Введение Понятие численных методов. Приближенные вычисления. Погрешность. Сходимость.
С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся ее моделью. Для решения математических задач используются 3 основных группы методов: графические, аналитические и численные. • Графические методы позволяют в ряде случаев оценить порядок искомой величины. Основная идея этих методов состоит в том, что решение находится путем геометрических построений. Метод имеет большую наглядность и весьма малую точность. В настоящее время численный метод комбинируется с графическими представлениями, что весьма удобно. •
• При использовании аналитических методов решение задачи удается выразить с помощью формул. К сожалению, на практике это слишком редкие случаи. В последние годы наметилась тенденция объединения аналитических и численных методов в одном алгоритме, что позволяет существенно повысить эффективность численных методов. • Численные методы – это методы приближенного решения математических задач, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа более простых алгебраических и арифметических действий, выполняемых как вручную, так и с помощью компьютерной техники. Численный метод наряду с возможностью получения результата должен обладать еще одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.
Основные источники погрешностей: 1. 2. 3. 4. Погрешности математической модели. Любая задача есть модель какого-то явления. Всякая модель – это объект более простой, чем реальный. Модель – приближенное описание реального объекта, т. е. содержит погрешности. Погрешности исходных данных. Данные могут оказаться неточными. Погрешности метода решения. Численные методы заменяют задачу на близкую. Например, вместо интегрирования – суммирование, вместо дифференцирования – вычисление конечно разностного отношения и т. д. В результате вместо точного решения исходной задачи получаем приближенное решение преобразованной задачи. Погрешности округлений при выполнении арифметических операций. В рамках численных методов погрешности 1 и 2 считаются неустранимыми.
Погрешности могут быть абсолютными и относительными. Если а – истинное значение, - приближенное значение, то: - абсолютная погрешность; - относительная погрешность. Относительную погрешность часто удобно вычислять в процентах:
Введем еще одно понятие – сходимость численного метода, которое обозначает приближение (стремление) результата численного метода к истинному решению. Различают сходимость итерационного процесса, когда при решении задачи для нахождения искомых значений многократно повторяют какой-то процесс (выполняют последовательные итерации), получая последовательность решений (значений). Говорят, что эта последовательность сходится к точному решению, если при неограниченном возрастании числа итераций решение все ближе приближается к действительному и в пределе (при устремлении числа итераций к бесконечности) равно ему. К таким задачам относится и задача вычисления при разложении его в ряд. Чем больше членов ряда мы возьмем, тем ближе его значение будет приближаться к действительному; при этом значения последних слагаемых здесь должны все более уменьшаться. Скорость этого уменьшения характеризует скорость процесса схождения итерационного процесса.
Естественно, чем быстрее сходится процесс, тем лучше, потому что в этом случае для получения приемлемого результата с заданной погрешностью можно будет взять меньше членов ряда, или выполнить меньше итераций (повторений процесса), что уменьшает объем вычислений.
Скачать презентацию Введение Понятие численных методов Приближенные вычисления Погрешность Сходимость
Введение.ppt