым образом связана с полем скорости. Вместе с тем эта производная должна быть связана с движением частиц жидкости или газа (субстанции) Такую производную называют полной или субстанциальной 46

Пусть некоторая точка сплошной среды в момент t находится в точке М пространства, а в момент t + t в точке M´. r малое направленное перемещение индивидуальной точки сплошной среды за время t (приращение радиус-вектора рассматриваемой точки сплошной среды). Предел отношения двух соответствующих бесконечно малых количеств r и t при t 0 (в случае неевклидова пространства) или частная производная радиуса-вектора точки сплошной среды относительно системы отсчёта по времени (в случае евклидова пространства) НАЗЫВАЕТСЯ СКОРОСТЬЮ ТОЧКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 47

Радиус-вектор r зависит в общем случае от трёх параметров x, y, z , индивидуализирующих точку сплошной среды, и времени t Скорость вычисляется для индивидуальной точки сплошной среды, т. е. при фиксированных x, y, z , поэтому и берётся частная производная от r по t: Бесконечно малое перемещение точки сплошной среды можно разложить по векторам базиса, взятым в точке М: r = x i + y j + z k, где x, y, z являются компонентами перемещения r. Или, переписывая в обобщённом и сокращённом виде, будем иметь r = xi еi = xi еi

Поделив на элемент времени t, соответствующий перемещению точки сплошной среды из точки М в точку M´ пространства наблюдателя, и взяв предел при t 0 , получим по определению скорость точки сплошной среды откуда 49

Скорость и её компоненты зависят от x, y, z, t: vx = vx (x, y, z, t), проекции скоростей и ускорений точек среды на обобщённые оси координат хi vy = vy (x, y, z, t), vz = vz (x, y, z, t). Таким образом, в методе Эйлера задаются перемещение, скорость, ускорение в точке пространства (неподвижная система отсчёта), мимо которой в данный момент проходят частицы среды как функции координат точек пространства xi и времени t: ui = ui (x 1, x 2, x 3 , t); аi = ai (x 1, x 2, x 3 , t) vi = vi (x 1, x 2, x 3 , t); 50

Переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера У нас всё известно о среде с точки зрения Лагранжа, мы имеем и закон движения в соответствующей форме: 2. Подставить это в выражения по Эйлеру: Чтобы перейти к переменным Эйлера НЕОБХОДИМО: 1. Разрешить уравнения относительно i i = i(x 1, x 2, x 3 , t) или 51

Для перехода от переменных Эйлера к переменным Лагранжа Для начальных условий при t = 0: 1. Получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно хi или 52

подставим 2. Решая эту систему, определим хi = хi(С 1, С 2, С 3, t), где С 1, С 2, С 3 постоянные, определяемые по хi при t = t 0; получим Лагранжевы координаты 53

Ускорение и его вычисление по скорости Ускорение – это скорость изменения скорости индивидуальной частицы. Если скорость задана по Лагранжу, т. е. Если скорость задана по Эйлеру, то в индивидуальной частице 54

по формуле дифференцирования сложной функции Окончательная формула по Эйлеру будет выглядеть Это полная (материальная) производная скорости по времени, индивидуальная производная по времени, субстанциальная производная 55

производная по времени при xi = const – изменение скорости по времени в данном месте пространства – локальная производная по времени (по Эйлеру) если =0 то движение установившееся (стационарное): В декартовых координатах в проекциях 56

РЕЗЮМЕ: если функция задана в переменных Эйлера: = (x 1, x 2, x 3, t), 1. Перейти к переменным Лагранжа; 2. Воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции, в результате чего получим Производная называется полной производной (индивидуальной, субстанциальной) и характеризует изменение плотности данной частицы сплошной среды в единицу времени 57

ЛИНИЯ ТОКА И ТРАЕКТОРИЯ Кривая, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной к ней НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНИЕЙ ТОКА В ПОЛЕ СКОРОСТИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Траектория это путь индивидуальной частицы (лагранжева характеристика) В фиксированный момент времени линии тока никогда не пересекаются друг с другом, за исключением особых точек Линия тока является эйлеровой характеристик ой потока 58

Обозначим элементарный вектор, касательный к линии тока, вектор коллинеарен , тогда дифференциальные линии тока можно записать в виде Таким образом, (при t = const) 59

Установившееся движение Неустановившееся движение 60

ВЕКТОРНЫЕ ЛИНИИ Семейство линий, касательные к которым совпадают с направлением вектора, называются ВЕКТОРНЫМИ ЛИНИЯМИ В случае поля скоростей векторные линии называют ЛИНИЯМИ ТОКА Если через каждую точку произвольной кривой, не совпадающей с линией тока, провести линию тока, то получим поверхность тока А какой должна быть кривая, чтобы образовалась трубка тока? Замкнутой! 61

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ ТОКА где d - скалярный ПАРАМЕТР; (i = 1, 2, 3); t - ПАРАМЕТР; Траектории движения частиц сплошной среды t - переменная величина 62

Линии тока не совпадают с траекториями А могут ли совпасть? В принципе? Бывает… При установившихся движениях…(так как между двумя последними уравнениями нет отличия). . . И при неустановившихся, когда поле скоростей меняется по величине и не меняется по направлению Аналитически семейство линий тока можно найти из условия коллинеарности элемента взятого вдоль линии тока, и вектора скорости 63

Если любая скалярная величина задана как функция переменных Эйлера, то в каждый момент времени можно рассматривать поверхность Линии тока f (x 1 , x 2 , x 3 , t ) = const, которая называется поверхностью равного уровня или эквипотенциальной поверхностью Траектории 64

ЧТО ТАКОЕ ГРАДИЕНТ? Вектор направленный по нормали в какой-либо точке М эквипотенциальной поверхности в сторону роста и равный по величине называется вектором - градиентом скалярной функции в точке М единичные векторы по направлению нормали и вдоль координатных осей 65

Проекция вектора grad на некоторое направление определяет изменение плотностей в этом направлении: - угол между выбранным направлением и нормалью; Cos I – направляющие косинусы вектора Наибольшее изменение плотности происходит в направлении, нормальном к поверхности f (x 1 , x 2 , x 3 , t ) = const 66

ПОТОК ГИДРОМЕХАНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ Лагранж выделенный движущийся объём жидкости (текучего тела), сохраняющий при своём движении все составляющие его части (жидкие частицы) Эйлер - выделенная часть пространства - контрольный объём, ограниченный контрольной поверхностью, сквозь которую течёт сплошная среда. Поток гидромеханической характеристики - это количество характеристики, проносимой жидкостью в единицу времени сквозь фиксированную поверхность. 67

Объём жидкости, протекающей в единицу времени через площадку d. A Количество гидромеханической характеристики В, которая проносится жидкостью за единицу времени через площадку d. A: 68

Поток QB гидромеханической характеристики В через контрольную поверхность (количество характеристики, проносимое жидкостью за единицу времени через поверхность А) гидромеханической характеристикой является объём жидкости Объём жидкости, протекающий через контрольную поверхность за единицу времени, или поток объёма жидкости называется объёмным расходом Q: Массовый расход 69

поток Qk кинетической энергии через контрольную поверхность поток количества движения QI 70

плотности потоков объёма, массы, кинетической энергии, количества движения Если в поле скорости u (или любой другой векторной величины) мысленно провести некоторую поверхность S и в каждой точке её задать нормаль , то для определения объёма жидкости, протекающей за единицу времени сквозь поверхность S, необходимо вычислить интеграл: 71

Поток скорости сквозь замкнутую поверхность S, отнесённый к единице объёма V, заключённого внутри S, называется расхождением или дивергенцией скорости, Дивергенция скорости определяет скорость объёмного расширения жидкости в бесконечно малой окрестности данной точки. Поэтому поток скорости через замкнутую поверхность s должен быть равен расширению всего объёма v жидкости внутри s, то есть формула Гаусса 72

ГИДРОМЕХАНИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРЕМЫ ОСТРОГРАДСКОГО ГАУССА Неподвижная контрольная поверхность А, ограничена объёмом V скорость жидкости, движущейся через поверхность единичный вектор нормали к площадке 73

скалярное произведение двух векторов или нормальная к поверхности составляющая скорости объёмный расход жидкости через поверхность А 74

по теореме Остроградского - Гаусса расход жидкости через поверхность ΔАi объём жидкости, втекающий в параллелепипед объём жидкости, вытекающий из параллелепипеда 75

Для несжимаемой жидкости div u = 0 уравнение несжимаемости 76

Для произвольного объёма V , ограниченного произвольной поверхностью А 77

ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ. ВИХРЬ ВЕКТОРА СКОРОСТИ В поле мысленно проведём замкнутый контур L, ограничивающий некоторую поверхность S циркуляция скорости вихрь или ротор скорости единичные векторы, направленные соответственно по касательной к L и по нормали к поверхности S 78

При движении элементарного объема жидкости существует два вида движения поступательное движение твердого тела со скоростью полюса и вращение его вокруг полюса. Вращение жидкого объёма вокруг полюса описывается тензором из шести составляющих, и только три из них отличаются по абсолютной величине. Каждая составляющая определяет значение мгновенной угловой скорости вращения вокруг оси, параллельной одной из координатных осей x, y, z, которые можно рассматривать как проекции на соответствующие координатные оси вектора , определяющего угловую скорость вращения элементарного объема жидкости при его перемещении в трехмерном пространстве 79

вектор ω в матричной форме вихрь вектора или вихрь скорости 80

поле скорости все остальные составляющие тензора grad u равны 0 мгновенная угловая скорость В том случае, когда все проекции скорости могут быть определены одной функцией х1, х2, х3, t в виде поле скоростей потенциальное, а функция потенциал скорости. то есть = grad , то говорят, что 81

Проекция скорости vl на любое направление l определяется производной d dl Необходимым и достаточным условием существования потенциальных течений являются равенства Следовательно, безвихревое течение жидкости потенциально 82

ПОЛЯ В ГИДРОМЕХАНИКЕ Изучая движение жидкости как сплошной среды, мы рассматриваем поля различных физических величин: скорости, плотности, давления и т. д. Такие поля называют материальными полями. Математически они описываются системой функций от координат и времени. В общем случае мы рассматриваем трёхмерные пространственные поля, в упрощенном виде двумерные (плоские) или одномерные. Если физические величины не зависят от времени, то поле называют стационарным, в противном случае нестационарным. 83

ПОЛЕ совокупность значений той или иной величины, заданной в каждой точке рассматриваемой области; ПОЛЕ называется скалярным, если рассматриваемая величина - скаляр ( давление Р, плотность , температура Т); Основное свойство скалярной функции а(х1 , х2 , х3) – постоянство численного значения при преобразовании координат. Если перейти от старой х1 , х2 , х3 к новой х 1 , х 2 , х 3 системе координат, то значения плотности или температуры в фиксированной точке пространства, не изменяются: а (х 1 , х 2 , х 3) = а (х1 , х2 , х3). 84

Векторным называют поле, которое в каждой точке пространства характеризуется величиной и направлением (поле скоростей жидкости). Вектор в пространстве трёх измерений может быть задан тремя компонентами: а 1(х1 , х2 , х3), а 2(х1 , х2 , х3), а 3(х1 , х2 , х3), т. е. тремя функциями от трёх переменных. а матрица - столбец 85

В результате вращения осей координат как единого целого вокруг начала координат, мы перешли к новой системе координат Ox 1´x 2´x 3´. Косинус угла между осями xi и x´k старой и новой системы ik = cos (x´i^xk) Таблица х1 х2 х3 х´ 1 12 13 х´ 2 21 22 23 х´ 3 31 32 33 86

Введём новую декартову систему координат с тем же началом, но с другим направлением осей. Пусть lij - направляющий косинус оси x j относительно оси xi (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Вычислим проекции того же вектора на новые оси координат: a 1 = l 11 a 1 + l 21 a 2 + l 31 a 3; a 2 = l 21 a 1 + l 22 a 2 + l 23 a 3; a 3 = l 31 a 1 + l 32 a 2 + l 33 a 3; Следовательно, вектор подчиняется определённому закону преобразования его компонент. То есть, сам вектор не меняется в новых координатах, а меняются его компоненты. 85 87 13

Пусть каждому направлению соответствует вектор (не обязательно коллинеарный n). Направлениям осей соответствуют векторы , разложение которых опишем подробно: Если векторы для любого направления выражаются лишь через 3 вектора согласно формуле то множество векторов образует тензор Т. 88

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТВЁРДЫХ СРЕДАХ СИЛЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ТЕКУЧЕЕ ТЕЛО Внешние силы Внутренние силы возникают в результате взаимодействия рассматриваемого тела с другими телами. Такие силы могут вызвать изменение количества движения и кинетической энергии выделенного объёма. Типичным примером внешней силы для объектов, находящихся вблизи поверхности Земли, является сила тяжести. взаимодействия элементов тела и не меняют количество движения этого объёма(каждая внутренняя сила уравновешивается равной ей по модулю внутренней силой, имеющей противоположное направление). возникают в результате Работа внутренних сил может изменить кинетическую и (или) потенциальную энергию рассматриваемого объёма тела. (сила давления, действующая на поверхность, построенную внутри выделенного объёма жидкости; сила трения между слоями движущейся жидкости. 89

Характеристикой поверхностной силы на заданной поверхности является плотность её распределения, которую при использовании модели сплошной среды называют напряжением. Напряжение величина векторная Напряжение в данной точке фиксированной поверхности обычно проектируют на нормаль к ней и на касательную плоскость, при этом различают Нормальные напряжения Касательные напряжения 90

НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ Часть 1 Часть 2 Среднее напряжение Обозначим произвольную малую часть поверхности АВ, содержащую точку М, через ААВ; на неё будет действовать сила FAB. Вектор напряжения 91

Таким образом, вектор напряжения (плотности распределения поверхностной силы) на поверхности, проходящей через данную точку, зависит от ориентации этой поверхности рух проекция вектора напряжения ру на ось х; рхх, руу, рzz нормальные напряжения; рху, рхz, рух, рzу касательные напряжения 92

три грани перпендикулярны осям координат х, у, z, а ориентация четвёртой грани АВС определяется единичным вектором нормали n, имеющим проекции на координатные оси : площади граней пирамиды, ортогональных осям х, у, z, обозначим соответственно Ах, Ау, Аz , площадь грани АВС обозначим Аn , а напряжение на ней pn 93

приравняем нулю сумму проекций на ось х всех поверхностных сил, действующих на пирамиду АВСМ проекция вектора pn на ось х проекция вектора pn на ось y проекция вектора pn на ось z вектор напряжений на грани АВС: 94

зная три вектора напряжений на взаимно ортогональных площадках и используя уравнения статики, можно найти напряжение на произвольно ориентированной площадке. Следовательно, три вектора напряжений полностью характеризуют напряжённое состояние в данной точке пространства. Напряжение в точке сплошной среды 95

Линейный инвариант тензора Гидромеханическое давление – скалярная величина Единица напряжения - паскаль 96

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ. КОЭФФИЦИЕНТ ПУАССОНА Произвольную деформацию тела можно свести к двум элементарным деформациям растяжению (сжатию) и сдвигу относительное удлинение растяжение; сжатие 97

поперечное сжатие отношение к приблизительно одинаково для разных деформаций одного и того же материала коэффициент Пуассона Каково численное значение коэффициента Пуассона ? объём резинового шнура при отсутствии деформации 98

объём деформированного шнура пренебрегаем величинами второго порядка малости относительное изменение объёма при растяжении ( > 0) объем никогда не уменьшается 99

Для изотропных материалов, имеющих одинаковые механические свойства по всем направлениям деформация сдвига и одни и те же для всех деформация резинового кубика элементарных объемов резинового шнура, т. е. это одномерные однородные деформации напряжения и сдвига ( деформации вдоль одного направления) 100

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ ЗАЧАСТУЮ деформации неоднородны (меняются от точки к точке) и не одномерны (в некоторой точке P деформации описываются тремя деформациями растяжения 11, 22, 33 маленького кубика с т. P внутри и двумя сдвигами каждой из трех граней кубика: 12, 13; 21, 23; 31, 32. Неоднородные деформации в каждой точке тела в общем случае характеризуются набором 9 величин деформаций, являющихся функциями координат. Эти девять величин составляют тензор деформаций. первый индекс i означает, что грань кубика перпендикулярна оси Xi, второй индекс j означает, что грань смещается вдоль оси Xj. 101

Положение каждой из частиц задаётся радиусом-вектором r относительно некоторой системы координат Смещение каждой точки можно охарактеризовать вектором смещения u(x 1, x 2, x 3), Деформации в точке будут определены лишь тогда, когда будет известно смещение соседних с точкой P частиц тела. Таким образом, задание смещения всех частиц тела полностью определяет его деформацию. 102

Рассмотрим две бесконечно близкие точки P(x 1, x 2, x 3) и P'(x 1+dx 1, x 2+dx 2, x 3+dx 3), имеющие смещения u(x 1, x 2, x 3) и u′ = u(x 1+dx 1, x 2+dx 2, x 3+dx 3). взаимное расположение точек в недеформированном состоянии новое взаимное расположение в результате деформаций если u′ = u, то деформации в точке P отсутствуют возведем последнее выражение в квадрат и будем оперировать модулями векторов 103

0 (du dℓ) проекции вектора du представим в виде сумм Приращение каждой из трех проекций вектора смещения при переходе из точки P в точку P' содержит три слагаемых, каждое из которых есть произведение производной функции ui в точке P на приращение соответствующего аргумента dxj. 104

тензор деформаций для каждой точки тела Р существуют свои три главные оси, относительно которых формула имеет наиболее простой вид 105

dℓ и dℓ‘ длины диагоналей элементарных квадратика и прямоугольника. X 1 и Х 2 направлены вдоль ребер элементарных ячеек (ось Х 3 перпендикулярна плоскости чертежа). При произвольных деформациях главные оси в любой точке Р должны быть направлены параллельно ребрам элементарного прямоугольного параллелепипеда, который при деформации остается прямоугольным параллелепипедом. Деформации сдвига относительно главных осей координат отсутствуют. 106

Связь между деформациями сдвига и недиагональными компонентами тензора деформаций Физический смысл диагональных компонент U 11, U 22 и U 33 Относительное удлинение каждой из граней призмы равно соответствующей диагональной компоненте тензора деформаций. 107

Длины прямоугольника в направлении главных осей X 1 и X 2 108

Относительные удлинения Объём элементарного параллелепипеда 109

Относительное изменение объёма при малых деформациях При сдвиге объем тела не меняется. Поэтому при деформациях сдвига сумма диагональных компонент тензора деформаций (иногда употребляют термин "след тензора"), приведенного к главным осям, равна нулю. 110

УПРУГОСТЬ И ИЗГИБ При деформациях возникают внутренние напряжения, силы которых зависят не только от деформаций, но и от скоростей, с которыми эти деформации происходят Силы деформации, подобно силам вязкого трения, возрастают по мере увеличения скорости деформации Тела, в которых силы напряжения определяются только деформациями, называются абсолютно упругими телами, или упругими телами Такие тела полностью восстанавливают свою форму после снятия внешних усилий, прикладываемых к телу 111

При последовательном возрастании нагрузки вначале деформации развиваются равномерно по длине стержня и растут пропорционально нагрузке - коэффициент удлинения Величина обратная коэффициенту удлинения носит название модуля Юнга нормальное напряжение в торцевом сечении стержня Е = -1 112

При растягивании стержня, последовательно увеличивая силу от нуля, каждый раз после снятия нагрузки, деформация исчезает. При некотором напряжении у появляется заметное остаточное удлинение. Это напряжение y называется пределом упругости. Закон Гука выполняется только в части области упругости области пропорциональности, когда Диаграмма растяжений При возрастании нагрузки наблюдается явление текучести, т. е. внезапный рост удлинения образца при постоянной нагрузке т , называемой пределом текучести. 113

При напряжении м (предел прочности) в ослабленном сечении (шейке) происходит разрыв За пределами области текучести удлинение стержня сопровождается увеличением , и неодинаковым распределением деформаций по его длине. Напряжение, которое материал может выдержать на практике, не разрушаясь и не получая опасной деформации, называют допустимым 114

Наибольшие деформации, которые может выдержать материал, не зависят от протяженности области текучести Если область текучести велика, то материал называется пластичным. Если область текучести невелика, то материал называется хрупким. В области пропорциональности связь между деформациями сдвига и касательным напряжением задается соотношением G модуль сдвига 115

Характеристики упругости и прочности некоторых материалов Материал Модуль упругости E Модуль сдвига G Предел пропорцио нальности П Предел текучести Т Предел прочности при растяжении М 1, 3. . . 1, 6 1, 8. . . 2, 6 3, 3. . . 4, 0 Сварочная сталь 2000 770 Пружинная сталь незакале нная 2200 850 5, 0 и выше - до 10 и выше Пружинная сталь закаленн ая 2200 850 8, 5 и выше - до 17 Медь 1100. . . 1300 415. . . 440 - 0, 7 22 Серый чугун 750. . . 1050 290. . . 400 - - 1, 2. . . 2, 4 Свинец 140. . . 180 55. . . 80 - 0, 05 0, 14. . . 0, 18 116

Предел пропорциональности п на 2 3 порядка меньше модуля упругости, поэтому в области упругости деформации у 10 -3 10 -2. Между величиной модуля Юнга E и модуля сдвига G существует жёсткая связь чем больше E, тем больше G. 117

Если кубик, растягивать одновременно силами, приложенными ко всем его граням, то относительные удлинения каждой из его сторон будут задаваться соотношениями: Деформации кубика при его всестороннем растяжении (сжатии) Если напряжения одинаковы, ( 1 = 2 = 3 = ), то деформации также будут одинаковы: ( 1 = 2 = 3 = ) 118

В результате всесторонней деформации объём кубика станет равным относительное изменение объёма составит величину . модуль всестороннего сжатия Хрупкие материалы, подвергнутые всестороннему давлению, на которое дополнительно накладывается растяжение, сжатие или сдвиг, обнаруживают значительные пластические деформации 119

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ТВЁРДЫХ СРЕДАХ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ГЕОДИНАМИКИ v НАПРЯЖЕНИЯ - это силы, приходящиеся на единичную площадь и распространяющиеся через среду благодаря межатомным взаимодействиям. v Напряжения, которые передаются перпендикулярно к поверхности, называются НОРМАЛЬНЫМИ. v Напряжения, которые распространяются параллельно поверхности, называются СДВИГОВЫМИ. v ДАВЛЕНИЕ - это среднее значение нормальных напряжений. v НОРМАЛЬНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ определяется как приращение длины твёрдого тела к исходной длине. v СДВИГОВАЯ ДЕФОРМАЦИЯ определяется как ПОЛОВИНА УМЕНЬШЕНИЯ ПРЯМОГО УГЛА, выделенного в среде при деформации. 120

Одноосное напряжённое состояние ( отлично от 0 только одно главное напряжение, например, 1, 2 = 3=0) x z y dx dz dy dx(1+ ) dy(1+ ) dz(1+ ) Рис. 9. Деформация под действием одноосного сжатия В случае одноосного сжатия или растяжения соотношение превращается в закон Гука 60

Относительное изменение объёма – дилатация – определяется в этом случае выражением: Под действием одноосного сжатия несжимаемая среда сокращается в направлении приложенного напряжения и расширяется на величину, вдвое меньшую в каждом из перпендикулярных направлений 1 - Уменьшение объёма, происходящее за счёт сокращения размера в направлении действия напряжения, компенсируется увеличением объёма за счёт расширения в перпендикулярных направлениях при одноосном сжатии должно быть равно ½ 61

Свойства среды таковы, что от действия компонент деформации возникает напряжение G) в том же направлении и напряжения в других взаимно перпендикулярных направлениях Где: материальные параметры среды • Е – модуль Юнга (меняется для горных пород в пределах 10 – 100 ГПа) • - коэффициент Пуассона (меняется в пределах 0. 1 – 0. 4) Главная компонента напряжения создаёт деформацию в направлении своего действия и деформации в двух других взаимно перпендикулярных направлениях. Упругие свойства среды характеризуют, задавая и G или и . Эти параметры не являются независимыми. 59

Одноосная деформация G Состояние одноосной деформации характеризуется тем, что отличной от 0 является только одна главная компонента деформации, например, . Плоское напряжённое состояние возникает тогда, когда имеется только одно нулевое главное напряжение, например, Рис. 10. Плоское напряжённое состояние 62

Плоская деформация. В этом случае равна нулю только одна главная деформация, например, 3 . Рис. 11. Пример плоской деформации G) ; 2 1 G 2; 3 = 1 2 Длинная балка жёстко зажата между двумя стенками, которые не позволяют ей расширяться или сжиматься в продольном направлении. Кроме того, вдоль всей длины на балку действуют равномерно распределённые напряжения 1 и . Связь между напряжениями и деформациями в этом случае становится 63

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И РАВНОВЕСИЯ Основным динамическим уравнением движения материальной точки является II-й закон Ньютона. Широко используемыми следствиями этого закона являются следующие ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК 1 Производная по времени от количества движения равна сумме всех действующих на систему внешних сил (уравнение количества движения или уравнение импульсов): 64

2 Производная по времени от кинетического момента системы относительно какоголибо неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно того же центра (уравнение моментов количества движения) Кинетический момент Сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему 65 27 66

3 Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех действующих на систему внешних и внутренних сил (уравнение механической энергии или теорема живых сил) Кинетическая энергия Внешние и внутренние силы 66 67

4 Для любого мысленно выделяемого индивидуального объёма сплошной среды V, ограниченного поверхностью S, эти уравнения действительны, если динамические величины определить следующим образом: Соответственно количество движения, момент количества движения и кинетическая энергия сплошной среды в объёме V 67 68

Сумма внешних объёмных и поверхностных сил и их моментов относительно некоторого неподвижного центра О, действующих на среду в объёме V Силы и их моменты непрерывно определены и сосредоточены 68

Сумма элементарных работ внешних и внутренних объёмных и поверхностных сил В этом случае уравнение количества движения и уравнение моментов количества движения являются ОСНОВНЫМИ ПОСТУЛИРУЕМЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СООТНОШЕНИЯМИ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ и служат исходными уравнениями для описания любых движений сплошной среды, в том числе разрывных движений и ударных процессов. Уравнение механической энергии одно из наиболее важных следствий предыдущих уравнений при непрерывных движениях в пространстве и времени 69 70

ПРИ НЕПРЕРЫВНЫХ ДВИЖЕНИЯХ ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ЭКВИВАЛЕНТНА СЛЕДУЮЩИМ ТРЁМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ: В декартовой системе координат: В цилиндрической системе координат при осевой симметрии 70

Эти уравнения, связывающие компоненты vi вектора скорости и тензора напряжений являются основной системой дифференциальных уравнений движения для любой сплошной среды, представляющих собой уравнение баланса количества движения (импульса) для бесконечно малого объёма среды. Уравнение баланса механической энергии Если движения частиц происходят без ускорения (аi = 0) или они пренебрежимо малы, то уравнения называются дифференциальными уравнениями равновесия Интегральная теорема живых сил эквивалентна d. K = d. W = d. A(e) 71

соответственно изменение кинетической и потенциальной энергии бесконечно малого объёма сплошной среды, элементарная работа внешних объёмных и поверхностных сил, действующих на бесконечно малый элемент объёма среды В общем случае уравнение не является законом сохранения энергии, но его можно так трактовать тогда, когда механическая энергия тела не переходит в тепловую или другие виды энергии. Общий закон сохранения энергии в этом случае распадается на два: • · закон сохранения механической энергии; • · закон сохранения энергии другого вида. 72

ОБ УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ ИЛИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ Уравнения неразрывности и движения справедливые при непрерывных движениях любой сплошной среды, недостаточны для описания поведения конкретной среды, так как их число меньше числа входящих в них неизвестных Для этого к имеющимся уравнениям необходимо присоединить так называемые ПОСТРОИТЬ ЗАМКНУТУЮ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ЗНАЧИТ ПОСТРОИТЬ МАТЕМАТИЧЕСКУЮ МОДЕЛЬ ИЗУЧАЕМОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ МЕХАНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ, КОТОРЫЕ ВЫРАЖАЮТ СВЯЗЬ МЕЖДУ КИНЕМАТИЧЕСКИМИ И ДИНАМИЧЕСКИМИ ВЕЛИЧИНАМИ 73

Построение математической модели Экспериментальные уравнения состояния Законы термодинамики Фундаментальные законы неньютоновской механики Закон сохранения массы Закон сохранения количества движения 6

Основная задача механики сплошной среды определение закона движения. Основные законы механики сплошной среды Закон сохранения массы Закон сохранения энергии Закон сохранения количества движения Связь между параметрами, определяющими механическое поведение конкретной СС в конкретных условиях внешнего воздействия осуществляется с помощью уравнений состояния. 5

уравнения состояния идеальных и реальных жидкостей Простейшей механической моделью сплошной среды является модель идеальной жидкости, для которой характерно отсутствие сопротивления (сил трения) при скольжении одного слоя жидкости по другому В любой точке жидкости касательные напряжения равны 0, а нормальные ii = - Р Уравнением состояния для идеальной жидкости служит зависимость плотности от давления Р и температуры Т 74

Если плотность жидкости - функция только давления = f(p), то жидкость называют БАРОТРОПНОЙ Для капельных жидкостей, сжимаемость для которых чрезвычайно мала, в большом диапазоне изменения давления связь между плотностью и давлением линейна: При больших температурах и давлениях практически любая среда обладает свойствами идеальной жидкости Когда имеет место степенная зависимость = срn, то говорят, что движение происходит при ПОЛИТРОПИЧЕСКОМ процессе 0 - плотность, соответствующая давлению р0, Кж - модуль объёмного сжатия, порядок которого равен 104 n. МПа. 75

Наиболее известное уравнение движения идеальной жидкости - закон Бернулли, который гласит: при установившемся движении несжимаемой идеальной жидкости сумма геометрической, скоростной и пьезометрической высот вдоль линии тока остаётся величиной постоянной В тех случаях, когда силами трения или напряжения сдвига при движении жидкости пренебречь нельзя, используют модель - ВЯЗКОЙ НЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТИ sij 2µ ij (i, j = 1, 2, 3) между компонентами девиатора напряжений и скоростей деформации существует прямо пропорциональная связь через компоненты тензоров напряжений и скоростей деформаций 76

при плоском слоистом течении жидкости вдоль оси Ох1, когда v 1 = v 1(x 1, x 2), v 2 = v 3 = 0, нормальные и касательные напряжения равны: Если жидкость несжимаема (div v = 0) и скорость v 1 не зависит от x 1 , то уравнение состояния имеет вид Коэффициент пропорциональности называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ВЯЗКОСТИ ИЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ВЯЗКОСТЬЮ жидкости (сила длина) (длина 2 скорость) = сила время/длина 2. В системе СИ единицей вязкости является паскаль-секунда 1 Па с = 1 н с/м 2. Величина 1 пуаз = 0. 1 Па с. Динамическая вязкость воды при 20 С равна 10 -3 Па·с. 77

Многие растворы, в том числе буровые и тампонажные, проявляют свойства, отличные от свойств ньютоновских жидкостей Вязкость неньютоновских жидкостей зависит не только от температуры и давления, но и от скорости сдвига, деформации, времени, характера движения τ 1 τ0 Основной признак неньютоновского поведения жидкостей – нелинейное поведение компонентов девиатора напряжений и скоростей деформаций 3 2 γ 0 γ Рис. 12. Характерные зависимости напряжения сдвига от скорости деформации сдвига: 1 и 2 соответственно псевдопластичная и дилатантная жидкости; 78 3 - ньютоновская жидкость

Аппроксимации кривых псевдопластичных и дилатантных жидкостей Модель Шведова-Бингама для псевдопластичных жидкостей (вязкопластичная бингамовская жидкость) Обладает пространственной жёсткой структурой и сопротивляется внешнему воздействию до тех пор, пока вызванное им напряжение сдвига не превзойдёт предельного значения, соответствующего этой структуре Модель Освальда -Вейля (степенная), используется для обоих типов жидкостей где 0 - предельное (или динамическое) напряжение сдвига; - пластическая (структурная) вязкость; k - показатель консистенции; n - показатель неньютоновского поведения: при n < 1 жидкость псевдопластичная, при n > 1 - дилатантная. - скорость деформации сдвига, выше которой зависимость от практически линейна 79

Чтобы установить характер зависимости между касательными напряжениями и скоростями деформации сдвига и определить реологические параметры жидкости в заданных условиях, используют: • установившееся ламинарное (слоистое) течение жидкости вдоль оси цилиндрической трубы; • тангенциальное течение между двумя соосными цилиндрами. При этих течениях линии тока либо прямые линии, либо - концентрические окружности. Такие течения можно создать лишь в специальных приборах: капиллярных или ротационных вискозиметрах. При течении жидкости между двумя вертикальными соосными цилиндрами длиной l , из которых наружный вращается с угловой скоростью , реологические параметры для бингамовской жидкости могут быть определены из соотношения: а для жидкости степенной модели где М -вращающий момент, приложенный к наружному цилиндру; = R 0/R; R 0 и R - радиусы внутреннего и внешнего цилиндров соответственно. 80

Для произвольного течения несжимаемых ( = 0) вязкопластичных жидкостей используются следующие уравнения состояния: ij = 0 при T 0 sij = 2 ( + 0 H 1) ij при T > 0 и где Н 1 - интенсивность скоростей деформаций сдвига при = 0; Т - интенсивность касательных напряжений При определённых нестационарных режимах течения буровые и тампонажные растворы могут проявлять особые свойства неньютоновского поведения: • ТИКСОТРОПНОСТЬ - зависимость жёсткости структуры от длительности деформирования и предыстории движения; • запаздывание во времени установления деформации при действии постоянного напряжения или, наоборот, запаздывание во времени установления напряжений при постоянной деформации (РЕЛАКСАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ). 81

ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ До настоящего времени НЕТ строгой теории, каким образом ламинарное движение перерождается в турбулентное Эмпирически установлено, что по мере увеличения скорости течения всякое упорядоченное движение частиц жидкости постепенно нарушается и переходит в новую форму - ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ, при котором движение частиц становится неупорядоченным (хаотичным). На величину верхней границы Reкр сильное влияние оказывают следующие факторы: • сильное отклонение трубы от цилиндрической формы; • заметная шероховатость поверхности трубы; • наличие в жидкости твёрдых тел, коллоидных или дисперсных образований; • изменение граничных условий; • действие внешних возмущений и т. д. ОТЛИЧИТЕЛЬНЫМ ПРИЗНАКОМ ТУРБУЛЕНТНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЯВЛЯЕТСЯ ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ОТ ВРЕМЕНИ В ЛЮБОЙ ТОЧКЕ ПОТОКА 82

ДЛЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕД ПЕРЕХОД ОТ СТРУКТУРНОГО К ТУРБУЛЕНТНОМУ РЕЖИМУ ТЕЧЕНИЯ принято определять по величине обобщённого параметра Рейнольдса: для степенной модели для жидкости Бингама для решения задач турбулентного течения ВОЗМОЖНО применение уравнений механики сплошной среды, при условии, что величины vi, p, ij , входящие в эти уравнения, будут, соответственно, заменены на величины 83

ОБЩАЯ ЗАДАЧА ГИДРОМЕХАНИКИ заключается в определении: ü компонент vi (i=1, 2, 3) вектора скорости v ; ü компонент симметричного девиатора напряжений sij = sji (i, j = 1, 2, 3); ü давления р; ü плотности жидкости в любой точке области. В общем случае это 11 искомых функций: • Уравнение движения • Уравнение неразрывности движения или уравнение сохранения массы • Уравнений механического состояния = f (p); 84

• компоненты девиаторов напряжений • компоненты скоростей деформаций • символ Кронекера • соотношения Коши • скорость деформации объёма • проекции объёмных сил и ускорений • интенсивность касательных напряжений • интенсивность скорости деформации сдвига при = 0 85

Решение системы уравнений может быть единственным и однозначным ТОЛЬКО при выполнении ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ: • - на поверхности контакта жидкость - твёрдое тело; • р = р0 - на свободной поверхности ( v 0, p 0 - заданные величины скорости твёрдого тела и внешнее давление). ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ Грунт является пористой средой. Течение жидкости и газа (фильтрация) происходит в капиллярных каналах сложной формы, образованных порами грунта. При решении вопросов фильтрации методами гидродинамического анализа приходится пользоваться упрощенными моделями грунта. К таким моделям относятся : • "идеальный грунт", у которого капиллярные каналы, составленные из пор, образующихся между песчинками, принимаются цилиндрическими и параллельными между собой; • "фиктивный грунт", все частички которого принимаются за шары одинакового 86 диаметра.

Отношение суммы объёмов пор по всему объёму данного грунта называется ПОРИСТОСТЬЮ V 1 - объём грунта; Пористость фиктивного грунта не зависит от диаметра взятых шаров, а зависит только от их расположения в рассматриваемом объёме V 2 - суммарный объём частиц, составляющих грунт; где S - площадь всего рассматриваемого сечения грунта, S 1 - площадь, занимаемая в этом сечении шарами, называется ПРОСВЕТОМ и физически характеризует собой площадь, через которую фильтруется жидкость для фиктивного грунта 87

Скорость жидкости в поровой трубке для идеального грунта при ламинарном движении R - гидравлический радиус поперечного сечения поровой трубки, P - падение гидродинамического давления на длине l поровой трубки, - динамический коэффициент вязкости, - число, входящее в степенную формулу, определяющую коэффициент сопротивления и зависящее от режима течения жидкости и показателя i. Скорость ламинарной фильтрации в идеальном грунте, выраженная через действительную скорость течения жидкости по поровому каналу ПРОНИЦАЕМОСТЬ пористой среды – это свойство пропускать через себя жидкость или газ под действием приложенного градиента давления, то есть это проводимость пористой среды по отношению к жидкости или газу. 88

При чисто квадратичной фильтрации (турбулентный режим) действительная скорость течения в поровой трубке не зависит от вязкости жидкости скорость фильтрации формула Слихтера для определения средней скорости течения жидкости через поровую трубку фиктивного грунта или скорость фильтрации в фиктивном грунте теоретическая проницаемость Слихтера 91

пористость фиктивного грунта, 0. 26 m 0. 48, фиктивная толщина пласта приближённое значение теоретической проницаемости расход жидкости через фиктивный грунт или где: F - площадь сечения грунта. формула расхода При измерении d и h в сантиметрах F - в квадратных сантиметрах, дина сек/см 2 , р - см. вод. ст. при 4 С и Q - см 3/сек Приведённые формулы скорости и расхода применимы для частиц, СРЕДНИЙ ДИАМЕТР КОТОРЫХ ИЗМЕНЯЕТСЯ В ПРЕДЕЛАХ 0. 01 мм - 5 мм 92

основная формула для определения скорости фильтрации в фиктивном грунте формула Козени, уточнённая Л. С. Лейбензоном; 2 = 5/3, если поперечное сечение порового канала есть равносторонний треугольник; для случая квадратного сечения 2 = 16/9. формула Терцаги (I), зависит от структуры грунта; для песка с гладкой поверхностью = 10. 5; с угловатой - 6. 0 формула Терцаги (II), где m 0 = 0. 13; при m = m 0 , (когда пористость грунта очень мала, фильтрация, согласно этой формуле, прекращается) формула Лейбензона B 1 F(R) 93

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА Метод Аллан Газена Эффективный диаметр частицы такой диаметр, для которого сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 10% от взятого веса грунта; при этом Метод Крюгер - Цункера где gi - весовое участие фракции в общем весе взятой единицы объёма грунта, коэффициент неоднородности dе - диаметр, при котором сумма весов всех фракций от нуля и, кончая этим диаметром, составляет 60% от веса всех фракций - средний диаметр фракции, определяемый как среднее арифметическое крайних диаметров d'i и d''i этой фракции; 94

Метод Козени При этом: d 1 - верхний крайний диаметр последней фракции (который должен быть меньше 0. 0025 мм); Метод Замарина где Аi - угловые коэффициенты (относительно оси d) последовательных прямых отрезков кривой весового участия фракции g 1 - доля веса грунта последней фракции, выраженная в процентах. Графический метод определения эффективного диаметра 95

Закон Дарси. При очень медленном движении жидкости в пористой среде (пласте), когда силы инерции ничтожно малы и ими можно пренебречь, для скорости фильтрации принят линейный закон фильтрации: где: H/l - потеря напора на единицу длины пласта (гидравлический уклон i). Коэффициент пропорциональности К в формуле называется коэффициентом фильтрации, и характеризует одновременно фильтрационную способность среды и протекающей в нём жидкости. К см/сек. Через коэффициент проницаемости k , характеризующий пористую среду, и динамический коэффициент вязкости жидкости закон Дарси можно записать в виде: - удельный вес жидкости 96

Расход жидкости Q, протекающий через площадь фильтрации f Закон Дарси в дифференциальной форме, где: s - направление, которое берётся вдоль струйки по скорости v; k – коэффициент проницаемости k = см 2 1 дарси = Коэффициент проницаемости равен 1 дарси при абсолютной вязкости = 1 сантипуазу, р =1 ат на длине 1 см, площади сечения 1 см 2 и расходе жидкости 1 см 3/сек. 97

КРИТЕРИЙ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛАМИНАРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ Н. Н. Павловский 7 Reкр 9 В. Н. Щелкачёв 1 Reкр 12 М. Д. Миллионщиков 0. 022 Reкр 0. 290 где l* - внутренний масштаб породы (линейный размер); k - коэффициент проницаемости, m пористость; за характерную скорость принимается истинная скорость фильтрации, равная u = w/m 98

НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ (не подчиняется закону Дарси) скорость w или дебит Q есть степенная функция от градиента давления двучленная формула для градиента давления, где: d. S - элемент струйки, b - коэффициент, зависящий от геометрии пористой среды, шероховатости и т. п Скорости фильтрации струек пропорциональны расходам (дебитам), поэтому двучленный закон сопротивления при нелинейной фильтрации может быть представлен уравнением индикаторной кривой для несжимаемой жидкости в виде Для газа (воздуха)имеем: где А 1 и В 1 - параметры, характерные для данного пласта и скважины 99

формула Лейбензона, выведенная исходя из общей теории фильтрации Здесь - кинематический коэффициент вязкости, J - гидравлический уклон, k - проницаемость, B 1 - постоянная величина. При квадратичной турбулентной фильтрации показатель степени S = 2. Общее уравнение установившегося движения газа через пористую среду имеет вид где q - функция давления, равная 100

Течение между двумя безграничными горизонтальными пластинами, находящимися на расстоянии 2 h , т. е. h x h при установившемся ламинарном течении принимая во внимание конечность перепада давления на некоторой длине L Используя граничное условие ПРИЛИПАНИЯ жидкости к твёрдым стенкам v = 0 при х = -h и Х = h , после интегрирования получаем распределение скоростей параболическое, с максимальной скоростью на оси потока при y =0 Для плоской щели расход при постоянном перепаде давления пропорционален кубу расстояния между плоскостями 101

V h Жидкость, подчиняющаяся закону вязкости Ньютона, для определения касательного напряжения имеет: где коэффициент внутреннего трения или динамической (абсолютной) вязкости V+ V Жидкости, которые не подчиняются закону Ньютона, называются неньютоновскими или аномальными. = вязкопластические коэффициент кинематической вязкости Неньютоновские жидкости аномально вязкие жидкости k - коэффициент консистентности, n - показатель степени - коэффициент структурной вязкости; 0 - динамическое напряжение сдвига Аномально вязкие жидкости обладают свойствами твёрдого тела и жидкости, то есть проявляют упругое восстановление формы после снятия напряжения. псевдопластичные n 1 ньютоновские n = 1. Дилатантные (расширяющиеся или растягивающиеся) n 1, 105

Модель Максвелла – модель релаксирующего тела Где: G - модуль упругости при сдвиге величина G, называется временем релаксации и характеризует время затухания упругих 0 - начальное упругое напряжений в жидкости. напряжение сдвига при В случае dv dh мгновенном напряжении При рассмотрении неньютоновских жидкостей вводится понятие эффективной вязкости Ø для вязкопластичной Ø для аномально вязкой При t = /G напряжение в жидкости уменьшится в е раз, при t оно станет равным 0 (напряжение в теле полностью исчезнет). Чем меньше для жидкости время релаксации (G ), тем слабее проявляются твёрдообразные свойства жидкостей, так как d dt 0, т. е. поведение тела станет неньютоновским. 106

ПРАКТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ ИЗ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ ГИДРОСТАТИКИ Для сообщающихся сосудов: • если на поверхности однородной вязкой жидкости действует давление ра, уровень жидкости в обоих сосудах будет располагаться на одной высоте; • Если в сосудах будут находиться жидкости с разной плотностью ( 1 и 2), то будет справедливо соотношение z 1/ z 2 = 2 1 , или z 1/ z 2 = 2 1 высоты уровней в сообщающихся сосудах, отсчитанные от поверхности раздела несмешивающихся вязких жидкостей, обратно пропорциональны их плотностям. • Если к свободной поверхности одного из сообщающихся сосудов приложить избыточное давление (ра 1 ра 2), то для вязкой однородной жидкости уровень в другом сосуде установится в положении z 2, для которого 107 8

Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе (d = 2 R) Для цилиндрической круглой трубы расход пропорционален четвёртой степени радиуса и потери давления РАСТУТ с уменьшением радиуса по закону четвёртой степени формула Гагена Пуазейля 108

КРИТЕРИЙ РЕЙНОЛЬДСА Используя формулы Дарси-Вейсбаха и Гагена-Пуазейля можно определить величину коэффициента сопротивления для несжимаемой вязкой жидкости при ламинарном течении Справедлива в области значений Re < 2300 где течение для несжимаемой вязкой жидкости считается ламинарным. При росте Re режим течения переходит в турбулентный (критерий Рейнольдса можно считать критерием оценки режима течения) Ламинарное течение вязкопластичных жидкостей в цилиндрической круглой трубе где r 0 - радиус ядра потока при структурном течении, определяемом из условия r 0 = 4 L 0/ p 109

Максимальная скорость потока (скорость ядра) Формула Букингема для расчёта величины объёмного расхода В общем случае для вязкопластичной жидкости 0 d vср = Sen 110

Для упрощенных расчётов (для целей бурения) величину можно определять по формуле / Re : Re - обобщённый параметр Рейнольдса, (в этом случае не является критерием оценки вида течения, для этих целей в данном случае необходимо знать параметр Сен-Венана): Коэффициент сопротивления при различных условиях течения 1. Турбулентный режим течения (круглая цилиндрическая труба), Re = 2500 - 7000: (формула Блазиуса) 111

2. Глинистые и цементные растворы Re = 2500 - 40 000 (формула Мительмана Б. И. ): 3. Глинистые и цементные растворы Re = 2500 - 50 000 (формула Шищенко Р. И. , Ибатулова К. А. ): При значениях Re > 50 000 коэффициент сопротивления может быть принят постоянным и равным 0. 02 4. Ламинарное течение в трубах аномально вязких систем (псевдопластичные жидкости) ф. У. Уилкинсона: где Re - обобщённый критерий Рейнольдса для псевдопластичных жидкостей; k и n - показатели консистенции и степени для псевдопластичных жидкостей. 112