Введение Элементарные булевы функции 1 2 3

Введение Элементарные булевы функции

1. 2. 3. 4. 5. Основные логические операции и их свойства Функции алгебры логики Формулы Интерпретация Логическое следование и логическая эквивалентность 6. Подстановки

Основные логические операции и их свойства • • конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание

Функции алгебры логики , где Булева функция f существенно зависит от переменной xi, если существует такой набор значений a 1, …, ai-1, ai+1, …, an, что f(a 1, …, ai-1, 0, ai+1, …, an)≠ f(a 1, …, ai-1, 1, ai+1, …, an).

Пример x 1 x 2 f 1 f 2 0 0 0 1 0 1 1 1 0

Булевы функции одной переменной – отрицание Булевы функции двух переменных – конъюнкция – дизъюнкция – сложение по модулю 2 – импликация – эквивалентность

Высказывания • простые высказывания • составные высказывания

Интерпретация А(х1, …, xn) – пропозициональная формула, где х1, …, xn – пропозициональные переменные. Конкретный набор истинностных значений, приписанных переменным х1, …, xn, называется интерпретацией формулы А.

Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой (или тавтологией). Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием).

• • Теорема 1. Пусть А – некоторая формула. Тогда: если А – тавтология, то ¬А – противоречие, и наоборот; если А – противоречие, то ¬А – тавтология, и наоборот; если А – тавтология, то неверно, что А – противоречие, но не наоборот; если А – противоречие, то неверно, что А – тавтология, но не наоборот.

Теорема 2. Если формулы А и А В – тавтологии, то формула В – тавтология.

Логическое следование и логическая эквивалентность Формула В логически следует из формулы А (А В), если формула В имеет значение И при всех интерпретациях, при которых формула А имеет значение И. Формулы А и В логически эквивалентны (А В), если они являются логическим следствием друга.

Теорема 3. (P Q) (¬P/Q).

Теорема 4. Если А, В, С – любые формулы, то имеют место следующие логические эквивалентности: A/A=A A&A=A A/B=B/A A&B=B&A A/(B/C)=(A/B)/C A&(B&C)=(A&B)&C A/(B&C)=(A/B)&(A/C) A&(B/C)=(A&B)/(A&C) (A&B)/A=A (A/B)&A=A A/Л=A A&Л=Л A/И=И A&И=A ¬(¬A)=A ¬(A&B)=¬A/¬B ¬(A/B)=¬A&¬B A/¬A=И A&¬A=Л

Теорема 5. P 1&…&Pn Q тогда и только тогда, когда (P 1&…&Pn) Q - тавтология. Теорема 6. P 1&…&Pn Q тогда и только тогда, когда P 1&…&Pn&¬Q – противоречие.

Подстановки Теорема 7. Если А(…х…) – тавтология и В- любая формула, то А(…х…){В//x} – тавтология.

Раздел 1. Логические исчисления 1. Исчисление высказываний

1. Классическое определение исчисления высказываний 2. Частный случай формулы 3. Алгоритм унификации 4. Производные правила вывода 5. Дедукция 6. Некоторые теоремы теории α 7. Другие аксиоматизации исчисления высказываний

Характеристики логического исчисления язык исчисления • набор используемых символов - алфавит; • правила построения из алфавита осмысленных утверждений - формул; • некоторый фиксированный набор формул - система аксиом; синтаксис исчисления • набор правил

Классическое определение исчисления высказываний Алфавит: Формулы: Аксиомы: Правило: ¬ и - связки ( , ) – служебные символы a, b, …, a 1, b 1, … - пропозициональные переменные 1) переменные суть формулы 2) если А, В - формулы, то (¬А) и (А В) –формулы. А 1: (А (В А)) А 2: ((А (В С)) ((А В) (А С))) А 3: ((¬В ¬А) ((¬В А) В))

Определения: A&B: =¬(A ¬B), A/B: =¬A B

Частный случай формулы В: =A(…, xi, …){Bi//xi}i=1. . n – унификатор С=A(…, xi, …){Хi//xi}i=1. . n & C=B(…, xi, …){Хi//xi}i=1. . n С - совместный частный случай формул А и В {Хi//xi}i=1. . n - общий унификатор Формулы, которые имеют совместный частный случай, называются унифицируемыми.

Алгоритм унификации Вход: формулы А и В. Выход: false, если формулы не унифицируемы; true и общий унификатор S в противном случае. Алгоритм унификации – рекурсивная функция Unify. if f(A) – переменная then begin v: =f(A); {переменная} if S[v]= then begin S[v]: =B; return true {т. е. добавляем подстановку {B//v}} end else return (S[v]≠B) {либо эта подстановка уже есть, либо унификация невозможна} end; if f(A)≠f(B) then return false; {главные операции различны, унификация невозможна} if f(A)=’¬’ then return Unify(r(A), r(B)); {пытаемся унифицировать операнды отрицаний} if f(A)=’ ’ then return Unify(l(A), l(B))&Unify(r(A), r(B)); {пытаемся унифицировать операнды импликаций}

Производные правила вывода Выводом формулы А из конечного или бесконечного множества формул Т в исчислении α называется конечная последовательность формул А 1, А 2, …, An, в которой An = A и каждая из формул Ai, i 1. . n является или аксиомой, или формулой из Т (исходной формулой), или получается по некоторому правилу вывода из предыдущих формул последовательности. Если существует вывод формулы А из множества формул Т исчисления α, то говорят, что в α А выводима из Т. Т ├α А, или В 1, В 2, …, ВК ├α А, если Т = {В 1, В 2, …, ВК}. Формулы из Т - посылки вывода. Формула из А языка α, выводимая в исчислении α из пустого множества формул, называется доказуемой формулой, или теоремой исчисления α, а сам вывод формулы А из пустого множества формул называется ее доказательством. ├α А.

Теорема 1. 1. ├α А А Теорема 1. 2. А├α В А (правило введения импликации)

Дедукция Теорема 1. 3 (дедукции) Если Т, А├αВ, то Т├αА В и обратно. Следствие 1. Если А├αВ, то ├αА В и обратно. Следствие 2. (правило транзитивности) А В, В С ├α А С. Следствие 3. (правило сечения) А (В С), В ├α А С.

Некоторые теоремы теории α Теорема 1. 4. В теории α выводимы следующие теоремы: А) ├α ¬¬А А Б) ├α А ¬¬А В) ├α ¬А (А В) Г) ├α (¬В ¬А) (А В) Д) ├α (А В) ( ¬В ¬А) Е) ├α А (¬В ¬(А В)) Ж) ├α (А В) ((¬А В) В)

Другие аксиоматизации исчисления высказываний Гильберт и Аккерман, 1938 г. Связки: /, ¬ (A B: =¬A/B) Россер, 1953 г. Связки: &, ¬ (A B: =¬(A&¬B)) Клини, 1952 г. Связки: ¬, &, /, Аксиомы: A/A A A A/B B/A (B C) (A/B A/C) Аксиомы: A A&B A (A B) (¬(B&C) ¬(C&A)) Аксиомы: A (B A) (A (B C)) ((A B) (A C)) A&B A A&B B A (B (A&B)) A (A/B) B (A/B) (A C) ((B C) ((A/B) C)) (A B) ((A ¬B) ¬A) ¬¬A A Правило: Modus ponens

Раздел 1. Логические исчисления 2. Исчисление предикатов

1. Предикаты и операции над ними 2. Основные понятия формальной теории исчисления предикатов 3. Логическое следование и логическая эквивалентность 4. Использование равносильностей для упрощения формул 5. Семантика исчисления предикатов

Предикаты и операции над ними Любое отображение Р: Мn называется nместным предикатом на множестве М. М – произвольное непустое множество, n N {0}, Мn — n-нная декартова степень множества М. Р(x 1, …, xn) – обозначение n-местного предиката

Примеры «Х есть простое число» Р(х) = и, если х простое число, л, если х – не является простым числом. «Число z является суммой чисел x, y» P(x, y, z) = и, если z = x + y, л, если z x + y

Получение из одних предикатов на множестве М других на том же множестве 1. Замена переменной (или нескольких переменных) некоторым элементом из М. 2. Отождествление (замена) переменных. 3. Применение логических операций для предикатов. 4. Навешивание кванторов всеобщности и существования.

P(x, y) =и, если x делит y, л, если x не делит y у P(x, y) и, если x = 1, л, если x 1, х P(x, y) = л х P(x, y) и у P(x, y) и

Основные понятия формальной теории исчисления предикатов Алфавит: связки основные дополнительные служебные символы кванторы всеобщности существования предметные константы переменные предметные предикаты функторы ¬, &, / a, b, …, a 1, b 1, … x, y, …, x 1, y 1, … P, Q, … f, g, …

Вхождения переменных в атомарную формулу называются свободными. Вхождения переменной х в формулы х А и х А называются связанными. Формула, не содержащая свободных вхождений переменных, называется замкнутой.

Система аксиом: I. 1) A (B A) 2) (A (B C)) ((A B) (A C)) II. 1) A B A 2) A B B 3) (A B) ((A C) (A B C)) III. 1) A Av. B 2) B Av. B 3) (A C) ((B C) (Av. B C)) IV. 1) A ¬¬A 2) ¬¬A A 3)(A B) (¬B ¬A) V. 1) x A(x) A(t) 2) A(t) x A(x).

Правила: I. Правило заключения: , где А, В – любые формулы. II. Правило -введения: , где А содержит, а В не содержит свободные вхождения переменной х. III. Правило -удаления: , где А содержит, а В не содержит свободные вхождения переменной х.

Исчисление предикатов, которое не содержит предметных констант, функторов, предикатов и собственных аксиом, называется чистым. Исчисление предикатов, которое содержит предметные константы иили функторы иили предикаты и связывающие их собственные аксиомы, называется прикладным. Исчисление предикатов, в котором кванторы могут связывать только предметные переменные, но не могут связывать функторы или предикаты, называется исчислением первого порядка.

Логическое следование и логическая эквивалентность ¬ х А(х) = х ¬А(х) х (А(х)&В(х))= х А(х) & x B(x) х (А(х)/В(х))= х А(х) / x B(x) х (А(х)&В(х)) х А(х) & x B(x) х А(х) / x B(х) х(А(х)/B(x)) x y A(x, y) = y x A(x, y) x (A(x)&C) = x A(x) & C x (A(x)/C) = x A(x) / C C x A(x) = x (C A(x)) x A(x) C x (A(x) C) где формула С не содержит никаких вхождений переменной х.

Пусть А – формула алгебры предикатов, не содержащая операции . Формула, полученная из А заменой всех вхождений на , называется двойственной к А (обозначение А*). Утверждение (Принцип двойственности. ) Для любых формул А, В алгебры предикатов: A B A* B*

Использование равносильностей для упрощения формул Формула алгебры предикатов называется приведенной, если в ней не используется операция , а отрицание или не используется совсем, или относится лишь к элементарным формулам. Предваренной (или нормальной) формулой алгебры предикатов называется любая формула вида δ 1 xi 1δ 2 xi 2…δkxik A, где δ 1, …, δk – кванторы, а А приведенная формула, не содержащая кванторов.

Теорема 2. 1. Для всякой формулы А алгебры предикатов существует равносильная ей приведенная формула. Теорема 2. 2. Для всякой формулы А алгебры предикатов существует равносильная ей предваренная формула.

Семантика исчисления предикатов Интерпретация I (прикладного) исчисления предикатов с областью интерпретации М – это набор функций, которые сопоставляют • каждой предметной константе а некоторые элементы I(a) из М; • каждому n-местному функтору f операцию I(f), определенную на множестве М; • каждому n-местному предикату Р отношение I(P) на М.

Теорема 2. 3. Если каждая формула множества формул Т истинна в некоторой интерпретации исчисления и T├ A, то А – истинна. Следствие 1. Всякая доказуемая формула исчисления предикатов является истинной в любой интерпретации исчисления . Следствие 2. Исчисление предикатов непротиворечиво, т. е. в нем не может быть доказуемой никакая формула А вместе с ее отрицанием, или никакая формула вида А&¬А.

Теорема 2. 4. (Геделя о полноте исчисления предикатов). Если формула исчисления предикатов истинна во всех его интерпретациях, то она доказуема в исчислении предикатов. Множество формул Т исчисления называется полным, если для каждой замкнутой формулы языка имеет место Т├ А или Т ├ А.

Раздел 1. Логические исчисления 3. Автоматическое доказательство теорем

1. Постановка задачи. Метод резолюций 2. Правило резолюции для исчисления высказываний 3. Правило резолюции для исчисления предикатов 4. Опровержение методом резолюций 5. Алгоритм метода резолюций

Постановка задачи. Метод резолюций Алгоритм, который проверяет отношение Т├τ S для формулы S, множества формул Т, и теории τ называется алгоритмом автоматического доказательства теорем.

Основа метода резолюций: Теорема 3. 1. Если Т, ¬S├F, где F –любое противоречие (тождественно ложная формула), то T├S.

Правило резолюции для исчисления высказываний С 1 и С 2 – предложения в исчислении высказываний, С 1=Р/C 1’ C 2=¬P/C 2’, где Р – пропозициональная переменная, C 1’ и C 2’- любые предложения. Предложения С 1 и С 2 называются резольвируемыми, предложение С 1’/C 2’ – резольвентой (является предложением), формулы Р и ¬Р – контрарными литералами.

Теорема 3. 2. Правило резолюции логично, т. е. резольвента является логическим следствием резольвируемых предложений.

Правило резолюции для исчисления предикатов С 1 и С 2 – два предложения в исчислении предикатов. С 1=Р 1/C 1’ C 2=¬P 2/C 2’, атомарные формулы Р 1 и Р 2 унифицируемы унификатором σ. Предложение (C 1’/C 2’)σ – резольвента - получено из предложения C 1’/C 2’ применением унификатора σ.

Опровержение методом резолюций Задача: установить выводимость S├G. 1. 2. Каждую формулу множества S и формулу ¬G независимо преобразовать в множество предложений. Отыскать резольвируемые предложения, к ним применить правило резолюций и резольвенту добавить в множество до тех пор, пока не будет получено пустое предложение. Если среди текущего множества предложений нет резольвируемых, то теорема опровергнута. Если в результате очередного применения правила резолюции получено пустое предложение, то теорема доказана. Если процесс не заканчивается, то это ничего не означает.

Пример Доказать методом резолюций теорему ├α (((А В) А) А).

Алгоритм метода резолюций Задача: проверить выводимость формулы G из множества формул S. Вход: множество предложений С, полученных из множества формул S и формулы ¬G. Выход: 1 - если G выводимо из S, 0 – в противном случае. Алгоритм: M: =C; {M – текущее множество предложений} while пустое предложение M do begin Choose(M, c 1, c 2, p 1, p 2, σ); {выбор родительских предложений} if c 1, c 2 не найдены then return 0; {нечего резольвировать} c: =R(c 1, c 2, p 1, p 2, σ); {вычисление резольвенты} M: =M {c} {пополнение текущего множества} end; return 1; {теорема доказана}

Раздел 3. Теория алгоритмов 9. Формализация понятия алгоритм

1. Необходимость уточнения понятия алгоритма 2. Формализации Черча, Тьюринга и Маркова

Возможные случаи протекания алгоритмического процесса: 1. На некотором шаге возникает состояние, алгоритм A применим к опознаваемое как заключительное. исходному набору данных 2. Каждое очередное состояние сменяется последующим до бесконечности, т. е. процесс вычислений никогда не останавливается. 3. При некотором состоянии возникает ситуация, когда процесс вычислений обрывается без выдачи результата (безрезультатная остановка).

В произвольном алгоритме наряду с множеством начальных данных X имеется подмножество D в X, состоящее в точности из тех объектов, для которых существует результат вычислений A(P). Множество D называется областью применимости алгоритма.

Необходимость уточнения понятия алгоритма Для доказательства несуществования алгоритма необходимо располагать точным определением понятия алгоритма.

Формализации Черча, Тьюринга и Маркова Варианты определения алгоритма: 1) А. Черч и С. Клини: в алгоритмическом процессе вычисляется значение некоторой функции f(x 1, x 2, . . . , xn), определенной на множестве натуральных чисел. 2) А. Тьюринг: алгоритмический процесс—это работа некоторой воображаемой вычислительной машины— машины Тьюринга. 3) А. А. Марков: алгоритмический процесс – это переработка слов некоторого алфавита с помощью точно описанных правил переработки.

Раздел 3. Теория алгоритмов 10. Рекурсивные функции

1. 2. 3. 4. 5. Конструктивные объекты Алгоритмы и функции Частичные функции Примитивно рекурсивные функции Частично рекурсивные функции. Тезис Черча

Конструктивные объекты Исходными и промежуточными данными, а также и результатом алгоритмического процесса являются конструктивные объекты. Конструктивные объекты могут быть представлены словами в некотором конечном алфавите.

Алгоритмы и функции Алгоритм A вычисляет некоторую n-арную функцию f(x 1, x 2, . . . , xn), определенную на множестве N.

Частичные функции Частичной n-арной функцией f, заданной на множестве натуральных чисел, называется правило, которое некоторым наборам (x 1, x 2, . . . , xn) натуральных чисел ставит в соответствие однозначно определенное число f(x 1, x 2, . . . , xn) N. Множество X, состоящее из всех наборов (x 1, x 2, . . . , xn), для которых существует значение функции, называется областью определения функции f (Dom(f)). Множество всех значений функции f называется областью значений функции f (Ran(f)).

Замечание 10. 1. Пусть f —n-арная частичная функция с условием Dom(f) . Тогда число n определено однозначно. Функция f всюду определена, если ее значение определено при любом наборе аргументов.

Функция f(x 1, x 2, . . . , xn) называется вычислимой, если существует алгоритм A, вычисляющий функцию f.

Примитивно рекурсивные функции Исходные функции: Функция следования s(x)= x+ 1 для всех x N Нулевая функция on(x 1, x 2, . . . , xn )= 0 для всех x 1, x 2, . . . , xn N Функция проектирования Inm(x 1, x 2, . . . , xn) =xm, n 1 и 1 m n

Утверждение 10. 1 Следующие простейшие функции вычислимы. Функция следования s(x)= x + 1. Нулевая функция on(x 1, x 2, . . . , xn) = 0. Функция проектирования Inm(x 1, x 2, . . . , xn)= xm.

Способы построения из имеющихся вычислимых функций новых вычислимых функций: • Оператор суперпозиции S f(x 1, x 2, …, xn)= h(g 1(x 1, x 2, …, xn), g 2(x 1, x 2, …, xn), …, gm(x 1, x 2, …, xn)) • Оператор примитивной рекурсии R f(x 1, x 2, . . . , xn, 0)= g(x 1, x 2, . . . , xn) f(x 1, x 2, . . . , xn, y+ 1)= h(x 1, x 2, . . . , xn, y, f(x 1, x 2, . . . , xn, y))

Функция f называется примитивно рекурсивной, если она может быть получена из простейших функций s(x)= x+ 1, on(x 1, x 2, . . . , xn)= 0, Inm(x 1, x 2, . . . , xn)= xm с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии.

Утверждение 10. 2. Функция f(x) = x примитивно рекурсивна. Утверждение 10. 3 Функция g(x)= x+2 примитивно рекурсивна. Утверждение 10. 4. Постоянная унарная функция f(x)= a примитивно рекурсивна. Утверждение 10. 5. Нульарная функция примитивно рекурсивна.

Способы построения из имеющихся вычислимых функций новых вычислимых функций (продолжение): • Операция введения фиктивных переменных Утверждение 10. 6. Функция сложения f(x, y)= x + y примитивно рекурсивна. Утверждение 10. 7. Функция умножения f(x, y)= xy примитивно рекурсивна.

Примеры Примитивно-рекурсивными являются следующие функции: • • • f(x, y)=|x-y|; min(x, y); max(x, y); r(x, y) – остаток от деления y на x q(x, y) =[y/x] – целая часть дроби y/x

Примеры «Арифметизированные» логические функции (числовые функции, которые на множестве {0, 1} ведут себя как логические функции), примитивно-рекурсивны: ¬x; X/y; X&y. Вывод: логические функции примитивно-рекурсивны.

Отношение R(x 1, …, xn) называют примитивнорекурсивным, если примитивно-рекурсивна его характеристическая функция χR: Предикат называют примитивно-рекурсивным, если его характеристическая функция примитивнорекурсивна. Если предикаты P 1, … Pk примитивно-рекурсивны, то и предикат, полученный из них с помощью логических операций, примитивно-рекурсивен.

Примеры Следующие предикаты и отношения примитивно рекурсивны: • • предикат «x делится на n» предикат «x делится на n и m» отношение x 1>x 2 если функции f(x) и g(x) примитивно-рекурсивны, то предикат «f(x)=g(x)» также примитивно рекурсивен

Примитивно-рекурсивные операторы Оператор называется примитивно-рекурсивным (ПР -оператор), если он сохраняет примитивную рекурсивность функции. Например, • оператор суперпозиции • оператор примитивной рекурсии • В – оператор условного перехода. По функциям q 1(x 1, …, xn) и q 2(x 1, …, xn) и предикату P(x 1, …, xn) строит функцию f(x 1, …, xn)=B(q 1, q 2, P):

Функции Аккермана Обозначения: P 0(a, x)=a+x (действие 0 -ой ступени); P 1(a, x)=a*x (действие 1 -ой ступени); P 2(a, x)=ax (действие 2 -ой ступени). P 1(a, x+1)=P 0(a, P 1(a, x)); P 1(a, 1)=a; P 1(a, 0)=0; P 2(a, x+1)=P 1(a, P 2(a, x)); P 2(a, 1)=a; P 2(a, 0)=1; Для n=2, 3, … Pn+1(a, 0)=1; Pn+1(a, 1)=a; Pn+1(a, x+1)=Pn(a, Pn+1(a, x)). При n=2: P 3(a, 0)=1; P 3(a, 1)=a; P 3(a, 2)=aa; P 3(a, 3)=aa^a. Обозначения: B(n, x)=Pn(2, x); A(x)=B(x, x). Функции B(n, x) называют функциями Аккермана, а функцию A(x) – диагональной функцией Аккермана. B(0, x)=2+x; B(n+1, 0)=sg(n); B(n+1, x+1)=B(n, B(n+1, x)). Рекурсия ведется сразу по двум переменным.

Теорема. Функция Аккермана A(x) растет быстрее, чем любая примитивно-рекурсивная функция, и, следовательно, не является примитивнорекурсивной.

Частично рекурсивные функции. Тезис Черча Оператор минимизации M Пусть g—функция от n + 1 переменной. Функция f от n переменных получена из функции g с помощью оператора минимизации, если равенство f(x 1, . . . , xn, )= y верно тогда и только тогда, когда f(x 1, . . . , xn, y)= 0, а значения f(x 1, . . . , xn, 0), . . . , f(x 1, . . . , xn, y-1) определены и не равны нулю.

Пример Найти функцию f, полученную из функции o(x) применением оператора минимизации.

Ограниченный оператор минимизации для предикатов: Оператор минимизации - удобное средство для построения обратных функций.

Примеры • [z/x]=μyy<=z(x(y+1)>z) • [√x]= μyy<=z((y+1)2>x) • [logkx]= μyy<=z(ky+1>x)

Функция f называется частично рекурсивной функцией, если она может быть получена из следующих простейших функций: 1) функции следования s(x)= x + 1, 2) нулевой функции on(x 1, x 2, . . . , xn)=0, 3) функции проектирования Inm(x 1, x 2, . . . , xn)=xm с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

Утверждение 10. 8. Всякая частично рекурсивная функция f является вычислимой функцией. Тезис Черча. Каждая вычислимая функция частично рекурсивна.

Раздел 3. Теория алгоритмов 11. Машины Тьюринга

1. Машина Поста 2. Машина Тьюринга

Машина Поста Пример программы: (0, 0, 0, L, 1) (0, 1, 0, R, 1) (1, 0, 0, L, 1) (2, 0, 0, L, 1)

Условия вычисления функции f машиной Поста: 1. Пусть строка (x 1, x 2, . . . , xn) содержится в области определения функции f. Тогда машина M, начиная работать и обозревая левую единицу строки (x 1, x 2, . . . , xn), на некотором шаге останавливается, обозревая левую единицу строки f(x 1, x 2, . . . , xn). 2. Пусть строка (x 1, x 2, . . . , xn) не содержится в области определения функции f. Тогда машина M работает бесконечно.

Пример Указать машину Поста, вычисляющую функцию f(x, y) = x + y.

Тезис Тьюринга. Если функция f является вычислимой, то существует машина Тьюринга, вычисляющая функцию f.

Машина Тьюринга A ={a 0, a 1, . . . , an} — символы в ячейках (внешний алфавит), Q ={ q 0, q 1, . . . , qm} — состояния машины (внутренний алфавит). Виды команд: 1. qiaj kal, q 2. qiaj kal. L, q 3. qiaj kal. R, q где 1 i m и 0 j n.

Условия вычисления функции f(x 1, x 2, . . . , xn) машиной M: 1. Если f(x 1, x 2, . . . , xn) существует, то машина, начиная работу с конфигурации q 11 x 1. . . 01 xn 0, останавливается и при этом имеет конфигурацию qz 1 f(x 1, x 2, . . . , xn)0. . . 0. 2. Если f(x 1, x 2, . . . , xn) не существует, то машина работает бесконечно.

Примеры Построить машины Тьюринга для: вычисления функции f(x)= x+1 сложения двух чисел переработки слова α в α*α вычисления функции f(x)= 2 x Теорема 11. 1. Если функции f 1(x) и f 2(y) вычислимы по Тьюрингу, то их композиция g(x)=f 2(f 1(x)) также вычислима по Тьюрингу.

Вычисление предикатов на машинах Тьюринга Говорят, что машина Т вычисляет предикат P(α) (α – слово в алфавите A*), если T(α)=ω, где ω=T (true), когда P(α) истинно, ω=F (false), когда P(α) ложно. Если P(α) не определен, то машина Т не останавливается. Говорят, что машина Т вычисляет P(α) с восстановлением, если Т(α)=ωα.

Пример На машине Тьюринга вычислить предикат «α – четное число» .

Пусть функция f(α) задана описанием: «если P(α) истинно, то f(α)=g 1(α), иначе f(α)=g 2(α)» . Функция f(α) называется развилкой или условным переходом к g 1(α) и g 2(α) по условию P(α). Теорема 11. 2. Если функции g 1(α) и g 2(α) и предикат P(α) вычислимы по Тьюрингу, то развилка g 1(α) и g 2(α) по P(α) также вычислима.

Пусть функция f(α) задана описанием: «пока истинно P(α) вычислять g 1(α), иначе f(α)=g 2(α)» . Функция f(α) называется повторением или циклом от g 1(α) и g 2(α) по условию P(α). Теорема 11. 3. Если функции g 1(α) и g 2(α) и предикат P(α) вычислимы по Тьюрингу, то цикл g 1(α) и g 2(α) по P(α) также вычислим.

Пример Построить машину Тьюринга для сложения n чисел.

Машина Тьюринга U, вычисляющая функцию от двух переменных и такая, что для любой машины Т с системой команд ΣТ U(ΣТ, α)=T(α), если T(α) определена (или останавливается), U(ΣТ, α)=T(α) не останавливается, если Т(α) не останавливается, называется универсальной машиной Тьюринга. Теорема 11. 4. Универсальная машина Тьюринга существует. Теорема 11. 5. Не существует машины Тьюринга, решающей проблему остановки для произвольной машины Тьюринга.

Машина Тьюринга называется детерминированной, если в ее программе нет ни одной пары команд с совпадающими левыми частями. В противном случае машина Тьюринга называется недетерминированной. Вероятностная машина Тьюринга - машина, в которой, из любого состояния и значений на ленте, может быть совершен один из нескольких возможных переходов, а выбор осуществляется вероятностным образом. Универсальной машиной Тью ринга называют машину Тьюринга, которая может заменить собой любую машину Тьюринга.

Раздел 3. Теория алгоритмов 12. Машины с неограниченными регистрами

1. Команды МНР 2. Вычисление функций на МНР. Вычислимость частично рекурсивных функций на МНР 3. Подпрограммы

МНР • Регистры R 1, R 2, R 3, . . . , • Программа машины

• Условие остановки. Машина останавливается тогда и только тогда, когда невозможно выполнить очередную предписанную команду. • Результат вычислений. Если выполнение программы завершилось, то число r 1 из регистра R 1 считается результатом применения алгоритма к исходному набору чисел r 1, r 2, . .

Вычисление функций на МНР Пример № 1. Составить программу для МНР, которая вычисляет функцию f(x)= x + 2. Пример № 2. Составить программу для МНР, которая вычисляет функцию f(x, y)= x + y. Пример № 3. Пример № 4.

Пусть М(x 1, x 2, …, xn) - n-местный предикат на натуральных числах. характеристическая функция предиката Предикат М(х) разрешим, если функция СМ вычислима; Предикат М(х) неразрешим, если функция СМ невычислима. Пример. Следующие предикаты разрешимы: 1. «x≠y» 2. «x=0»

Теорема 12. 1 Следующие функции вычислимы на МНР. 1) Функция следования s(x). 2) Нулевая функция on(x 1, x 2, . . . , xn). 3) Функция проектирования Inm(x 1, x 2, . . . , xn).

Вычислимость частично рекурсивных функций на МНР Теорема 12. 2. Пусть функция f получена из функций h, g 1, g 2, . . . , gm с помощью оператора суперпозиции f(x 1, x 2, . . . , xn)= h(g 1(x 1, x 2, . . . , xn), g 2(x 1, x 2, . . . , xn), . . . , gm(x 1, x 2, . . . , xn)). Если функции h, g 1, g 2, . . . , gm МНР вычислимы, то и функция f также МНР вычислима. Теорема 12. 3. Пусть функция f получена с помощью оператора примитивной рекурсии из функций g и h. Если функции g и h МНР вычислимы, то и функция f также МНР вычислима. Теорема 12. 4. Пусть функция f получена из функции g с помощью оператора минимизации. Если функция g является МНР вычислимой, то и функция f также МНР вычислима.

Рассмотрим функцию f(x 1, …, xn)=B(g 1, g 2, P) - оператор развилки или перехода. Теорема 12. 5. Пусть функции g 1(x 1, …, xn) и g 2(x 1, …, xn) и предикат P(x 1, …xn) вычислимы, тогда вычислима и функция f(x 1, …, xn)=B(g 1, g 2, P).

Рассмотрим функцию h(x)=D(g 1, g 2, P), где h(x) задана следующим образом: «пока P(x) истинно, вычислять g 1(x), иначе вычислять g 2(x)» . D(g 1, g 2, P) называется оператором повторения или цикла. Теорема 12. 6. Пусть функции g 1(x), g 2(x) и предикат P(x) вычислимы, тогда вычислима и функция h(x)=D(g 1, g 2, P).

Следствие 1. Всякая частично рекурсивная функция вычислима на некоторой МНР. Следствие 2. Функция f является вычислимой функцией тогда и только тогда, когда функция f вычислима на некоторой МНР.

Правила взаимодействия подпрограмм Пусть дана программа для МНР, состоящая из s команд. Программа имеет стандартный вид, если во всякой команде условного перехода J(m, n, q) данной программы выполняется неравенство q s + 1. Стандартизацией программы I 1, I 2, . . . , Is называется замена в данной программе всех команд J(m, n, q), где q> s + 1, на команды J(m, n, s + 1). Соединением программ P и Q называется программа из s + t команд вида где команды Is+1, Is+2, . . . , Is+t получены из команд I’ 1 , I’ 2 , . . . , I’t программы Q приращением номеров на число s. При этом каждая команда условного перехода J(m, n, q) из Q заменена на команду вида J(m, n, q+ s).

Выделение регистров для подпрограммы Пусть ρ = ρ(P) число с условием, что действие программы P меняет лишь регистры R 1, . . . , Rρ и не затрагивает регистры Rl для l> ρ. Отводим регистры R 1, . . . , Rρ для работы подпрограммы P, и выделяем регистры Rl при l> ρ в качестве рабочих регистров для остальных команд основной программы Q.

Вставка подпрограммы 1) Распределение памяти. Вычисляется число ρ = ρ(P) и выделяется память R 1, . . . , Rρ, достаточная для работы подпрограммы P. Задается регистр Ri, где i > ρ, для хранения результата работы подпрограммы. 2) Извлечение аргументов. Записываются команды: T(i 1, 1), . . . , T(in, n) для передачи аргументов из места их хранения в регистры R 1, . . . , Rn. 3) Очистка регистров. Записываются следующие команды: Z(n+ 1), . . . , Z(ρ). 4) Вставка команд подпрограммы P. 5) Пересылка результата на хранение. Добавляется команда T(1, i).

Доказательство утверждения 12. 2 Начало Пересылаем аргументы x 1, x 2, . . . , xn на хранение в регистры Rρ+1, . . . , Rρ+n y 1 = G 1(x 1, x 2, . . . , xn) → Rρ+n+1 Ym = Gm(x 1, x 2, . . . , xn) → Rρ+n+m H(y 1, …, ym) → R 1 Остановка

Доказательство утверждения 12. 3 Начало x 1, x 2, . . . , xn, y →Rρ+1, . . . , Rt+1 g(x 1, x 2, . . . , xn) → Rt+3 нет Rt+2=Rt+1 (k=y) h(x 1, x 2, . . . , xn, k, f(x 1, x 2, . . . , xn)) → Rt+3 k: =k+1 Остановка да Rt+3→ R 1

Доказательство утверждения 12. 4 Начало x 1, x 2, . . . , xn →Rρ+1, . . . , Rρ+n g(x 1, x 2, . . . , xn, k) → R 1 нет g(x 1, x 2, . . . , xn, k) =0 k=y k: =k+1 да k→ R 1 Остановка

Раздел 3. Теория алгоритмов 13. Нумерация программ и функций

1. Нумерация множеств 2. Нумерация программ МНР 3. Нумерация множества вычислимых функций

Теория нумераций — раздел теории алгоритмов, в котором изучаются свойства классов объектов, занумерованных с помощью натуральных чисел. Перечислением или нумерацией множества X называется отображение f: Z 0→X множества Z 0 (целые неотрицательные числа) на множество X.

Геделевская нумерация Множество X называется эффективно счетным, если существует функция f: Z 0→X, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между множествами Z 0 и X такая, что и f--1 - вычислимые функции, 1) Существует алгоритм A 1, вычисляющий по элементу его номер. 2) Существует алгоритм A 2, устанавливающий по номеру элемент с данным номером. Функции f и f-1 вычислимы.

Теорема 13. 1. Следующие множества являются эффективно счетными: а) Z 0×Z 0; б) Z 0×Z 0; в) - множество всех конечных последовательностей целых неотрицательных чисел.

Отображение α 2: Z 0×Z 0→ Z 0 α 2(m, n)=2 m *(2 n + 1)-1 α 2 -1(z)=(α 21(z), α 22(z)), где α 21(z) - число двоек в каноническом разложении числа z+1;

Отображение α 3: Z 0×Z 0→ Z 0 α 3(m, n, q)= α 2(m, n), q). α 3 -1(z)=( α 21(z)), α 22(α 21(z)), α 22(z)).

Эффективная счетность множества всех конечных последовательностей целых неотрицательных чисел: α(a 1, a 2, …, ak)=2 a 1+ a 2+1+2 a 1+ a 2+ a 3+2+…+2 a 1+ a 2+…+ ak+(k-1)-1 в двоичной системе счисления:

Теорема 13. 2. Множество всех команд МНР является эффективно счетным. отображение β: K→Z 0 β(Z(n)) = 4 (n - 1); β(S(n)) = 4 (n - 1) + 1; β(T(m, n))=4*α 2(m-1, n-1)+2; β(J(m, n, q))=4*α 3(m-1, n-1, q-1)+3; Теорема 13. 3. Множество P, состоящее из всевозможных программ МНР, является эффективно счетным. Число γ(P) называется геделевым номером программы P или просто номером программы P

Пример 1 Найти геделев номер программы P: I 1: S(1) I 2: S(1) вычисляющей функцию f(x) = x + 2. Пример 2 Вычислить программу Pm по ее геделеву номеру m (m=0, 1, 2, 3).

Нумерация вычислимых функций Пусть f - n-местная функция, вычислимая по программе P с геделевым номером m (fmn). Число m называют индексом функции f. Отображение θ : F N Пусть f —n-арная вычислимая функция, где n 0. Пусть m —номер места f в последовательности f 0, f 1, f 2, … Тогда θ(f)=α 2(m, n).

Теорема 13. 4. Множество всех вычислимых функций счетно.

Теорема 13. 5. Существует невычислимая всюду определенная функция.

Раздел 3. Теория алгоритмов 14. Нормальные алгорифмы

Алгоритмический процесс—это процесс переработки слов некоторого алфавита.

Алфавит и схема нормального алгорифма Нормальный алгорифм A Алфавит нормальног о алгорифма A Схема нормальног о алгорифма некоторая конечная совокупность символов A ={a 1, . . . , am} конечная упорядоченная последовательность формул подстановок

Работа нормального алгорифма 1. 2. 3. 4. 5. Среди левых частей u 1, u 2, . . . , uk в этой схеме нужно отыскать первое по порядку слово ui, которое входит в слово P. Заменить найденное слово ui в слове P на слово vi, и получить некоторое слово P 1. Возможно несколько вхождений ui в слово P. Тогда заменяется на vi первое вхождение ui в слове P. Если при замене применялась заключительная формула, то переработка слова P завершена и алгоритм останавливается. Полученное слово P 1—результат переработки слова P. Если при замене применялась незаключительная формула, то слово P 1 заново обрабатывается схемой Z и алгоритм продолжает работу. Возможно, что при проходе по схеме Z вообще не обнаружено ни одного вхождения слов u 1, u 2, . . . , uk в слово P. Тогда результат переработки—само слово P и алгоритм останавливается.

Условие остановки и результат работы I. Процесс переработки слов обрывается и получено слово Q = A(P), т. е. получен результат применения нормального алгорифма A к слову P. II. Процесс переработки слов бесконечен. Тогда нет результата Q = A(P) и алгорифм A неприменим к слову P.

Пусть А – алфавит, а М 1 и М 2 – алгоритмы над алфавитом А. М 1 и М 2 эквивалентны относительно А, если для любых слов P и Q в алфавите А выполняются условия: Если М 1: P=>Q, то М 2: P=>Q Если М 2: P=>Q, то М 1: P=>Q

Примеры нормальных алгорифмов • • Алгорифм сложения натуральных чисел. Вычисление остатка при делении на 4. Тождественный алгорифм. Аннулирующий алгорифм. Алгорифм, применимый лишь к пустому слову. Удваивающий алгорифм Вычислить функцию в унарной системе счисления • Приписать любое слово Q в конец исходного слова из алфавита A={a, b, c}.

Пусть заданы алфавиты A и A 1. Если A A 1, то алфавит A 1 называется расширением алфавита A. Нормальный алгорифм в каком-либо расширении A 1 алфавита A называется нормальным алгорифмом над алфавитом A.

Принцип нормализации. Пусть задан произвольный вербальный алгорифм A в алфавите A. Тогда существует расширение A 1 алфавита A и нормальный алгорифм A 1 в алфавите A 1 с условием: произвольное слово P в алфавите A перерабатывается нормальным алгорифмом A 1 в тот же самый результат, в который слово P перерабатывается исходным вербальным алгорифмом A.

Операции над алгорифмами Маркова Два алгоритма М 1 и М 2 над алфавитом А называются вполне эквивалентными относительно А, если для любого слова Р в алфавите А выполняется М 1(Р) М 2(Р). Назовем функцию ϕ частично вычислимой по Маркову, если существует нормальный алгорифм М над К (К={*, 1} ), вполне эквивалентный Мϕ (Мϕ алгоритм в К) относительно К. Если функция ϕ определена всюду, то есть для любого набора из n натуральных чисел, и является частично вычислимой по Маркову, то назовем ее вычислимой по Маркову.

Пусть М – некоторый нормальный алгорифм в алфавите А, В – некоторое расширение А. В начало схемы алгорифма М добавим всевозможные формулы подстановки вида b→b, где b – буква из ВА. Полученная таким образом схема определяет некоторый нормальный алгорифм МВ в алфавите В, которые неприменим ни к одному слову, содержащему буквы из ВА, и такой, что МВ(Р) М(Р) для любого слова Р в А. Алгорифм МВ вполне эквивалентен алгорифму М относительно А и называется формальным распространением алгорифма М на алфавит А. Если М 1 – нормальный алгорифм в алфавите А, и В есть расширение А, то нормальный алгорифм М 2 в алфавите В, задаваемый схемой алгорифма М 1, назовем естественным распространением алгорифма М 1 на алфавит В.

Теорема 14. 1. Пусть М 1, …, Mk – нормальные алгорифмы и А – объединение их алфавитов. Тогда существует нормальный алгорифм М над А, называемый соединением алгорифмов М 1, …, Mk, такой, что М(Р) М 1#(P)М 2#(Р)…Mk#(P) для любого слова Р в алфавите А, где Mi# - естественное распространение Mi на А.

Теорема 14. 2. Пусть М 1, М 2 и М 3 – нормальные алгорифмы и А – объединение их алфавитов. Тогда существует нормальный алгорифм М над А такой, что: применимый к тем и только тем словам в А, к которым применим М 3.

Теорема 14. 3. Пусть М 1 и М 3 – нормальные алгорифмы и А – объединение их алфавитов, М 11 и М 33 – формальные распространения соответственно М 1 и М 3 на А. Тогда существует нормальный алгорифм М 2 над А, являющийся повторением алгорифма М 11, управляемым алгорифмом М 33.

Раздел 3. Логические исчисления 15. Логические связки

1. 2. 3. 4. Высказывания Формулы Интерпретация Логическое следование и логическая эквивалентность 5. Подстановки

Высказывания • простые высказывания • составные высказывания

Интерпретация А(х1, …, xn) – пропозициональная формула, где х1, …, xn – пропозициональные переменные. Конкретный набор истинностных значений, приписанных переменным х1, …, xn, называется интерпретацией формулы А.

Формула, истинная при некоторой интерпретации, называется выполнимой. Формула, истинная при всех возможных интерпретациях, называется общезначимой (или тавтологией). Формула, ложная при всех возможных интерпретациях, называется невыполнимой (или противоречием).

• • Теорема 15. 1. Пусть А – некоторая формула. Тогда: если А – тавтология, то ¬А – противоречие, и наоборот; если А – противоречие, то ¬А – тавтология, и наоборот; если А – тавтология, то неверно, что А – противоречие, но не наоборот; если А – противоречие, то неверно, что А – тавтология, но не наоборот.

Теорема 15. 2. Если формулы А и А В – тавтологии, то формула В – тавтология.

Логическое следование и логическая эквивалентность Формула В логически следует из формулы А (А В), если формула В имеет значение И при всех интерпретациях, при которых формула А имеет значение И. Формулы А и В логически эквивалентны (А В), если они являются логическим следствием друга.

Теорема 15. 3. (P Q) (¬P/Q).

Теорема 15. 4. Если А, В, С – любые формулы, то имеют место следующие логические эквивалентности: A/A=A A&A=A A/B=B/A A&B=B&A A/(B/C)=(A/B)/C A&(B&C)=(A&B)&C A/(B&C)=(A/B)&(A/C) A&(B/C)=(A&B)/(A&C) (A&B)/A=A (A/B)&A=A A/Л=A A&Л=Л A/И=И A&И=A ¬(¬A)=A ¬(A&B)=¬A/¬B ¬(A/B)=¬A&¬B A/¬A=И A&¬A=Л

Теорема 15. 5. P 1&…&Pn Q тогда и только тогда, когда (P 1&…&Pn) Q - тавтология. Теорема 15. 6. P 1&…&Pn Q тогда и только тогда, когда P 1&…&Pn&¬Q – противоречие.

Подстановки Теорема 15. 7. Если А(…х…) – тавтология и В- любая формула, то А(…х…){В//x} – тавтология.

Раздел 3. Теория алгоритмов 15. Неразрешимые алгоритмические проблемы

1. 2. 3. 4. 5. Различные виды проблемы разрешения Проблемы, связанные с номерами функций Проблема остановки МНР Проблема самоприменимости Алгоритмические проблемы в логике и математике

Различные виды проблемы разрешения Разрешающим методом для подмножества A в множестве E называется такой метод (алгоритм), с помощью которого для каждого элемента x из E мы можем определить, принадлежит элемент x множеству A или нет. Разрешающим методом для функции f называется такой метод (алгоритм), с помощью которого вычисляется функция f.

Теорема 15. 1 Подмножество A из E является разрешимым в E тогда и только тогда, когда его представляющая функция χ(x) является рекурсивной.

Разрешающим методом для формальной системы (исчисления) F называется такой алгоритм, с помощью которого для любой формулы A из F можно определить, является ли данная формула A теоремой (выводимой формулой) системы F или нет.

Проблемы, связанные с номерами функций 1. Даны номера x и y функций φx и φy. Найти алгоритм, который по номерам x и y определяет равенство функций φx и φy. 2. Найти алгоритм, который по номеру x определяет, является ли функция φx постоянной функцией. 3. Найти алгоритм, который по номеру x определяет, будет ли бесконечным множество значений функции φx. 4. Найти алгоритм, который по номерам x и y определяет, входит ли число y в область значений функции φx. 5. Найти алгоритм, который по числам x, y, z определяет равенство φx(y)=z. 6. Найти алгоритм, который по номеру x определяет, будет ли функция φx всюду определенной функцией. 7. Найти алгоритм для определения включения x Dx.

Теорема 15. 2. Проблема распознавания всюду определенности функции φx по ее номеру x алгоритмически неразрешима. Теорема 15. 3. Проблема x Dx алгоритмически неразрешима.

Проблема остановки МНР Теорема 15. 4. Не существует алгоритма, который по машине Mx и ее начальным данным y определяет, остановится или нет машина Mx.

Проблема самоприменимости Алгорифм A называется самоприменимым, если он применим к своему изображению AИ. Теорема 15. 5. Не существует алгоритма B для определения самоприменимости.

Алгоритмические проблемы в логике и математике Теорема 15. 6. (А. Черч, 1936 г. ). Не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы F исчисления предикатов установить, является ли она тождественно истинной или нет. Теорема 15. 7 (Ю. В. Матиясевич). Не существует алгоритма для распознавания по произвольному диофантовому уравнению, разрешимо ли это уравнение в целых числах.

Раздел 3. Теория алгоритмов 16. Меры сложности алгоритмов

1. Понятие сложности алгоритмов 2. Временная сложность алгоритмов 3. NP-полные задачи

Под сложностью задачи понимают сложность алгоритмов, предназначенных для ее решения и реализуемых в виде вычислительных процедур на компьютерах. Сложности алгоритма определяется количеством условных операций, необходимых для завершения работы алгоритма, решающего задачу.

Меры сложности алгоритмов: • статическая сложность; • динамическая сложность; • временная сложность (вычислительная сложность); • емкостная сложность.

Фундаментальные классы алгоритмов • алгоритмы, сложность которых оценивается полиномом от размерности задачи (kn, kn 2, kn 3, . . . ); • алгоритмы с экспоненциальной оценкой сложности(2 n, n!. . . ).

NP-полные задачи Свойства класса NP-полных задач: 1. Никакую NP-полную задачу нельзя решить никаким известным алгоритмом полиномиальной сложности; 2. Если будет найден полиномиальный алгоритм для какой-нибудь NP-полной задачи, то существуют полиномиальные алгоритмы для всех NP-полных задач.

Примеры NP-полных задач • Задача о выполнимости булевых формул • Кратчайшее решение «пятнашек» размера • Задача коммивояжёра • Проблема раски графа • Задача о вершинном покрытии • Задача о покрытии множества • Задача о клике • Задача о независимом множестве

Теорема 16. 1 Если некоторая NP-полная задача разрешима за полиномиальное время, то P = NP. Другими словами, если в классе NP существует задача, не разрешимая за полиномиальное время, то все NP-полные задачи таковы.