Введение в комбинаторику Что такое комбинаторика Комбинаторика

Введение в комбинаторику

Что такое комбинаторика? Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. 2

Комбинаторика в спорте Вы организуете турнир по футболу на спартакиаде. Всего 10 команд, все играют вкруговую – по одному матчу друг с другом. Победитель спартакиадыодин, определяется по количеству набранных очков. В каждом матче турнира вы определяете одного лучшего игрока матча и дарите ему ценный подарок. Сколько подарков нужно купить организаторам? 3

Из истории комбинаторики С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т. д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности. 4

В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т. д. Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т. д. ) В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. 5

Леонард Эйлер(1707 -1783) Готфрид Вильгельм Лейбниц (1. 07. 1646 - 14. 11. 1716) «Об искусстве комбинаторики» , опубликованной в 1666 г. ввел термин «Комбинаторика» . рассматривал комбинаторные задачи: о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов 6

Дата рождения: 27 декабря 1654 Место рождения: Базель, Швейцария Дата смерти: 16 августа 1705 Якоб Бернулли ввёл значительную часть современных понятий теории вероятностей и комбинаторики 7

Методы решения комбинаторных задач 1. Правило суммы. 2. Правило произведения 3. Таблицы. 4. Графы (деревья). 5. Формулы. 8

Правило суммы Если элемент А может быть выбран а элемент В способами, причем выборы А и В являются взаимно исключающими, А или В то выбор « » может быть осуществлен способами. Задача В алфавите 4 буквы. Сколько можно составить слов из букв этого алфавита, имеющих не более 3 букв? Решение: 4 – слова из одной буквы, 42 – слов из двух букв 43 – слов из трех букв 4+42 +43– по правилу сложения = 84 9

Правило произведения Если элемент А может быть выбран а элемент В способами, А и В» может быть осуществлен то выбор « способами. Задача Определить количество автомобилей, зарегистрированных в Оренбургской области по автомобильному номеру типа А 000 АА 56 ( 12 букв, 10 цифр) Решение: У номера 6 мест, Первое, пятое и шестое места – буквы, третье и четвертое – цифры. Заполнение мест происходит независимо друг от друга. 12*10*10*10*12*12 = 1 728 000 10

Задача о флаге Задача Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде четырех горизонтальных полос, одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный, зеленый. У каждой страны свой, отличный от других, флаг. Сколько всего стран могут использовать такую символику? Решение: Цвет верхней полосы можно выбрать одним из 4 способов, второй полосы – одним из трех оставшихся, цвет 3 полосы – одним из 2 оставшихся, а 4 – одним способом. По правилу произведения N=4 х3 х2 х1=24 11

Таблицы вариантов 1 3 5 7 9 1 11 13 15 17 19 3 31 33 35 37 39 5 51 53 55 57 59 7 71 73 75 77 79 9 91 93 95 97 99 Задача • Сколько двузначных чисел, кратных 3, можно получить из цифр 1, 3, 5, 7, 9? • а) цифры не повторяются • 6 вариантов (15, 39, 57, 51, 75, 93) • б) цифры могут повторяться – 8 вариантов (еще 33, 99) 12

Подсчет вариантов с помощью графов • Задача. При встрече каждый из друзей пожал другому руку. Сколько было рукопожатий, если друзей: • а) трое ; б) четверо ; в) пятеро? • N=3 N=6 N=10 13

Задача. Сколько различных двухзначных чисел можно записать, используя цифры 2, 7, 9 если цифры в этих числах могут повторяться? 22 27 29 2 72 77 79 92 97 99 2 7 9 7 * 9 14

Выборки Если из множества предметов выбирается по какому-то принципу его подмножество, такое подмножество называется выборкой Рассмотрим три выборки: 1. Перестановки 2. Размещения 3. Сочетания 15

Факториал Во всех формулах будет использовано математическое понятие - факториал числа. Факториалом числа n называется произведение всех целых чисел от 1 до n включительно 5!=1 2*3*4*5=120 16

Размещениями из n элементов по m элементов (m < n) называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые отличаются либо самими элементами, либо порядком элементов. Число размещений без повторений из n по m (n различных элементов) вычисляется по формуле: 17

Размещения Задача Возьмем буквы У, О, Р. Сколько размещений можно получить, если взять две буквы из этих трех? УО, ОУ, УР, РУ, ОР, РО 18

Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов). 19

Сочетания Задача Возьмем буквы У, О, Р. Сколько сочетаний можно получить, если взять две буквы из этих трех? УО, УР, ОР (сочетания ОУ, РУ и РО не считаются) 20

Перестановки Перестановками из n элементов называются размещения из этих n элементов по n Перестановки – частный случай размещений Перестановки – перебор всех вариантов расположения элементов внутри группы 21

Перестановки Задача Возьмем буквы У, О, Р. Сколько перестановок можно получить? УОР, УРО, ОУР, ОРУ, РОУ, РУО Вернемся к задаче о флаге 22

Задание Задача 1 В расписании на понедельник 6 уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно составить расписание уроков на этот день, чтобы два урока математики стояли радом? 240 Задача 2 сколькими способами можно выбрать старосту, культорга и физорга из 5 студентов? 60 Задача 3. Из колоды в 36 карт вынимают 5 карт. Найдите: число вариантов, при которых среди полученных карт есть 4 туза 32 23