Введение Элементы формальной логики Лекция 3 Умозаключение

Введение. Элементы формальной логики. Лекция 3

Умозаключение l l l Виды умозаключений. Непосредственное умозаключение. ¡ Умозаключение путем обращения суждения. ¡ Умозаключение путем превращения суждений. ¡ Умозаключения путем противопоставления предикату. Опосредованное дедуктивное умозаключение. Дополнительные виды силлогизмов. Индуктивные умозаключения. Математическая индукция.

Виды умозаключений ¡ ¡ ¡ Умозаключение – форма мысли, в которой устанавливается такая связь между суждениями, с помощью которых обеспечивается получение новых истинных суждений на основе уже имеющихся истинных суждений. Вывод - новое истинное суждение, полученное в результате умозаключения. Посылка - исходные суждения. Между посылками и выводом должно существовать отношение следования. Вывод следует из посылок, если истинность посылок приводит к истинности умозаключения, т. е. важно следование и важна истинность посылок. Задача логики: сформулировать правила, обеспечивающие истинность вывода при условии истинности суждения.

Виды умозаключения ¡ Дедуктивное умозаключение ( «дедукция» – от лат. «выведение» ) – обеспечивает переход от более общих суждений к менее общим, то есть частный случай подводится под действие общего закона, правила, теоремы. Различают: непосредственное умозаключение - истинность вывода обосновывается с помощью одной посылки. ¡ опосредованное умозаключение - с помощью двух и более посылок. ¡ ¡ Индуктивное умозаключение (от лат. «наведение» ) - если при построении умозаключения производится переход от истинности единичного или частного суждения к общим. Различают: ¡ полную индукцию (обобщение на основе конечной обозримой области фактов). ¡ неполную (относится к бесконечной области фактов).

Непосредственное умозаключение строится двумя путями: ¡ Путем преобразования исходного суждения (посылки) ¡ На основе знаний об отношениях между суждениями. Умозаключение путем обращения суждения ¡ При таком умозаключении меняются субъект и предикат исходного суждения:

Примеры: ¡ Все дельфины млекопитающие, следовательно, некоторые млекопитающие являются дельфинами. ¡ Все ЭВМ являются компьютерами, следовательно, все компьютеры являются ЭВМ. ¡ Некоторые студенты являются филателистами, следовательно, некоторые филателисты являются студентами. ¡ Некоторые музыканты – скрипачи, следовательно, все скрипачи – музыканты.

¡ ¡ ¡ Обращение бывает двух видов: чистое или простое (примеры 2 и 3, квантор не меняется) и с ограничениями (примеры 1 и 4, квантор меняется на противоположный). Простое обращение, когда субъект и предикат либо оба распределены, либо оба не распределены. С ограничением, когда субъект распределен, а предикат нет или наоборот.

Обращение суждений

Умозаключение путем превращения суждений ¡ При превращении меняется качество посылки без изменения количества, при этом предикат заключения является отрицанием предиката посылки. Частноутвердительное превращается в частноотрицательное, общеутвердительное в общеотрицательное. Превращению могут быть подвержены все суждения.

Примеры: ¡ ¡ Все женщины красивы, следовательно, ни одна женщина не является не красивой. Некоторые мужчины – джентльмены, следовательно, некоторые мужчины не являются не джентльменами.

Превращение суждений

Умозаключения путем противопоставления предикату ¡ Противопоставление предикату – это такое непосредственное умозаключение, при котором предикатом становится субъект, а субъектом понятие противоречащее предикату исходного суждения, причем связка меняется на противоположную: То есть, сначала проводится превращение, а затем обращение.

Пример: Все студенты сдают экзамены Ни один не сдающий экзамен не является студентом

¡ ¡ Непосредственное умозаключение может основываться на отношениях между суждениями Такие умозаключения выстраиваются по логическому квадрату, если есть одиночная связь между соответствующими значениями истинности.

¡ Если связь неоднозначная, то суждение правильно, если двигаться по ребру, определяющему однозначную связь.

Опосредованное дедуктивное умозаключение Простой категорический силлогизм (ПКС) - если посылки и вывод в опосредованном дедуктивном умозаключении являются простыми категорическими суждениями. ¡ В структуре простого категорического силлогизма имеются две посылки и вывод. ¡

Опосредованное дедуктивное умозаключение ¡ ¡ ¡ Для того чтобы между посылками и выводом было отношение следования они должны включать общие понятия. Такие общие понятия называются средним термином (М). Понятие, которое входит в одну из посылок и стоит на месте субъекта в выводе называется субъектом простого категорического силлогизма (S). Понятие, которое входит в одну из посылок и в вывод и стоит на месте предиката в выводе называется предикатом простого категорического силлогизма (Р).

Опосредованное дедуктивное умозаключение ¡ ¡ ¡ Посылка содержащая предикат и средний термин – большая посылка (БП), которая стоит на первом месте Посылка, содержащая субъект и средний термин – меньшая посылка (МП), которая стоит на втором месте. Вывод содержит субъект и предикат. Структура ПКС:

Правила ПКС: Правила посылок: l l По крайней мере, одна из посылок должна быть суждением общим. Из двух частных посылок вывод невозможен. Если одна из посылок суждение частное, вывод будет частным. По крайней мере, одна из посылок должна быть суждением утвердительным. Из двух отрицательных суждений вывод невозможен. Если одна из посылок суждение отрицательное, вывод будет отрицательным. Правила терминов: l l l В ПКС может быть только 3 термина (M, S, P) Средний термин должен быть распределен, по крайней мере, в одной из посылок. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении.

Фигуры ПКС ¡ В зависимости от положения среднего термина в посылках получают 4 варианта ПКС, которые называются фигурами ПКС.

Правила для фигур ПКС I фигуры: ¡ ¡ ¡ большая посылка – общее суждение, меньшая – утвердительное суждение. В I фигуре вывод может быть любым суждением. Пример: «Все металлы электропроводники, медь – металл, следовательно, медь является электропроводником» .

II фигура: ¡ ¡ ¡ большая посылка – общее суждение, а одна из посылок и вывод отрицательные суждения. Во II фигуре вывод только отрицательный. Пример: «Все партии являются политическими организациями, некоторые организации выражают интересы предпринимателей, следовательно, некоторые организации, выражающие интересы предпринимателей, являются партией» .

III фигура: ¡ ¡ ¡ меньшая посылка – утвердительное суждение, вывод – частное суждение. В III фигуре только частный вывод. Пример: «Все партии являются политическими организациями, некоторые организации выражают интересы предпринимателей, следовательно, некоторые организации, выражающие интересы предпринимателей, являются партией» .

IV фигура: если большая посылка – утвердительное суждение, то меньшая – общее суждение; если одна из посылок – отрицательное суждение, то большая посылка – общее суждение. ¡ IV фигура редко находит применение в логике. Пример: «Все студенты – учащиеся, все учащиеся – люди, некоторые люди – студенты» . ¡

Модусы ПКС ¡ Каждый из возможных вариантов простых суждений, из которых строятся ПКС, называется модусом ПКС. Всего имеется 19 правильных модусов для ПКС. l AAA, EAE, AII, EIO l EAE, AEE, EIO, AOO l AAI, EIO, IAI, OAO, AII, EAO l ААI, AEE, IAI, EAO, EII

Дополнительные виды силлогизмов. ¡ ¡ Энтимемы – неполные силлогизмы, то есть с пропущенными посылками. Для проверки правильности их нужно восстановить до полного силлогизма. Если это сделать нельзя, то силлогизм неправильный. Пример: Дельфины не рыбы, так как они киты (вывод). Ни один кит не рыба (общее отрицательное суждение). Все дельфины киты, все дельфины – не рыбы (суждение по модусу EAE).

Ряд силлогизмов используют сложные суждения: ¡ Условно-категорический силлогизм. Одна из посылок – импликация ( ). ¡ Разделительный категорический силлогизм. Одна из посылок – «разделительное или» ( ). ¡ Условные силлогизмы, где все посылки – условные суждения. ¡ Условно-разделительные силлогизмы. Одна посылка условная, а другая разделительная. В зависимости от числа альтернатив различают дилемму, трилемму и т. д.

Индуктивные умозаключения. Математическая индукция. ¡ Научная индукция – основывается на специальном математическом аппарате, например на теории вероятностей и математической статистике. Эти методы призваны исключить случайность в выводе. ¡ Математическая индукция – позволяет по некоторой обозримой области объектов с помощью индукционных шагов сделать общее заключение.

Пример: ¡ Получить методом математической индукции формулу суммы n первых нечетных чисел.

Сделаем индукционный шаг: допустим, что эта формула соблюдается для п она соблюдается и для п+1. Докажем это: что и требовалось доказать формула верна для п