ВВЕДЕНИЕ Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается

ВВЕДЕНИЕ Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет и т. д. и т. п. Числа, цифры…они с нами везде. А две тысячи лет назад что знал человек о числах? А пять тысяч лет назад? Сегодня, в 21 веке, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

ИЗ ИСТОРИИ СЧЕТА Древние системы счисления отличаются большим разнообразием, поскольку привычный нам способ записи чисел с помощью десяти знаков появился далеко не сразу. Люди научились считать еще в незапамятные времена. Сначала они просто различали один предмет перед ними или нет. Если предмет не один, то говорили «много» . Постепенно появилось слово для обозначения двух предметов. Наиболее древней и простой «счетной машиной» издавна являются пальцы рук и ног. И даже в наше время еще пользуются этим «счетным прибором» , которая всегда при нас. На пальцах можно решать примеры не только в пределах десяти. В древние времена люди ходили босиком. Поэтому они могли пользоваться для счета пальцами как рук, так и ног. Записывали числа по началу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости. Одни пользовались для запоминания чисел камешками, зернами, другие палочками, зарубками. Это были первые счетные приборы, которые привели к образованию различных систем счисления.

ЛАТИНСКАЯ (РИМСКАЯ) НУМЕРАЦИЯ Примером такой системы счисления является пришедшая из Древнего Рима римская система. С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов. О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа.

НОВАЯ, ИЛИ АРАБСКАЯ НУМЕРАЦИЯ В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какойто момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари". 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию. Древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 — углов нет, 1 — один угол, 2 — два угла и т. д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения.

ЕГИПЕТСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Египтяне придумали эту систему около 5 000 лет тому назад. Это одна из древнейших систем записи чисел, известная человеку. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду. I 1. Как и большинство людей для счета небольшого количества предметов Египтяне использовали палочки. 10. Такими путами египтяне связывали коров. 100. Это мерная веревка, которой измеряли земельные участки после разлива Нила. 1 000. Вы когда-нибудь видели цветущий лотос? Если нет, то вам никогда не понять, почему Египтяне присвоили такое значение изображению этого цветка. 10 000. "В больших числах будь внимателен!" - говорит поднятый вверх указательный палец. 100 000. Это головастик. Обычный лягушачий головастик. 1 000. Увидев такое число обычный человек очень удивится и возденет руки к небу. Это и изображает этот иероглиф 10 000. Египтяне поклонялись Амону Ра, богу Солнца, и, наверное, поэтому самое большое свое число они изобразили в виде восходящего солнца

СЛАВЯНСКАЯ ГЛАГОЛИЧЕСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Эта нумерация была создана для переписки чисел в священных книгах западных славян. Использовалась она нечасто, но достаточно долго. Для того, чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, или точки.

СЛАВЯНСКАЯ КИРИЛЛИЧЕСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для переписки священных книг для славян греческими монахами братьями Кириллом (Константином) и Мефодиев в IX веке. Если посмотреть внимательно, то увидим, что после "а" идет буква "в", а не "б" как следует по славянскому алфавиту, то есть используются только буквы, которые есть в греческом алфавите.

КИТАЙСКАЯ НУМЕРАЦИЯ Эта нумерация одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную арабскую, которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта нумерация около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

НУМЕРАЦИЯ ИНДЕЙЦЕВ МАЙЯ Эта нумерация очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Старого Света. Однако в ней использованы все те же принципы. Сначала эта нумерация обслуживала пятеричную систему счисления, а потом ее приспособили для двадцатеричной.

ДРЕВНЯЯ ГРЕЧЕСКАЯ НУМЕРАЦИЯ В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая нумерация. В этой нумерации числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок: I, III, IIII. Число 5 записывалось знаком (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте". Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков: Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000. Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше. Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами

ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ В ДРЕВНЕСЛАВЯНСКОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

ВАВИЛОНСКАЯ НУМЕРАЦИЯ

В наше время используются: двоичная, восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная системы счисления. Это связано с их использованием в математике и для компьютерного представления информации. Двоичная система счисления в вычислительной технике используется в связи с тем, что электронные элементы – триггеры (переключатели), из которых состоят микросхемы, могут находиться только в двух рабочих состояниях (включено или выключено – ноль или единица). Восьмеричная связана с основным кодированием символов восемью битами, а шестнадцатеричная – так как информация при хранении чаще укрупняется до двух байтов (16 бит) и из-за появления Unicode-шрифтов.

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Двоичная система счисления является основной системой представления информации в памяти компьютера. В этой системе счисления используются две цифры: 0 и 1. Двоичную цифру называют битом. Объём памяти компьютера измеряется в байтах. Каждый байт может выражать букву, число, пробел, знак препинания или какой-либо другой символ. Количество символов, которые компьютер может хранить в оперативной памяти, меняется в широких пределах от вида компьютера и его модели. Объём памяти, хотя он и измеряется в байтах, обычно выражается в килобайтах. Слово "килобайт", вообще говоря, означает "1000 байт". (Напомним, что приставка "кило" означает "тысяча". ) Фактически же килобайт равен 1024 байтам: 1 Кбайт = 1024 байт. Компьютер с объёмом памяти в 64 К может хранить 64 х 1024 = 65536 символов. Объём памяти первых микрокомпьютеров составлял всего лишь 2 Кб. Нынешние компьютеры имеют объём памяти 128, 256, 512, 1024 Мб и более Объём памяти новейших компьютеров так велик, что она выражается в гигабайтах, т. е. в миллиардах байтов. 1 Мбайт = 1024 Кбайт = 1 048 576 байт. Итак, каждый символ алфавитно-цифровой информации представляется в компьютере кодом из восьми двоичных цифр. Следовательно, каждый символ в компьютере имеет код объёмом 1 байт

ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание этой системы счисления равно восьми. Восьмеричную систему счисления можно рассматривать как более короткий вариант записи двоичных чисел, так как число восемь является степенью числа два. В этой системе счисления используется восемь цифр. Чтобы не выдумывать новых символов для обозначения цифр, в восьмеричной системе счисления были использованы символы десятичных цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Для того чтобы не спутать систему счисления в записи числа используется индекс 8. Если же кроме восьмеричной формы записи чисел не предполагается использования никакой другой, то этот индекс можно опустить. Число в этой системе счисления записывается как сумма единиц, восьмёрок, шестьдесят четвёрок и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в восемь раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как восьмые, шестьдесят четвёртые и так далее доли единицы. Рассмотрим пример записи восьмеричного числа: A 8=125, 468=1*82+2*81+5*80+4*8 -1+6*8 -2=6410+1610+510+410/810+610/6410= 85, 5937510 Во второй строке приведённого примера фактически осуществлён перевод числа, записанного в восьмеричной форме в десятичное представление того же самого числа. То есть мы фактически рассмотрели один из способов преобразования чисел из одной формы представления в другую. Так как в формуле используются простые дроби, то возможен вариант, что точный перевод из одной формы представления в другую становится невозможным. В этом случае ограничиваются заданным количеством дробных разрядов.

ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Основание этой системы счисления равно десяти. В этой системе счисления используется десять цифр. В настоящее время для обозначения этих цифр используются символы 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число в десятичной системе счисления записывается как сумма единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. То есть веса соседних разрядов различаются в десять раз. Точно также записываются и числа, меньшие единицы. В этом случае разряды числа будут называться как десятые, сотые или тысячные доли единицы. Здесь самый старший разряд числа будет называться сотнями. В приведённом примере сотням соответствует цифра 2. Следующий разряд будет называться десятками, десяткам соответствует цифра 4. Следующий разряд будет называться единицами, им соответствует цифра 7. Десятым долям соответствует цифра 5, а сотым – 6. Например: A 10=247, 5610=2*102+4*101+7*100+5*10 -1 +6*102=200 +40 +7 +0, 5 +0, 06 10 10 10

ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ Шестнадцатеричная система, или система с основанием 16. Поскольку основание системы равно 16, то в ней должны существовать 16 различных цифр. У нас есть 10 цифр нашей десятичной системы счисления, их мы и используем в качестве первых 10 цифр шестнадцатеричной системы. В качестве остальных шести цифр мы используем буквы А, В, С, D, Е, F. То, как мы представляем время на часах, это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции: для часов, минут и секунд; так как для каждой позиции приходится использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятиричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02, …, 59), а позиции разделяются двоеточием. h: m: s Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле: