Введение • Логика – наука

Введение • Логика – наука о законах и формах мышления, методах познания и условия определения истинности знаний и суждений. • Формализация ( логико-математическое представление) – процесс представления информации в формализованном виде с помощью точного логико-математического языка. • Логическая алгебра (алгебра Буля или алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающей логические законы с помощью формул, построенных на высказывательных константах, переменных и символов логических связок. • Необходимые знания: понимание логических процессов, происходящих при вводе, хранении и выводе информации в ЭВМ.

Словарь терминов Понятие (глоссарий) мышления, – форма фиксирующее основные свойства объектов. Высказывание (суждение, утверждение) – форма мышления, утверждающая или отрицающая определенные свойства объектов и связи между ними. Умозаключение – форма мышления, являющаяся получением новых знаний (суждений) – заключения из одного или нескольких суждений - посылок.

1. Основы логического мышления содержание Понятия объем посылки Высказывание (утверждение или Правила вывода отрицание) Новое знание Истина – true заключение Умозаключение Ложь - false

2. Основные логические элементы В алгебре высказываний образуются составные элементы с помощью союзов ИЛИ, И, НЕ. Данные составные высказывания являются основными логическими элементами логической алгебры. 1. Логическое отрицание (инверсия) - НЕ. Обозначение A = A’ Геометрическое представление: A A Электрическое представление (переключательная схема): А А + NOT - Обозначение логического элемента в технике: А А А или 1 А А НЕ В СССР и России За рубежом

2. Основные логические элементы 2. Логическое сложение ДИЗЪЮНКЦИЯ - ИЛИ. Образуется для двух (и более) переменных (посылок) A и B. Обозначение C = A + B = A B Геометрическое представление: A B Электрическое представление А (переключательная схема): + B C - Обозначение логического элемента в технике: OR ИЛИ А C В СССР и России А 1 B В За рубежом

2. Основные логические элементы 3. Логическое умножение КОНЪЮНКЦИЯ - И. Образуется для двух (и более) переменных (посылок) A и B. Обозначение C = A * B = A ∩ B = A ^ B Геометрическое представление: B A C Электрическое представление (переключательная схема): + А C - В Обозначение логического элемента в технике: А C В СССР и России А C & И B В AND За рубежом

Логическое равенство (эквивалентность). Составное высказывание, обозначенное с помощью логической операции эквивалентности истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны, обозначается « А – В » . Логическое следование (импликация) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «ЕСЛИ…, ТО…» . Составное высказывание, образованное с помощью операции логического следования (импликация) ложно тогда и только тогда, когда из истинной предпосылки (первого высказывания) следует ложный вывод (второе высказывание).

3. Логические выражения, функции и таблицы истинности. Логическое выражение – это формула, в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и знаки логических операций, обозначающие логические функции. Для записи составного высказывания в виде формального логического выражения нужно выделить простые высказывания и логические связи между ними. Таблица истинности – таблица, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов (входных переменных). Количество строк в таблице истинности равно количеству возможных n значений входных логических переменных, т. е. 2 n. Количество столбцов равно сумме количества логических переменных и логических операций.

4. Законы логической алгебры Логические элементы И, ИЛИ, НЕ являются избыточными для формального представления, поэтому функции имеют нормальную дизъюнктивную форму (набор ИЛИ, НЕ) и нормальную конъюнктивную форму (набор И, НЕ). Поэтому законы логической алгебры представляют для двух форм. Основные законы логической алгебры Начало таблицы конъюнкция дизъюнкция A*0=0 A+0=A A*1=A A+1=1 A*A =A A+A=A

4. Законы логической алгебры Основные законы логической алгебры Окончание таблицы конъюнкция дизъюнкция Правило де Моргана A*B =Ā+B Правило де Моргана A+B =Ā*B Закон склеивания (A+B) *(A+B) = A Закон склеивания A*B +A*B = A Закон поглощения A*(A+B) = A Закон поглощения A+(A*B) = A Закон свертки A*(Ā+B) = A*B Закон свертки A+Ā*B = A+B Двойное отрицание Ā =A

Логические законы коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности Закон коммутативности В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения: Логическое умножение сложение А* В = В * А Аv В =Вv. A

Закон ассоциативности Если в логическом выражении используются только операции логического умножения или только операции логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять. Логическое умножение Логическое сложение (А* В)*С = А*(В*С) (А v В) v C = A v (B v C)

Закон дистрибутивности В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые: Дистрибутивность сложения умножения относительно умножения сложения (А*В) v (A*C) = A*(B v C) (A v B)*(A v C) = A v (B*C)