Введение в исследование операций Математическое моделирование т е

Введение в исследование операций Математическое моделирование, т. е. применение математических, количественных методов для поиска и обоснования оптимальных решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности называется исследованием операций. Под операцией понимают систему в общем смысле (в т. ч. систему действий), т. е. совокупность связанных элементов для достижения какой-либо цели.

Операция есть всегда управляемое мероприятие, т. е. от лица, ее осуществляющего, зависит, каким способом выбрать некоторые параметры, характеризующие ее организацию. «Организация» здесь понимается в широком смысле слова, включая набор технических средств, применяемых в операции. Всякий определенный выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными. Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими. Цель исследования операций — предварительное количественное обоснование оптимальных решений.

Иногда (относительно редко) в результате исследования удается указать одно-единственное строго оптимальное решение, гораздо чаще — выделить область практически равноценных оптимальных (разумных) решений, в пределах которой может быть сделан окончательный выбор. Те параметры, совокупность которых образует решение, называются элементами решения. В качестве элементов решения могут фигурировать различные числа, векторы, функции, физические признаки и т. д.

В простейших задачах исследования операций количество элементов решения может быть сравнительно невелико. Но в большинстве задач, имеющих практическое значение, число элементов решения весьма значительно. Кроме элементов решения, которыми исследователь, в каких-то пределах, может распоряжаться, в любой задаче исследования операций имеются еще и заданные, «дисциплинирующие» условия, которые фиксированы с самого начала и нарушены быть не могут (например, грузоподъемность машины; размер планового задания; весовые характеристики товаров и т. п. ). В своей совокупности они формируют так называемое «множество возможных решений» .

Чтобы сравнивать между собой по эффективности разные решения, нужно иметь какой-то количественный критерий, так называемый показатель эффективности (его часто называют «целевой функцией» ). Этот показатель выбирается так, чтобы он отражал целевую направленность операции. Лучшим будет считаться то решение, которое в максимальной степени способствует достижению поставленной цели. Чтобы выбрать показатель эффективности W, нужно, прежде всего, уяснить конечную цель: какого результата необходимо добиться, к чему нужно стремиться, предпринимая операцию?

Выбирая решение, обычно предпочитают такое, которое обращает показатель эффективности W в максимум (или же в минимум). Например, доход от операции хотелось бы обратить в максимум; если же показателем эффективности являются затраты, их желательно обратить в минимум. Если показатель эффективности желательно максимизировать, это обычно записывается в виде W → max, а если минимизировать – W → min.

Очень часто выполнение операции сопровождается действием случайных факторов (характер погоды, колебаиия спроса и предложения, отказы технических устройств и т. п. ). В таких случаях обычно в качестве показателя эффективности берется не сама величина, которую хотелось бы максимизировать (минимизировать), а ее среднее значение (математическое ожидание).

Для применения количественных методов исследования в любой области всегда требуется какаято математическая модель. Напомним, что при построении модели реальное явление (в нашем случае – операция) неизбежно упрощается, схематизируется, и эта схема ( «макет» явления) описывается с помощью того или иного математического аппарата. Чем удачнее будет подобрана математическая модель, чем лучше она будет отражать характерные черты явления, тем успешнее будет исследование и полезнее – вытекающие из него рекомендации.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае модель выбирается исходя из вида операции, ее целевой направленности, с учетом задачи исследования (какие параметры требуется определить и влияние каких факторов отразить). Математическая модель должна отражать важнейшие черты явления, все существенные факторы, от которых в основном зависит успех операции. Вместе с тем, модель должна быть по возможности простой, не усложненной множеством мелких, второстепенных факторов: их учет усложняет математический анализ и делает труднообозримыми результаты исследования. Искусство строить математические модели есть именно искусство, и опыт в нем приобретается постепенно.

Характерным для исследования операций является также повторное обращение к модели (после того, как первый тур расчетов уже проведен) для внесения в модель коррективов. Особо подчеркивается необходимость сведений по теории вероятностей, умение оперировать статистическими данными и вероятностными представлениями. Особые требования именно к этой области математических знаний объясняются тем, что большинство операций проводится в условиях неполной определенности, и их ход и исход зависят от случайных факторов. Но теория вероятностей – не панацеия. Она позволяет только преобразовывать информацию, т. е. из сведений об одних явлениях, доступных наблюдению, делать выводы о других, недоступных.

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Аналитические модели являются более общими, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А, главное, аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений.

Статистические модели, по сравнению с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое (в теории — неограниченно большое) число факторов. Но и у них — свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать путем догадок и проб.

В исследовании операций нет единого общего метода решения всех математических моделей, которые встречаются на практике. Вместо этого выбор метода решения диктуют тип и сложность исследуемой математической модели. В некоторых задачах, например, достаточно просто ранжировать альтернативы по какому-либо критерию, тогда как для решения других задач необходимо применять средства дифференциального исчисления.

Наиболее известными и эффективными методами исследования операций являются методы линейного программирования, когда целевая функция и все ограничения являются линейными функциями. Для решения математических моделей других типов предназначены методы целочисленного программирования (если все переменные должны принимать только целочисленные значения), динамического программирования (где исходную задачу можно разбить на меньшие подзадачи) и нелинейного программирования (когда целевая функция и/или ограничения являются нелинейными функциями).

Альтернативой математическому моделированию сложных систем может служить имитационное моделирование, о котором мы подробно говорили в 5 главе. Различие между математической и имитационной моделями заключается в том, что в последней отношение между "входом" и "выходом" может быть явно не задано. Вместо явного математического описания взаимоотношения между входными и выходными переменными математической модели, при имитационном моделировании реальная система разбивается на ряд достаточно малых (в функциональном отношении) элементов или модулей.

Затем поведение исходной системы имитируется как поведение совокупности этих элементов, определенным образом связанных (путем установки соответствующих взаимосвязей) в единое целое. Вычислительная реализация такой модели начинается с входного элемента, далее проходит по всем элементам, пока не будет достигнут выходной элемент. Имитационные модели значительно гибче в представлении реальных систем, чем их математические аналоги. Причина такой гибкости заключается в том, что при имитационном моделировании исходная система рассматривается на элементарном уровне, а математические модели стремятся описать системы на глобальном уровне.